PARADOKSLAR(KISIR DÖNGÜ)

Paradoks (Kısır Döngü) Nedir?

Bir sorunun cevabına ne doğru ne de yanlış diyemiyorsak bir Paradoks ile karşı karşıyayız demektir. Nicolas Baurbaki bu konuda;

"Ünlü paradokslar, on yıllar bazen de yüzyıllar boyunca mantıksal düşünceyi beslemiştir."

"Bu sayfada yazılı olan hiçbir şeyi okumayın." gibi buna benzer paradokslar ya kendileriyle çelişiyor gibi görünür, anlamsız ya da şaşırtıcı sonuçlara varır; ya da kısır döngü biçimindedir.

Nedir Şu Paradokslar

                              

Binlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların kafasını devamlı meşgul etmiştir. Aslında doğru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak çıkar karşımıza. Tam tersi de mümkündür; yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin, hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi şaşkınlığa ve hayrete düşürür. İleride bolca misal vereceğimiz paradoksların, yapılmış birkaç tanımını aktaralım:

                    'Çok mantıksız görünen, aslında çok mantıklı bir değiş'

                    'İki doğrunun veya yanlışın çelişkisi'

                    'Soyut muhakemenin sona erdiği tezat'

                    'Kağıt-kalem veya mantık ilüzyonu'  (Galiba en güzel tanım bu!)

Paradokslar ilginçtir, eğlencelidir, öğreticidir, şaşırtıcıdır, zihni açar...
     Tarihte bilinen ilk paradoks örneklerini Epimenides vermiştir. Giritli olan Epimenides:

                    -'Bütün giritliler yalancıdır!' diyerek bizi çelişkiye götürür. Şöyle ki :

                    Eğer gerçekten giritliler yalancı ise kendisi de giritli olduğuna göre o da yalancıdır. Yani söyledikleri yalandır(mesela yukarıdaki cümlesi). Bu cümle yalan olduğuna göre doğrusu şu olmalı:

                    -'Bütün giritliler doğrucudur, doğru söyler.'
                    O halde söylediği doğrudur. Yani 'bütün giritliler yalancıdır......'

     Örnekler:

'Bu cümleyi okumayın!'

   Yukarıdaki cümleyi okuduğunuza göre paradoksa uğramış oldunuz.

' Tek kelime dahi Türkçe bilmiyorum!'

  - Beni duyabiliyor musun? 
       - Hayır. Sesin gelmiyor (!)

  - Niçin her soruma soru ile cevap veriyorsun?
       - Niçin vermeyeyim ki !?

  Memleketimizde bazı yer adları, kendisi ile çelişir:
Bakırköy: Adı "köy" olmasına rağmen ilçedir. Hem de yaklaşık 50 vilayetten bile büyük bir ilçe.
Viranşehir: "Şehir" değil, Ş.urfa'nın bir ilçesidir.
Kuşadası: "Ada" değildir.
Denizli: Denizli'de deniz yoktur.
Elmadağ, Kadifekale, Akdeniz, Gümüşhane...vs.

-"Söylediğin her şey doğru mu?"
      -"Hayır!"

                  Bu adam güvenilir biri midir? Önce fikir yürütelim:
"Hayır" dediğine göre arada bir yanlış(yalan) söylüyor demektir. Arada bir yanlış konuşuyorsa "hayır" dediği de yanlış veya yalan olabilir. O zaman "hayır", "evet" olur. Bu sefer de "evet" diyorsa, her söylediği doğru olduğundan "hayır" da doğrudur... İyisi mi bu adama pek itimat etmeyelim...

Bir otobüs ilanı:
     -"Okuma-yazma öğrenmek isteyenlere müjde! Hemen aşağıdaki adrese başvurun..."
     Okuma-yazma bilmeyen bir insan nasıl bu ilanı okuyacak! Okusa zaten o adrese başvurması gerekmez...

Bir adam, saçları döküldüğü için doktora gider. doktor, teşhisi koyar: Stres!
      Ama adam saçları döküldüğü için strese girmektedir. Strese girdikçe daha da fazla dökülmektedir. Daha da fazla döküldükçe de, stresi aynı hızla artmaktadır...

Ben  her zaman yalan söylerim.             EMRE TURUNCU'dan

BU CÜMLEDEKİ HARF SAYISI OTUZYEDİ DEĞİLDİR.  (37 Harf var)

  Alaaddin'in sihirli lambasından çıkan cini herkes bilir. Cin diyor ki:
-Dile benden ne dilersen. Unutma ki sadece 'bir' dilek hakkın var ve mutlaka yerine gelecek.
Siz olsanız ne isterdiniz? Alaaddin öyle bir istekte bulunuyor ki cin ne yapacağını şaşırıyor:
-Benim tüm dileklerimi yerine getir!

SOCRATES'ten:

"Bildiğim tek şey var; o da hiç bir şey bilmediğim."

 Bazı hayvan isimleri, insanlar için sıfat olarak kullanıldıklarında iltifat kabul edilir:
     Aslanım benim!
     Koç gibi maşallah!
     Tilki gibisin abi!

Bazı hayvan isimleri ise hakaret anlamına gelir:
     Çok inek bir arkadaş!
     Ayı mısın be birader! (Ayı, bazı ülkelerde iltifattır)
     Öküz öküz bakma!

Sonuçta hayvan, hayvandır:)

Matematik Paradoksları:                         

       Doğru Parçası Paradoksu:

           Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks başlıyor:

           Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.

           Noktayı boyutlu kabul edelim.  Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

       2+2=5  ¿?

X = Y ................................................olsun
X² = X.Y............................................eşitliğin her iki tarafını 'X' ile çarptık.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çıkardık.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadeleşti.
X + X = X..........................................X = Y olduğundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladık.
2 = 1 ................................................'X' ler sadeleşti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4..................................................buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2'  şeklinde yazdık.  HATA NEREDE?

 

       Cantor Paradoksu:

          George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayısı, asıl kümeden daha fazladır. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?

"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:

2ª Ì X   (2 üzeri a, alt küme X)  dir. Buradan şunu yazabiliriz:

card(2ª)  card(a)................1

Çünkü alt kümelerin kardinali asıl kümelerden küçüktür veya eşittir. Ancak Cantor Teoremine göre:

card(2ª) > card(a)...................2

olmalıdır. 1 ve 2 çelişmektedir.

      Karışım Paradoksu:

          Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:

          Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?

          Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:

          Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:

          İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:

          İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.

        Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu:

           a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:

a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafı (a-b) ile çarptık.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtık.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attık.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sağ tarafa attık.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sağ tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldık.
a=b....................................................(a-b-c) ler sadeleşti.  (2+2=5 Paradoksunun benzeri)

         Karışık Bir Hesap:

              İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:

-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:

5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir.    Buradan;

x=(60.20)/5= 240 TL

Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

 

1 kg = 1 ton ¿?

1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)

(1) ve (2) çarpılırsa:

2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton).  Dolayısı ile,
1 kg = 1 ton

 

Hempel Paradoksu:

          Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"

          Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:

a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek.

          Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır.

Arnauld Paradoksu:

Herkes bilir ki;

• (Büyük Sayı / Küçük Sayı) ¹ (Küçük Sayı / Büyük Sayı) dır.
  (5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi

Ancak negatif sayılar bu kuralı bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)

Ayrıca;

• (Büyük Sayı / Küçük Sayı) > 1 dir.
  (4 / 3) > 1 gibi

Yine negatif sayılar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1

Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantıksız geldiği için negatif sayıların olmadığına hükmetti.

Galileo Paradoksu:

Sonsuzlukla ilgili bir paradoks:

          Yukarıda ilk sırada pozitif tamsayılar, altında iki katları, en altta da kareleri var. İlk seri sonsuz olduğuna göre diğer seriler de sonsuz elemanlı. Ayrıca ilave olarak sayıların küplerini, üç katlarını, on katlarını, yarılarını, üçtebirlerini de yazabiliriz. Hiçbir sonsuz da birbirine eşit değil.

Euplides (Kum Yığını) Paradoksu:

          Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız.

          Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın oluştursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için "yığın" anlamına gelir?

-1=1 ¿?

Berber Paradoksu: 

          Klasik paradokslardan biri daha:

          Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?
          Kendi kendine traş olsa;  kendisini traş edebildiği için  tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)

Russel Paradoksu:

1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL'ın çok bilinen paradoksu:

"Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç kişiyiz?"   Cevap:
"Bir kişiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda papayım"

Russel'ın "Kümeler" Paradoksu:

Russel'a göre iki çeşit küme var:

a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler.

Şimdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemanı mıdır?

Matematiğin Sırları:

p (pi) Sayısı:

          Kısaca bir dairenin çevresinin çapına oranı, p sayısını verir. İnsanoğlu, aslında çok önemli vazifeleri olan bu sayı üzerinde çok düşünmüştür. Yıllarca tam olarak bir değer bulamamakla beraber, gerçek değerine en yakın sonuçları kullanabilmek için çaba sarfetmişlerdir.

          p' nin kronolojik gelişimine baktığımızda günümüzde dahi tam bir sonuç bulunamamıştır. Çeşitli formüller üretilmesine rağmen sadece her seferinde gerçek değere biraz daha yaklaşılmıştır.

          Arşimet  3.1/7 ile 3.10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar 3.1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3.14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini 3.1415929, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu. 18.yyda 140, 19yyda 500 basamağa kadar hesaplandı. İlk bilgisayarlarla 2035 basamağı hesaplanırken günümüzde milyonlarca basamağa kadar çıkılıyor. İşin ilginç tarafı, hâlâ tam bir sonuç yok. Herhangi bir yerinde devir olsa iş yine kolaylaşacak. Ama henüz öyle bir şeye de rastlanmadı. Şu anda bilinen değerden birkaç basamak:

p=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640
628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940
81284811174502841027.....

 

İlginç Sayılar(1):

3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²
.
.
    .    

Fermat'ın Son Teoremi:

           Mesleği Avukatlık olan Fermat, arada bir matematikle de ilgilenirdi. Ama ne ilgilenmek. Aşağıdaki teorem, onun eseri. 1665 yılında 64 yaşında ölen Fermat'ın aşağıdaki teoremi, hâlâ ispatlanamadı. Bu problem üzerinde yıllarca çalışan ünlü alman matematikçi  Wolfskehl, 1908 yılında öldüğünde, vasiyet olarak 100bin mark bıraktı. Hem de bu problemi yüzyıl içinde çözecek ilk kişiye verilmek üzere!

Teorem şöyle:

n>2 ve a, b ve c tamsayı olmak üzere

aⁿ + bⁿ= cⁿ    çözümü olmadığını ispatlayın.

          Fermat bu teoremi yazarken kullandığı kağıdın altında çok az yer kaldığı için cevabı yazamadığını, halbuki çok güzel bir ispatı olduğunu yazmıştır. (Belki  Fermat ta cevabı bilmiyordu:))

Bir hatırlatma: Eğer rastgele n=54179653 sayısını formüle uygulayıp eşitliği sağlamadığını göstermediyseniz, bu sayının hâlâ doğru olma şansı var demektir.

İlginç Sayılar(2):

          Üç basamaklı herhangi bir sayıyı  iki kere yanyana yazarak elde ettiğimiz yeni sayı, kesinlikle 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 sayılarına kalansız olarak bölünür(neden?).

Örnek: 831831

831831 / 7       = 118833
831831 / 11     = 75621
831831 / 13     = 63987
831831 / 77     = 10803
831831 / 91     = 9141
831831 / 143   = 5817
831831 / 1001 = 831

Sihirli Kareler:

3 x 3: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden   üç karenin toplamı, 15.

4 x 4: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden  dört karenin toplamı, 34.

5 x 5: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden beş karenin toplamı, 65.

İlginç Sayılar(3):

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

 

Teorem:

Bütün kare sayılar, 1'den başlamak üzere sırasıyla tek tamsayıların toplamı olarak yazılabilir.

Örnekler:

5²=25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

11² = 121
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121

 

Üçgen Sayılar:

1'den başlamak üzere kendisinden önceki tüm sayıların toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... pozitif doğal sayılar ise, üçgen sayılar:

1, 3(1+2), 6(1+2+3), 10(1+2+3+4), 15(1+2+3+4+5),... üçgen sayılardır. Yani:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...

 

Pascal Üçgeni:

          Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.

Pascal üçgeninin bazı özellikleri:

• Kenarlar "1"den oluşur
• ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir.
• Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...)
• Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir.
  (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)
• Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 2⁰, 2¹, 2², 2³ ,2⁴ ,...
  (Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=2⁴ )
• Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir.
  ( Örnek: (a+b)³=1a³+3ab²+3a²b+1b³)

 

Teorem:

Bütün sayılar 2'nin üsleri toplamı (tekrarsız) olarak yazılabilir.

Örnekler:

12 = 2³ + 2²
12 = 8 + 4

45 = 2⁵ + 2³ + 2² + 2⁰
45 = 32 + 8 + 4 + 1

 

İlginç Sayılar(4):

12 x 42 = 21 x 24
23 x 96 = 32 x 69
24 x 84 = 42 x 48
13 x 62 = 31 x 26
46 x 96 = 64 x 69

 

Fibonacci Dizisi:

1'den başlamak üzere kendisinden önceki iki sayının toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...ise, fibonacci dizisi:

1, 1(0+1), 2(1+1), 3(1+2), 5(2+3), 8(3+5), 13(5+8),... yani:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Fibonacci dizisinin kullanıldığı pekçok yerden biri de "Karışık Paradokslar"daki üçgenli ve kareli sorulardır.

 

İlginç Sayılar(5):

3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37= 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999

e Sayısı:

1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ... + (1/n!) serisinin toplamı "e" sayısını verir. Yaklaşık değeri:

e = 2.71828182...dir. (e sabit sayısının kullanıldığı yerler ayrıca anlatılacaktır)

 

(Sonsuz):

          ¥, sadece matematikçilerin değil, düşünen herkesin ilgisini ve merakını çekmiştir. ¥'u sayı olarak düşünürsek; aklımızı zorlayıp "en büyük sayı"ya ulaştığımızı kabul edelim. O sayının mutlaka 1 fazlası olacağından yeni sayılar elde ederiz.

          Meselâ sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında sonsuz adet reel sayı vardır. 0 ile 10 arasında da sonsuz adet sayı olduğuna göre bu iki sonsuz da birbirine eşit olamaz. Bu yüzden matematikte "¥/¥" ifadesi tanımsızdır. Aynı şekilde 1^¥ ifadesi de henüz tanımlanamamıştır. Hâlbuki 1'in tüm üsleri 1' eşit olmalıdır.

          Kâinatta kaç adet "atom" olduğu sorulsa kaç derdiniz? Herhalde aklınıza gelebilecek en büyük sayıyı söylersiniz. Sizce 10⁷³ nasıl bir sayı? Büyük bir ihtimalle sizin tahmininizden küçük. Ama tüm kâinattaki gezegenlerin, yıldızların, asteroidlerin ... atom sayısı işte bu kadar. (Araştırmalar sonucundaki tahmini sayı).

Kâinatın sonu neresi? Herhalde kâinat da bir yerde bulunuyor. Ayrıca genişlediği (şişen bir balon gibi) ilmî bir gerçek. Nerede, neyin içinde, nereleri kaplayarak genişliyor? Bundan sonrası ancak tahmin edilebilir. Şimdilik bunlar sır.

          Şimdi ¥'un ne kadar büyük olduğu daha iyi anlaşılıyor (veya anlaşılamıyor:)) değil mi?

 

İlginç Sayılar(6):

(0 x 9) + 8 = 8 
(9 x 9) + 7 = 88
(98 x 9) + 6 = 888
(987 x 9) + 5 = 8888
(9876 x 9) + 4 = 88888
(98765 x 9) + 3 = 888888
(987654 x 9) + 2 = 8888888
(9876543 x 9) + 1 = 88888888
(98765432 x 9) + 0 = 888888888
(987654321 x 9) - 1 = 8888888888

Şekil Paradoksları                                                       

       Garip Bir Üçgen:

Aşağıdaki iki şekli dikkatle inceleyin.

       Görüldüğü gibi ikinci şekil, birinci şekildeki parçaların yer değiştirmesi sonucu oluştuğuna göre neden 1 karelik fark oluştu?

     Üçgenler:

        Soru: Bir üçgenin içaçıları toplamı gerçekten 180º midir?

        Bu sorunun cevabını vermeden önce başka bir soru soralım:
        Bir avcı, bulunduğu yerden 1 kilometre güneye gidiyor. Sonra dik açı ile (90°) doğuya dönüp 1 kilometre daha gidiyor. Sonra yine dik açı ile kuzeye doğru dönüp 1 kilometre daha gidiyor. Avcı o noktada, başladığı yere geldiğini farkediyor. Avcının avı nedir?

        Öncelikle böyle birşey mümkün olabilir mi? Tabi ki . Eğer avcı kuzey kutbunda ise olur (veya güney kutbu). Dünya yuvarlak olduğuna göre mümkündür. Şimdi de avcının izlediği yolu düşünelim: Avcı doğrusal hareket yaptığına göre katettiği yol tam bir üçgendir. Bu üçgenin açıları toplamı ise doğal olarak 180°den büyüktür.
Açıklama: İki kere dönüş yaparak 90° + 90° = 180°, bir de kutupta başlangıç ve varış arasında x° açısı var.

180° + x° > 180° (x° sıfırdan büyük)

        Sorumuzun cevabına gelince: Demek ki dünya yüzeyinde içaçıları toplamı 180° olan bir üçgen çizilemez. Çünkü bir kağıda çizilen üçgen bile mutlaka 180°den büyüktür.(Burada x° çok çok çok küçüktür)

        Bu arada avcının avı :Kutup ayısı veya kutupta yaşayan başka bir hayvan.

       Tekerlek Paradoksu(Aristo'dan):

                         Fermat, Descartes gibi bilim adamlarının da kafasını meşgul eden bir paradoksa sıra geldi.

          Şekilde birbirine yapışık, ortak merkezli iki tekerlek görülüyor. Kabul edelim ki büyük tekerleğin çevresi 10 cm, küçük tekerleğin çevresi de 5 cm olsun. Tekerlekler kendi etrafında sağ tarafa doğru bir tur döndüklerinde B (b) noktasına geliyorlar. Nasıl oluyor da büyük tekerlek 10 cm gittiğinde, küçük tekerlek te 10 cm gitmiş oluyor? Halbuki o da bir tur döndü ve çevresi 5 cm?

         Cevap: Aristo'ya göre, küçük tekerleğin her noktasına karşılık büyük tekerlekte bir nokta vardır. Dolayısı ile ikisi birbirine eşit olmalıdır. Ancak tabi ki işin aslı şudur:

          Büyük tekerlek dönerken küçük tekerlek te kendi yolunda kayarak hareket etmektedir.

      Bu Da Garip İki Dörtgen:

Aşağıdaki şekilleri de dikkatle inceleyiniz:

      Bu şekillerde de, görüldüğü gibi bir kare dört parçaya ayrılarak bir dikdörtgen elde edilmiş. Ama bir problem var! Şekiller, aynı parçalardan oluştuğu halde alanlar neden farklı acaba?

Paralar:

          Aşağıdaki şekilde eşit boyda iki bozuk para görülüyor. Sağdaki para(mavi) sabit kalmak üzere soldaki parayı, sağdakinin çevresinde bir tur döndürüyoruz ve başladığı noktaya getiriyoruz.
          Kırmızı para, başladığı noktaya gelene kadar kendi etrafında kaç tur döner? (cevap "bir" değil)

Cevabı bulamadıysanız, bir ipucu: Kırmızı para, mavinin tam sağına gelene kadar zaten bir tur dönmüş olur.

Fizik Paradoksları:

Olbers Paradoksu

      Bu paradoks, biraz da artronomi ile ilgili.

     Olbers, araştırmaları neticesinde, şu fikirlere vardı:

a) Kâinatın (uzayın), başlangıcı ve sonu yoktur.
b) Kâinatın bir sınırı yoktur.
c) Kâinattaki yıldızlar, düzenli bir şekilde dağılmıştır.
d) Kâinatın büyüklüğü sabittir.
e) Diğer yıldızlardan gelen ışığı engelleyici bir faktör yoktur.

                  Bütün bunlara dayanarak, Olbers'e göre gece gökyüzünün çok parlak olması gerekir. Çünkü sonsuz adet ışık kaynağı yani yıldız mevcuttur. Gece, karanlık olduğuna göre yanlış olan birşeyler var. Yapılan araştırmalar, kâinatın bir başlangıcı olduğunu ispatlamıştır. Kâinatın saniyede 60 bin km. hızla genişlediği de ilmî bir gerçektir. Yıldızlardan gelen ışığı engelleyen bir faktör mevcut olsa idi, bu faktörün ısınması ve daha sonra da ışık kaynağına dönüşmesi gerekirdi. O halde gökyüzü gece parlak değilse bunun birkaç sebebi vardır:

a) Kâinatın mutlaka bir başlangıcı vardır.
b) Kâinatın büyüklüğü sabit değildir. Yani genişliyor.
c) Yıldız sayısı sınırlıdır.
d) Yıldızlar kâinatta düzenli olarak dağılmamıştır.  

Aristodan:

            Kabul edelim ki eşit ağırlıkta ve özellikte iki cismi belli bir yükseklikten attığımızda ikisi de aynı zamanda yere düşer. Şimdi bu iki cismi birbirine bağlayıp tekrar atalım. Aristo'ya göre bu cisimler daha hızlı düşmelidir. Çünkü artık ağırlıkların iki katı olan tek bir nesne olmuşlardır. Ya da olayı bir de şöyle düşünelim:
          Ağırlıkları A ve a olan iki cisim düşünelim. Aristo'ya göre daha ağır olan A, daha hızlı düşer. Hızlarına da B ve b diyelim.  Bu iki cismi birbirine bağladığımızda, A, a'yı kendine yani aşağı doğru çekecek; a da A'yı yukarı doğru çekecektir. Bu cisimler, yere B ve b arasında bir hızla yere düşmelidir. Ama Aristo der ki:

-" Cisimleri birbirine bağladığımızda ağır olandan daha ağır bir cisim elde etmiş oluruz. O halde A'dan daha hızlı düşmeliler." 

Amperler:

Üç fazlı dağıtımda, 2 amper ile 2 amper, dört amper etmez. Yani üçgen bağlama motorda:

2 amp + 2 amp = 3.4641 amp olur.

İkizler:

Fizikte en önemli paradokslardan biride ikizler paradoksudur.

          Buna göre ikiz olan kardeşlerden biri ışık hızı ile uzaya fırlatılsa ve 50 sene sonra dünyaya tekrar gelse dünyada kalan ikizin yaşı "x+50", uzaydan gelenin yaşı ise "x+50>gelen" olacaktır. Yani biri yaşlı biri genç ama bir çok bilim çevresi zamanda böyle bir yolculuğun ışık hızına dahi çıkılsa mümkün olmayacağını iddia eder. Çünkü eğer böyle olsa idi ışık sürekli geçmişe yol alır. Evrende sürekli yer değiştirmeyen ışık bütün evreni aydınlatırdı.Fakat atmosferimize çarpan mezonların 1sn lık anı, 10 dk gibi geçirdikleri ispatlanmıştır"    

Nebi Volkan ÜNLENEN'den

Renklerin Karışımı:

          Renklerin karışımını iki şekilde gerçekleştirebiliriz.

a) Madde (meselâ boya) olarak,
b) Işık olarak.

          Aşağıdaki ilk şekilde renkler, madde olarak karıştırılmıştır. Kesişimlerinde diğer renkler de görülmektedir. Tüm renklerin kesişiminden de "SİYAH" elde edilir.
          İkinci şekilde de ışık olarak karışım yapılmıştır. Burada da tüm renklerin karışımı "BEYAZ"ı verir. (Gökkuşağında veya prizmada olduğu gibi)

Akan Su

     Bir musluğu biraz açıp gözleyelim. Seri halde akan su, aşağı doğru indikçe inceliyor. Neden?

İpucu: Yerçekimi ve hız

Yağmur

     Çok şiddetli bir yağmur yağıyor. Gideceğimiz yere ıslanmadan ulaşmak için koşmak iyi bir fikir mi, Yoksa yürümeli miyiz? Süre ve mesafe, ıslanmayı nasıl etkiler?

İpucu: Meselâ 10 metrelik bir mesafeyi ve 10 dakikalık süreyi ayrı ayrı düşünün.

Kimya Paradoksları:

       Su ve Alkol:

        İki litre su ile iki litre alkolün karışımı, 'dört' litre 'alkollü su' olmaz. Yani:

        15 ° de.........2000cm³ (su) + 2000cm³ (alkol) = 3955cm³ (alkollü su)       

        Soru:

Bilindiği gibi "su", iki hidrojen ve bir oksijenden oluşur. Hidrojen, 'yakıcı' bir gaz; Oksijen de 'yanıcı' bir gazdır. Nasıl oluyor da ikisi bir araya geldiklerinde 'söndürücü' olabiliyorlar?

Su neden renksiz acaba?           Özkan'dan

 

Tüm sıvılar alttan donmaya başlar da su neden üstten dolmaya başlar?            Özkan'dan

 

Çay-Şeker

Çayın içinde şeker olursa mı daha çabuk soğur, olmazsa mı?

Cevap: Bir cismin hızlı soğuması için ortamla ısı farkının fazla olması gerekir. Şeker, çaya atıldığında endotermik bir reaksiyon oluşur. Çayın ısısı bir miktar düşeceği için soğuma hızı da düşecektir. Dolayısı ile şekersiz çay, daha hızlı soğur.

Tarihten Paradokslar                                     

     Her alanda olduğu gibi tarihte de çok sayıda paradoksal olay olmuştur.

                Fatih Sultan Mehmet'ten:

           Bilindiği gibi Fatih, genç yaşta padişah olmuştur. Yaşı gençtir ama zekası ve inançları çok kuvvetlidir. Yeni sultan olduğu yıllardır.  Birgün bir sefere gidilecekken ordunun başında babasının olmasını ister. Ancak babası bu teklifi kabul etmez. Fatih'in maksadı babasının ilminden ve tecrübesinden yararlanmaktır.

-"Eğer sen padişahsan geç ordunun başına. Yok eğer ben padişahsam emrediyorum ordunun başına geçeceksin!"

Babası Sultan Murat, başka çare bulamaz ve orduya komutanlık yapar.

           Osman Yüksel Serdengeçti'den:

          Osma Yüksel'in milletvekili olduğu yıllardır. Birgün meclis kürsüsünde kendisine laf atan vekillere dayanamaz ve:

-"Bu meclistekilerin yarısı eşektir!" der ve iner kürsüden.

     Bunun üzerine meclis karışır ve herkes kendisinden sözünü geri almasını ister. Arkadaşlarının da ricası ile tekrar kürsüye çıkar ve zekasını gösteren ve vekilleri rahatlatan şu sözleri söyler:

-"Bu meclistekilerin yarısı eşek değildir!"

Kant'tan:

         Ünlü Alman eğitimci Emmanuel Kant'ın bir sözü:

-"Her ne kadar ben inanmasam da bir tanrının var olduğunu kabul etmek gerekir."

Yaşanmış bir olay:

          1974'teki Kıbrıs çıkarmasına katılan bir asker anlatıyor:

         "Çok şiddetli bir taarruz vardı. Mermiler kulağımızın dibinden geçiyordu. Siperde daha önce hiç görmediğim bir asker yanıma yaklaştı. Belli ki bizim birlikten değildi. Bir zarf çıkardı ve:
-"Memlekete dönünce bu zarfı, üzerindeki adrese bırakır mısın?"
-"İkimiz de döneriz inşallah" dedim.

          Israrla kendisinin dönemeyeceğini, benim ise memleketime ve aileme kavuşacağımı söylüyordu. Biraz isteksiz de olsa zarfı aldım. Ancak o çatışma sırasında birbirimizi kaybettik. Taarruz bitip memlekete döndüğümden bir-iki yıl sonra eski eşyaları karıştırırken o zarfı buldum. Unuttuğum görevi, geç te olsa yerine getirmek için İstanbul'a gittim. Üzerindeki adres, Aksaray'da eski bir eve götürdü beni. Kapıyı yaşlı bir amca açtı.

-"Merhaba amca. Ben Kıbrıs'ta savaşan oğlunuzdan bir mektup getirdim. Belki kendisi de gelmiştir."
-"Bizim Kıbrıs'ta savaşan bir oğlumuz yoktu"

        Beni içeri davet ettiler. Eşi, bir fotoğraf albümü ile geldi. Fotoğrafları gösterip:

-"Sana  zarfı bu genç mi verdi?"
-"Evet. Çok iyi hatırlıyorum. Buydu." ve işte o an beni şok eden ve hala aklımı başımdan alan şu cevabı verdi:

-"Bu çocuk benim oğlumdu. Fakat onu 15 sene önce Kore harbinde şehit verdik..." "

Yunus Emre'den:

"Ete kemiğe büründüm
Yunus diye göründüm"

"Bir ben vardır bende, benden içeru"

"Yedi kere dolup boşalan dünya değil misin?"

Kanuni Sultan Süleyman'dan:

             Süleymaniye Camiinin inşaası sırasında bir ermeni usta, yanlış duvar yapması sonucu, Kanuni tarafından cezalandırılır. Ermeni usta, sultandan şikayetçi olur. Kadı, ikisini de huzuruna çağırır. Kanuni ve usta, kadının karşısında ayakta beklemektedirler. Karar açıklanır: "Kısas!" yani Kanuni de aynı şekilde cezalandırılacaktır. Ermeni usta, adalete hayret eder ve:
-"Madem dininiz bu kadar adil, hem davamdan vazgeçiyorum hem de müslüman oluyorum"

Davadan sonra Kanuni, kadıya:
-"Eğer ben padişahım diye benim lehimde bir karar verseydin, seni bu kılıcımla öldürürdüm"

Kadı, oturduğu minderin altından bir hançer çıkarır ve :
-"Sultanım siz de eğer 'ben padişahım' diye kararıma itiraz etseydiniz ben de bu hançeri sizin kalbinize saplardım..."

 

Bir Derviş:

          Garip dervişin biri büyük bir köşkün önünden geçerken evin 'av meraklısı ve zalim' olan beyi, yardımcıları ile ava gitmek için evden çıkıyorlardır. Dervişle selamlaşırlar. Aksilik bu ya o gün hiç birşey vuramadan dönerler. Bey çok sinirlidir:

-"Sabah ava giderken karşılaştığımız o dervişi bulun çabuk! Onun yüzünden işlerim ters gitti. Uğursuzu getirin bana!"
Yardımcıları hemen dervişi bulup beyin huzuruna çıkarırlar. Bey kükrer:

-"Bre uğursuz adam! Senin yüzünden elimiz boş geldik! Hiçbir şey vuramadık! Tiz vurun kellesini!"

Derviş, beye şöyle der:
-"Beyim sabah selamlaştık. Siz hiçbir şey vuramadınız. Ben ise kellemi kaybediyorum. Siz söyleyin, hangimiz daha uğursuzuz?"

 

Kanuni Sultan Süleyman'dan:

          Kanuni, şehzadelerini muhteşem bir törenle sünnet ettirir. Kısa bir süre sonra da veziri İbrahim Paşa'nın oğlu sünnet olur. Törene Kanuni de davetlidir. Birara Kanuni, vezirine der ki:

-"Söyle bakalım İbrahim Paşa. Senin tören mi daha muhteşem, benimki mi?"
-"Elbette benimki sultanım"

Kanuni şaşırır. Sebebini sorar. Vezir:
-"Benim oğlanın düğününe koskoca cihan padişahı davetliydi ve geldi. Sizinkinde böyle bir davetli var mıydı?" der.

Sanat Paradoksları

Açıklaması sayfanın altında!

Avustralya ormanlarında, rükû halinde bir ağaç. Yönü de kıble istikametinde!

Yaşlılar ve insanlar

İmkânsız Yapı

Resimdeki ikinci kişiyi bulun. Göremediyseniz uzaktan bakın.

Halkalar mı? Spiral mi?

Şövalyeler ve insanlar

Filin kaç tane ayağı var?

Balıkçı nerede?

Tavan mı? Taban mı?

Dağlarda gizli olan yedi hayvanı bulun. (Cevap aşağıda)

Pencere (Yukarıdan ve aşağıdan)

İmkânsız şekil.

Merdiven ve pencerelere dikkat!

Kuşların sanatı.

İki kurt?

Metal küre.

İmkânsız yapı.

Sütunlara dikkat!

Kaç tane yüz var? (Cevap aşağıda)

Balkon mu? Bahçe mi?

Keçi, koç, boğa, kuş, ayı, kurt, tilki.

Hayvanlar.

İmkânsız küp.

İki ceylan.

Cadı mı? Genç kız mı?

Sol taraf aşağıdan, sağ taraf yukarıdan.

Kaç tane at var?

İmkânsız sütunlar.

Ağaç ve adam.

Dokuz kişiyi bulun.

Resimdeki kurbağayı bulun. Göremediyseniz başınızı 90 derece sola çevirin.

13 Yüz!

Yaşlı adam ve birbirine sarılan iki genç?

Anne-kız.

İmkânsız yapı.

A ve B'den geçen şeridin iki yanını, kağıtla kapatın. Şerit tek renk!

OPTİK

Bazen gözümüz de yanılır:)

Toplar basamağın neresinde?

İmkânsız Üçgen

Hep yukarı çıkan yol.

Hangisi daha büyük?

Kırmızı çizgiler aynı boyda.

Vazo mu? İnsanlar mı?

Mavi çizgiler aynı boyda.

Şekiller tamamlanıp üçgenler görünüyor.

İmkânsız Şekil.

Beyaz köşelerde siyah noktalar oluşuyor.

Çizgiler devamlı.

Halka mı? Spiral mi?

Çizgiler paralel.

Mavi daireler eşit boyda.

Devamlı aşağı!

Küp, küpün içinde mi? Dışında mı?

Griler aynı tonda.

Okların çizgileri aynı boyda.

Sağdan ve Soldan.

Kesik çizgiler tamamlanıyor.

Kırmızı çizgiler paralel.

"İşte bu yalan," diyebileceği bir yalan uydurana bir küp altın vadetti.

Yalancılar akın akın saraya gelip yalanlarını söylediler, fakat yalanlar ne kadar akıl almaz olursa olsun kral hep, "Olabilir, niye olmasın ..." gibi cevaplar veriyordu.

Böylece hem eğleniyor, hem de bir küp altından olmuyordu.

Derken kahramanımız elinde boş bir küple huzura çıktı ve konuştu:

"-Rahmetli dedeniz bir savaşa çıkacaktı, ancak o günlerde hazinede yeterli para yoktu.

Dedeniz dedemden bu küple bir küp altın borç aldı ve 'bu borcumu torunum torununa ödeyecek,' diye söz verdi.

Şimdi, dedenizin borcunu bana ödemeniz için buraya geldim."  

Kral, "İşte bu kuyruklu bir yalan!" deyince adam, "O halde ödülümü alayım," dedi.

  İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:

-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:

5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir.    Buradan;

x=(60.20)/5= 240 TL

Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

1) İkiye Bölme Paradoksu:

 Bir yolcu, belirli bir uzaklığa gidecektir. Önce gideceği yolun yarısını; sonra kalan yarısını; sonra kalanının yarısını;... yürümek zorundadır. Bu durumda hiçbir zaman gideceği yolun sonuna ulaşamayacaktır.

2) Euqlides Paradoksu:

"Yaptığım açıklama yanlıştır."

3) Avukat Paradoksu:

Yunanlı ünlü avukat Protogras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir anlaşma yapar. Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı ilk davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir.

Dersin bitiminden hemen sonra herhangi bir dava almayan öğrenciden ses seda çıkmaz. Sabrını yitiren avukat, bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden talep eder. Yeni avukat olan öğrenci bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir.

Bu davayı öğrenci kazanırsa ilk davasını kazanmış olacağı için davayı kaybeden hocasına parayı ödemek zorunda kalacaktır.

Tersine davayı kaybederse bu kez de davayı kaybettiği için hocasına yine ödeme yapmak zorunda kalacaktır.

4) Epimenides Paradoksu:

MÖ 6 yy da Epimenides şöyle dedi: "Bütün Giritliler yalancıdır, bunu bana Giritli bir şair söyledi."

Şairin doğru söylediğini kabul edelim. Bu cümle kendisi dahil bütün Giritlilerin yalancı olduğunu ifade ediyor. Öyleyse şair yalancıdır. Çelişki.

Şairin yalancı olduğunu kabul edelim. Bu durumda şunu demiş olur: "Bazı Giritliler (en az bir Giritli) yalancı değildir. Yalancı olmayan en az bir Giritli varsa paradoks yok: Şair yalancıdır.

5) Walt Kelley Paradoksu:

 "Düşmanla karşılaştık ve o biziz".

6) Berber Paradoksu:

Bu paradoks 1918'de çıkmıştır. Bir köyde, bir berber, kendi traş olmayan herkesi traş eder. Berberi kim traş edecek?

7) Oscar Wilde Paradoksu:

 "Günah işlemenin tek yolu onu kabul etmektir".

8) Don Kişot Paradoksu:

Sanço Panço, Baratania adasının yöneticisidir. Adaya gelenler niye geldiklerini belirtmek zorundadır. Eğer doğruyu söylerlerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır. Günün birinde bir yolcu gelir ve "Ben asılmak için buradayım". der. Sanço ne yapmalı?

9) Sonsuzlukla ilgili Paradoks:

Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir. Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşit olabilir?

10) Russell Paradoksu:

Bertrand Russell'ın paradoksu küme üyeliğine ilişkindir. Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir. Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere "düzenli" diyelim. Örneğin, "İnsanların kümesi"nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir. Kendisini içeren kümeleri "düzensiz" olarak adlandıralım. Örneğin "beş elemandan fazla elemanı olan kümelerin kümesi" düzenli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz. Tüm düzenli kümeleri içerdiğine göre ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir. Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanıma göre düzensizdir. Düzenli olduğunu varsayıp, düzensiz olduğu çelişkili sonucuna vardık. Diğer taraftan, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir. Ama elemanlarının sadece düzenli kümeler olduğunu biliyoruz. Demek ki düzensiz ise düzenli olduğu sonucu ortaya çıkıyor. Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir. Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti. II.cildin ek bölümü şöyle başlar: "Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı tam bitmişken temellerinin çökmesidir. Bertrand Russell'ın bana gönderdiği mektup sonucunda, bu duruma düştüm..."

11) Socrates'in paradoksu

"Bilidiğim tek şey hiç bir şey bilmediğimdir."

12) Thompson'un lamba paradoksu

Bir lamba 1/2 dakika yanık, 1/4 dk sönük, 1/8 dk yanık ... olacak şekilde lambanın düğmesi açılıp kapatılıyor. 1 dakikanın sonunda düğmeye kaç kez basılmış olur? Bu sırada lamba yanık mı olur sönük mü?

13) Sürpriz sınav paradoksu

Öğretmen Cuma günü şöyle diyor: "Gelecek hafta hiç ummadığınız bir gün sizi yazılı yapacağım."

Sınavın haftaya Cuma günü yapılamayacağı açık, çünkü Cumaya kadar sınav yapılmamışsa o gün herkes okula sınav olacağını bilerek gelecektir. Aynı nedenle Perşembe de yapılamaz, çünkü Cuma günü yapılacak sınav sürpriz olmayacağından Perşembe'ye kadar sınav olmamışsa öğrenciler sınavın o gün yapılacağına kesin gözüyle bakacaklardır, bu da Perşembe günü yapılacak sınavın sürpriz olmaması demektir.

O halde sınav Perşembe'den önce yapılmalıdır. Ancak sınav Salı günü de yapılmamışsa Perşembe günü de yapılamayacağından Çarşamba günü yapılmalıdır. Bu da Çarşamba günü yapılacak sınavı sürpriz olmaktan çıkarır.

Aynı şekilde mantık yürütürsek, Salı ve dolayısıyla Pazartesi günü yapılacak sınavın da sürpriz olamayacağı sonucuna varırız. Öyleyse öğretmen gelecek hafta sınav yapmayacaktır.

Fakat biraz düşünürsek, öğretmenin gelecek hafta yerine gelecek yıl demiş olması durumunda da aynı akıl yürütmeyle sürpriz bir sınavın yapılamayacağı sonucuna varırdık. Ama bu saçmalık, çünkü hepimizin bildiği gibi her dönem 3 sınav olacağını bildiğimiz halde öğretmenin "çıkarın kağıtları, yazılısınız," demesi her zaman sürprizdir.

Bu paradoks 50 yılı aşkın bir zamandan beri felsefecileri, matematikçileri ve mantıkçıları uğraştırmaktadır. Halen tatminkar bir çözüm bulunamamıştır.

14) Alaaddin'in cini paradoksu

(Robert Louis Stevenson'un Şişedeki Cin)

Biri sihirli lambayı sizin istediğiniz fiyata size satmak istiyor, ancak bir uyarısı var: Cin sizin bir arzunuzu yerine getirdikten sonra lambayı satın aldığınızdan daha az bir fiyata satacaksınız. Aksi halde cin size eşi görülmemiş işkenceler yapacak. Onu atamaz veya bedava veremezsiniz. Lambayı kaça alırdınız?

Açıkça görülüyor ki, onu 5 bin liraya (yani, tedavüldeki en küçük paraya) almazsınız, çünkü bundan daha azı olmadığından başkasına satamazsınız.

10 bin liraya da almazsınız, çünkü sizden sonrakine 5 bin liraya satmak zorunda kalırsınız ve o da başka birine satamayacağından almak istemez.

15 bin liraya alırsanız 10 bine birine satabilirsiniz, o da 5 bine bir başkasına satabilir. Sonuncu kişi gene kimseye satamayacağından almak istemeyecek ve lambanın elinde kalacağını düşünen sizin satmak istediğiniz kişi de onu almayacaktır.

Genel olarak Türkiye nüfusu 80 milyon olsa siz lambayı 80 milyon X 5 bin liraya da almak istemeyeceksiniz.

Ancak bu satıra gelene kadar mutlaka aklınızda bir fiyat geldi; örneğin bu lambayı 1 milyona alırım, sonra 900 bine birine okuturum demiş olabilirsiniz. Sıra sonuncu kişiye gelene kadar kim öle kim kala.

15) Zeno paradoksları

Zeno'nun 1. paradoksu (dichotomy):

Bir nesnenin d yolunu alabilmesi için önce o yolun d/2 sini gitmesi gerekir. Ancak d/2 sini gitmeden önce d/4 ünü gitmesi gerekir. d/4 ünü gitmeden önce d/8 ini gitmesi gerekir vs. Bu dizi sonsuza kadar uzatılabilir. Öyleyse bir yolun tamamını gitmek sonsuz sayıda hamle ile mümkündür. O halde d uzunluğunda bir yol gidilemez.

Bu paradoksun fiziksel çözümü quantum fiziğinin belirsizlik ilkesini beklemek zorunda kalmıştır. Bir uzunluktan sonra, yarı yollardaki belirsizlik ihmal edilemeyecek kadar büyük olacaktır. Yarı yolun fiziksel bir anlamı olmayacaktır.

Matematiksel çözümü cebiri ve  gibi sonsuz geometrik serilerin yakınsadığının kanıtlanmasını beklemiştir. Gittikçe kısalan yarı yolları almak için geçen zaman da git gide kısalmaktadır ve bunlar birbirini telafi eder.

Zeno'nun 2. paradoksu (Achilles ve kaplumbağa paradoksu):

Kaplumbağa yarışa d1 kadar önden başlamış olsun. Aşil'in ona yetişebilmesi için önce d1 yolunu almış olması gerekir, ancak bu sırada kaplumbağa d2 kadar ilerlemiş olur. Aşil önce bu d2 yolunu almalıdır, ancak kaplumbağa d3 kadar uzaklaşmış olacaktır. Bu böylece devam ederse Aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceği anlaşılır. Ancak Aşil kaplumbağaya yetişir ve onu geçer. Bu bir paradoks.

Bu paradoksun çözümü de yukarıdaki gibidir.

Zeno'nun 3. paradoksu (ok paradoksu):

Uçuş halindeki bir ok herhangi bir anda anlık olarak durgun bir konumdadır. Ancak tam o anda aynı konumdaki hareketsiz sabit bir oktan ayırt edilemez, öyleyse okun hareketi nasıl algılanıyor?

Zeno'nun 4. paradoksu (Stade paradoksu):

Bu paradoks zaman ve mekanın belli bir miktar bölünebileceği kabulünden doğar. (Tam metnini bulamadım, bilen var mı?)

16) Aristotales'in tekerlek paradoksu

Yunanca Mechanica adlı, Aristo'ya ait olduğu şüpheli bir kitapta şu paradokstan söz edilir:

Şekildeki farklı yarıçaplı eşmerkezli daireleri göz önüne alın (tekerlek ve jant gibi). Büyük dairenin üzerindeki her nokta ile küçük dairenin üzerindeki her nokta arasında bire bir tekabül bulunur. O halde büyük daire ne kadar yol aldıysa küçük daire de aynı miktarda yol almalıdır. Şekildeki yatay iki çizginin bir tam tur sonra alınan yolu gösterdiğini kabul ederek büyük daire için 2.p.r1, küçük daire için de 2.p.r2 yazabiliriz. Çizgilerin boyları eşit olduğuna göre r1=r2 olmalıdır.

Matematiksel olarak buradaki hata, noktaların bire bir tekabülünün iki eğrinin de eşit uzunlukta olmasının gerektirdiğini kabul etmekte yatıyor. Aslında herhangi bir uzunluktaki bir doğru parçasındaki noktaların hepsinin kardinaliteleri aynıdır (À1). İster sonsuz uzunlukta bir doğru, ister bir düzlem, ister 3 boyutlu bir uzay, isterse sonsuz boyutlu bir Öklid uzayı olsun yine fark etmez. Bunlardan herhangi birindeki noktalar diğerindeki noktalara bire bir tekabül eder.

Fiziksel olarak, tren tekerleklerine benzeyen ve her iki dairesi de rayın üzerinde dönebilecek biçimde düzenlenen bir tekerlek iki sonuçtan birini verir: (a) Tekerlek kesinlikle döndürülemez, veya (b) dairelerden biri aynı yolun bir kısmında kayar. Fiziksel dünyada paradoks yoktur.

17) Arrow'un paradoksu

Tamamen demokratik bir oylama sadece pratikte değil teoride de mümkün değildir.

18) Para paradoksu

Aynı paradan ikisini yan yana koyup birini sabit tutarak diğerini onun etrafında döndürün. Döndürülen para yarım tur attığında kendi ekseni etrafında bir tam tur atmış olacaktır.

19) Timsahın dilemması

Timsahın biri Nil kenarında çamaşır yıkmakta olan bir kadının bir anlık gafletinden yararlanarak onun çocuğunu yakaladı. Kadın çocuğunu geri vermesi için timsaha yalvardı. Timsah, "çocuğuna ne yapacağımı doğru olarak tahmin edersen, onu sana veririm, aksi halde onu yerim," dedi.

Kadın, "Ay! Yavrumu yiyeceksin," diye bir çığlık attı.

Timsah, "pekala," dedi, "artık onu sana veremem, çünkü böyle yaparsam sen yanlış tahminde bulunmuş olursun. Halbuki sana yanlış tahminde bulunursan onu yiyeceğimi söylemiştim."

"Tam tersine," dedi kadın, "yavrumu yiyemezsin, çünkü onu yersen doğru tahminde bulunmuş olurum ve doğru tahminde bulunduğumda onu bana vereceğini söylemiştin."

(Benzer bir paradoks ta şöyledir: Kral adama, "bana bir şey söyle, doğru çıkarsa seni astıracağım, yanlış çıkarsa senin boynunu vurduracağım." Adam, "benim boynumu vurduracaksın," dedi.)

20) Bütün kümelerin kümesi paradoksu

Profesör, "bir kelime anlamıyla uyumlu ise ona otolojik, değilse hetereolojik denir," dedi ve şu örneği verdi: "Dört harfli kelimeleri kısa kabul edersek, kısa kelimesinin kendisi de kısa olduğundan bu kelime otolojiktir, uzun kelimesinin kendisi uzun olmadığından bu kelime heterolojiktir. Aynı şekilde üç üç harfli olmadığından heterolojiktir, dört dört harfli olduğundan otolojiktir."

Bir öğrenci söz istedi: "Hocam, heterolojik kelimesinin kendisi heterolojik midir, yoksa otolojik mi?"

Bu, tabii ki, bir paradoks; heterolojik kelimesi otolojikse heterolojik, heterolojikse otolojiktir.

21) Otel paradoksu

Sonsuz odalı bir otelin bütün odaları doludur. Bu otele 6 kişi daha gelirse bunlar nasıl yerleştirilebilir?

n. odadaki müşteri n+6 numaralı odaya nakledilerek ilk 6 oda boşaltılır. (Peki yeni gelen müşteri sayısı sonsuz olsaydı?)

Matematiksel olarak burada bir sorun yok, çünkü sonsuzun matematiksel tanımına göre yeni gelenler yukarda verilen yöntemle yerleştirilebilir. (Sonsuz sayıdaki müşteri için de aynı yöntem geçerlidir.)

Fiziksel olarak ta sorun yok, çünkü sonsuz odalı otel bulur ve bütün odalarını doldurabilirseniz, yeni gelen 6 kişiyi yerleştirmeyi üstlenebilirim.

22) Kutu kutu top

a. Bir kutuya her defasında 10 top konup 10. top geri alınıyor. Bu işe sonsuz kere devam ettiğimizde kutuda kaç top kalır?

b. Bir kutuya her defasında 10 top konup sırayla 1. toptan itibaren birer top geri alınacaktır. Bu işe sonsuz kere devam ettiğimizde kutuda kaç top kalır?

23) Simpson'un paradoksu

Farklı grupların ortalamalarının ortalaması grupların birleşik haldeki ortalamasına eşit olmak zorunda değildir.

24) Yamyam Paradoksu
Bir adada yaşayan bir grup yamyamın eline bir mantıkçı düşer. Yamyamlar mantıkçıya şöyle derler: "Biz her yakaladığımız yabancıyı yeriz. Kimini haşlayıp, kimini kızartıp yeriz. Avımıza bir soru sorarız. Avımız soruyu doğru yanıtlarsa haşlarız, yanlış yanıtlarsa kızartırız."
Dedikleri gibi de yaparlar. Mantıkçıya şu soruyu sorarlar: "Seni haşlayıp da mı yiyeceğiz, yoksa kızartıp da mı yiyeceğiz?" Mantıkçı bir süre düşündükten sonra soruyu çok akıllıca cevaplar: "Kızartacaksınız!" İşte yamyamları çaresiz bırakan paradoks ortaya çıkmıştır, ve bu yanıtı sayesinde mantıkçı ne kızartılır ne de haşlanır.
Bir an için mantıkçının kızartılacağını varsayalım. O zaman verdiği yanıt doğru olur. Ama yanıt doğru olduğu için -yamyamların kendi kurallarına göre- mantıkçının haşlanması gerekmektedir. Demek mantıkçı kızartılamaz. Şimdi de mantıkçının haşlanacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı yanlış olacak. Yanıt yanlış olduğundan da kızartılması gerekmektedir. Demek mantıkçı haşlanamaz da. Yamyamlar tam bir kısırdöngüye girmişlerdir. Kızartsalar haşlamaları gerekecek, haşlasalar kızartmaları! Sonuç olarak adamımız kurtulur.

Paradoks, görünüşte doğru olan bir ifade veya ifadeler topluluğunun bir çelişki yaratması veya sezgiye karşı bir sonuç yaratmasıdır. Çoğunlukla, çelişkili gözüken sonuç veya sonuçlar aslında çelişkili değildir veya doğru gözüken ifade veya ifadelerin aslında tam olarak doğru olmayan unsurları vardır.

Binlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların kafasını devamlı meşgul etmiştir. Aslında doğru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak çıkar karşımıza. Tam tersi de mümkündür; yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin, hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi şaşkınlığa ve hayrete düşürür.

Tarihte bilinen ilk paradoks örneklerini Epimenides vermiştir. Giritli olan Epimenides:

-'Bütün giritliler yalancıdır!' diyerek bizi çelişkiye götürür. Şöyle ki :

Eğer gerçekten giritliler yalancı ise kendisi de giritli olduğuna göre o da yalancıdır. Yani söyledikleri yalandır(mesela yukarıdaki cümlesi).

Bu cümle yalan  olduğuna göre doğrusu şu olmalı:

-'Bütün giritliler doğrucudur, doğru söyler.'
O halde söylediği doğrudur. Yani 'bütün giritliler yalancıdır......'

Basit paradokslar

-"Söylediğin her şey doğru mu?"
-"Hayır!"

Bu adam güvenilir biri midir? Önce fikir yürütelim:
"Hayır" dediğine göre arada bir yanlış(yalan) söylüyor demektir. Arada bir yanlış konuşuyorsa "hayır" dediği de yanlış veya yalan olabilir. O zaman "hayır", "evet" olur. Bu sefer de "evet" diyorsa, her söylediği doğru olduğundan "hayır" da doğrudur... İyisi mi bu adama pek itimat etmeyelim...

Socrates'in paradoksu

"Bilidiğim tek şey hiç bir şey bilmediğimdir."

Timsah Paradoksu

Bir annenin elinden çocuğunu kapan timsah, çocuğa ne yapacağını annenin bilmesi durumunda çocuğu vereceğini söyler. Anne, timsaha çocuğunu yiyeceğini söyler, böylelikle meydana gelen paradoksal durum sonucunda çocuğunu kurtarır.

Şöyle ki, timsah çocuğu yiyecekse anne timsahın ne yapacağını bilmiş olacak ve timsah çocuğu teslim edecek ancak çocuk teslim edilince anne timsahın ne yapacağını bilememiş olacak; timsah çocuğu yemeyecekse anne bilemediğinden çocuğu yiyecek ama o zaman anne timsahın yapacağının bilmiş olacak ve bu yüzden yememesi gerekecek.

Yamyam Paradoksu

Bir adada yaşayan bir grup yamyamın eline bir mantıkçı düşer. Yamyamlar mantıkçıya şöyle derler: "Biz her yakaladığımız yabancıyı yeriz. Kimini haşlayıp, kimini kızartıp yeriz. Avımıza bir soru sorarız. Avımız soruyu doğru yanıtlarsa haşlarız, yanlış yanıtlarsa kızartırız."
Dedikleri gibi de yaparlar. Mantıkçıya şu soruyu sorarlar: "Seni haşlayıp da mı yiyeceğiz, yoksa kızartıp da mı yiyeceğiz?" Mantıkçı bir süre düşündükten sonra soruyu çok akıllıca cevaplar: "Kızartacaksınız!" İşte yamyamları çaresiz bırakan paradoks ortaya çıkmıştır, ve bu yanıtı sayesinde mantıkçı ne kızartılır ne de haşlanır.

Bir an için mantıkçının kızartılacağını varsayalım. O zaman verdiği yanıt doğru olur. Ama yanıt doğru olduğu için -yamyamların kendi kurallarına göre- mantıkçının haşlanması gerekmektedir. Demek mantıkçı kızartılamaz. Şimdi de mantıkçının haşlanacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı yanlış olacak. Yanıt yanlış olduğundan da kızartılması gerekmektedir. Demek mantıkçı haşlanamaz da. Yamyamlar tam bir kısırdöngüye girmişlerdir. Kızartsalar haşlamaları gerekecek, haşlasalar kızartmaları! Sonuç olarak adamımız kurtulur.

Berber Paradoksu: 

Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?

Kendi kendine traş olsa; kendisini traş edebildiği için tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)Kendini traş etmeyenleri traş eden berber kendini traş edemez.
Kendini traş etmezse tanımdan dolayı kendini traş etmesi gerekir, ama bu da bir çelişkidir.

"kendi başını kazıyan adamların kafasını kazımam" diyen berber kendi başını kazır mı?

ASKER PARADOKSU

Askerin biri esir aldığı diğer askere demişki "öyle bir şey söyle, eğer söylediğin yalan ise seni kurşuna dizeceğim, ama eğer doğru ise seni asacağım". Bunun üzerine esir asker bir cümle söylemiş ve serbest kalmış. Acaba ne demiş.

cevap:
"Beni kurşuna dizeceksin"-

Eğer onu kurşunlarlarsa doğruyu söylemiş olacak asılması gerekirdi- Eğer onu asarlarsa yalan söylemiş olur kurşunlanması gerekirdi

Yalancı paradoksu

"Şimdi yalan söylüyorum."

Bu önermenin doğru olduğunu varsayalım. Öyleyse yalan söylüyorum. Ancak önermenin doğru olduğunu varsaymıştık öyleyse çelişkiye düştük.
Bu önermenin yalan olduğunu varsayalım. O zaman bu cümle doğru olmalıdır. Gene bir çelişki.

Doğru Parçası Paradoksu:

Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru.Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanınboyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks başlıyor:

Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi birşey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.
Noktayı boyutlu kabul edelim. Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

Karışım Paradoksu:

Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?

Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:
İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.

Karışık Bir Hesap:

İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:
-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

Hempel Paradoksu:

Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"

Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek.
Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır.

II. Murat'ın dilemması

Sultan II. Murat 1444 yılı Ağustos'unda tahtı 12 yaşlarındaki oğlu II. Mehmet'e (daha sonra Fatih Sultan Mehmet olacak) bıraktı. Tahta bir çocuğun geçtiğini öğrenen İtalyan, Alman, Lehistan (şimdiki Polonya), Macaristan, Sırp ve Ulahlardan müteşekkil yeni bir Haçlı Ordusu Eylül'de savaş ilan edip Varna'ya kadar geldi. Bunun üzerine II. Mehmet Manisa'ya çekilen babası II. Murat'a bir mektup gönderdi:

"Padişah biz isek, size emrediyoruz, gelip ordunun başına geçiniz; yok siz iseniz gelip devletinizi müdafaa ediniz."

Euplides (Kum Yığını) Paradoksu:

Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız.

Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın oluştursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için "yığın" anlamına gelir?

Sana;
Kimisi doğru,
Kimisi yanlış,
Deyu söyler...
Nesin sen?
Haydi ! Söyle doğrusunu...
Yanlış mısın şair?
FUZULİ

YAPTIĞIM AÇIKLAMA YANLIŞTIR
Eublides

BÜTÜN GİRİTLİLER YALANCIDIR
Giritli Eupiminides

DÜŞMANLA KARŞILAŞTIK VE O BİZİZ
Walt Kelley

KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERMEYEN KÜMELERİN KÜMESİ KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERİR Mİ?
Bertrand Russell

Zeno'nun 1. paradoksu (dichotomy)

Bir nesnenin d yolunu alabilmesi için önce o yolun d/2 sini gitmesi gerekir. Ancak d/2 sini gitmeden önce d/4 ünü gitmesi gerekir. d/4 ünü gitmeden önce d/8 ini gitmesi gerekir vs. Bu dizi sonsuza kadar uzatılabilir. Öyleyse bir yolun tamamını gitmek sonsuz sayıda hamle ile mümkündür. O halde d uzunluğunda bir yol gidilemez.

Bu paradoksun fiziksel çözümü quantum fiziğinin belirsizlik ilkesini beklemek zorunda kalmıştır. Bir uzunluktan sonra, yarı yollardaki belirsizlik ihmal edilemeyecek kadar büyük olacaktır. Yarı yolun fiziksel bir anlamı olmayacaktır.

Matematiksel çözümü cebiri ve  gibi sonsuz geometrik serilerin yakınsadığının kanıtlanmasını beklemiştir. Gittikçe kısalan yarı yolları almak için geçen zaman da git gide kısalmaktadır ve bunlar birbirini telafi eder.

Zeno'nun 2. paradoksu (Achilles ve kaplumbağa paradoksu):

Kaplumbağa yarışa d1 kadar önden başlamış olsun. Aşil'in ona yetişebilmesi için önce d1 yolunu almış olması gerekir, ancak bu sırada kaplumbağa d2 kadar ilerlemiş olur. Aşil önce bu d2 yolunu almalıdır, ancak kaplumbağa d3 kadar uzaklaşmış olacaktır. Bu böylece devam ederse Aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceği anlaşılır. Ancak Aşil kaplumbağaya yetişir ve onu geçer. Bu bir paradoks.

Bu paradoksun çözümü de yukarıdaki gibidir.

Zeno'nun 3. paradoksu (ok paradoksu):

Uçuş halindeki bir ok herhangi bir anda anlık olarak durgun bir konumdadır. Ancak tam o anda aynı konumdaki hareketsiz sabit bir oktan ayırt edilemez, öyleyse okun hareketi nasıl algılanıyor?

Zeno'nun 4. paradoksu (Stade paradoksu):

Bu paradox zaman ve mekanın belli bir miktar bölünebileceği kabulünden doğar. (Tam metnini bulamadım, bilen var mı?)

İlginç Hikâyeler 

Nasreddin Hoca:
Nasreddin Hoca bir gün heybe almak için pazara gider. Güzel bir heybe görüp pazarcı ile pazarlık yapar ve 1 akçeye anlaşırlar. Tam oradan ayrılacaktır ki daha güzel bir heybe dikkatini çeker:
- Kaç akçe şu heybe muhterem?
- 2 akçe hocam.
- Aldım gitti, diyen hoca elindekini bırakır ve onu alıp tam gidecekken pazarcı seslenir:
- Hocam. Bu heybe 2 akçe. Sen 1 akçe verdin.
Hoca sinirlenir:
- Bre cahil adam! Sana önce 1 akçe verdim. Sonra da 1 akçelik heybe bıraktım! İkisi eder 2 akçe. Daha benden neyin parasını istersin!

Parite Olayı:

Olay, henüz döviz kurlarının uygulanmadığı yıllarda ABD-Kanada sınırındaki bir şehirde geçmektedir:

ABD ve Kanada malum ki para birimi olarak 'dolar' kullanmaktadırlar. Yalnız her iki ülke de kendi paralarının daha değerli olduğunu iddia etmektedirler. Şöyle ki Kanadalılara göre:

1 ABD Doları= 90 Kanada Centi, Amerikalılara göre ise :
1 Kanada Doları= 90 ABD Centi.

Bir amerikalı, cebindeki 1 dolarla dolaşmaya çıkar. Bir ara karnı acıkır ve simit alır (amerikan simiti!). Simitin fiyatı 10 centtir. Cebindeki 1 doları verir. Simitçi bozuk para ararken cebinin bir köşesinde 1 Kanada doları bulur, onu verir (90 cente eşit ya!). Derken sınırı yürüyerek geçer ve Kanada da dolaşmaya başlar. Kaleme ihtiyacı olduğunu hatırlar. Girer bir kırtasiyeciye. Kalemin fiyatı da 10 Kanada centidir. Cebindeki 1 Kanada dolarını verir. Kırtasiyeci de para üstü olarak 1 ABD doları verir. Oradan da ayrılıp evine döner. Sonra düşünmeye başlar:

- Yahu sabah evden çıkarken cebimde 1 ABD dolarım vardı, şimdi de 1 ABD dolarım var. Pekiyi simitle kalemin parasını kim verdi?

Hızlı Kaplumbağa:

Bu paradoks, Zenon Paradoksu olarak ta bilinir:

Hikaye bu ya, kaplumbağanın biri yolda Carl LEWİS'le (Bu ismin gerçek hayatla hiçbir ilgisi yoktur!) karşılaşır. Kısa bir sohbetten sonra kaplumbağa, Lewis'e 100 metre yarışı teklif eder. Önce bu teklife gülüp geçen Lewis, kaplumbağanın gayet ciddi ve ısrarcı olması üzerine isteksiz bir şekilde teklifi kabul eder:
- Tamam yarışalım ama neyine güvenip benimle yarışmaya kalkıyorsun be birader?
Kaplumbağa, yalnız bir şartı olduğunu söyler:
- Senden tek isteğim, ben yarışa 10 metre önden başlayacağım. Bu şartla beni kesinlikle geçemezsin. Ne o yoksa korkuyor musun?
Lewis kaplumbağanın şartını kabul eder. Yalnız kaplumbağa bir açıklamada bulunur:
- Yarışa başladığımızda sen benim ilk başladığım noktaya geldiğinde ben biraz önde olacağım(mesela 10 metre). Bu anda filmi dondurup farkı göre biliriz. Tekrar harekete başladığımızda sen ikinci kez yarışa başladığım noktaya geldiğinde ben biraz daha önde olacağım(mesela 10 cm). Tekrar hareket ettiğimizde benim son olarak geldiğim yere geldiğinde ben mutlaka senin önünde olacağım. Dolayısı ile sen hiçbir zaman beni geçemeyeceksin.
Bu sözleri duyan Carl LEWİS, yarışma fikrinden vazgeçer. Mâlum, itibar meselesi...

Temelden:

Temel, çalışmak için gittiği şehirden, köye babasına mektup yazar. Klasik mektup cümleleriyle başlayan mektup, şu notla biter:
-"Babacuğum. Acele cevabini bekliyrum. Yalnız, zarfa biraz da para koyarsan iyi olir. Oğlin Temel."
Aradan onbeş gün geçer ve mektubun cevabı gelir. Temel büyük bir heyecanla zarfı açar. İçinden sadece mektup çıkar. Mektubun sonunda da bir not vardır:
-"Oğlim Temel. Sana para göndereceydum. Ama aha bu geri zekali anan zarfi kapatmiş. Bir daha ki sefere evladim. İmza:Buban."

Ağanın atları:

Zengin bir köy ağası vefat eder. Vasiyeti açılır. Mallarının yarısını(1/2) büyük oğluna, dörtte birini(1/4) ortanca oğluna ve beşte birini(1/5) küçük oğluna bırakmıştır. Bütün mallar paylaşılır ancak Ortada 19 tane de "at" vardır. 19'u ne ikiye, ne dörde, ne de beşe bölmek mümkündür. Köyün en akıllı adamına gidip akıl danışırlar. Adam da onlara yardımcı olabileceğini söyler. Der ki:
-"Benim de bir atım var. Alın bunu size veriyorum. Oldu mu 20 at? Yarısını sen al bakalım (10). Dörtte birini de (5) ortanca kardeşin alsın. Beşte birini de (4) en küçüğünüze verelim. On, beş daha onbeş. Dört daha ondokuz. Verin bakalım şu bizim geriye kalan düldülü...!

Yalancı-Doğrucu Köy:

Günün birinde yolumuz bir köye düştü. Ama bu köy öyle sanıldığı gibi bir köy değil. Herkesin kendine göre bir özelliği var. Ve bu insanlardan ikisi bizi köyün girişindeki köprünün başında bekliyor. Burada iki köprü var. Biri köye gidiyor diğeri ise gitmiyor. Ve adamlara soruyoruz:
Köye giden köprü hangisi¿
1. adam: Ben her zaman doğru söylerim. Bu köprü köye gider.
2. adam: Ben her zaman yalan söylerim. Arkadaşımın gösterdiği köprü köye gider.
Acaba hangisi yalancı?

Erciyes'in Karı:

Yıllarca Kayserililer ile ermeniler birlikte yaşamışlardır. Birbirleriyle sıkı münasebetlerinin fazla olduğu yıllarda, bir kayserili, ermeni arkadaşından borç para ister. Ermeni arkadaşı ne zaman ödeyeceğini sorar. Kayserili:
-"Şu Erciyes Dağı'nın karı eriyince borcumu öderim."
Ermeni, bir yıl bekler. Kayseriliden ses yoktur. Gider yanına ve alacağını ister. Kayserili, Erciyes'i gösterir ve daha üzerinde kar olduğunu söyler. Bir süre sonra ermeni, kayserilinin oyununa geldiğini anlar. Bunu içine sindiremez. Artık karar vermiştir ve o da bir başka kayseriliyi kandıracaktır. Gider bir arkadaşına ve borç ister. Kayserili ne zaman ödeyeceğini sorar ve o da aynı cevabı verir:
-" Erciyes'in karı eriyince"
"Pekiyi" der kayserili. Aradan bir yıl geçer ve kayserili hemşerim alacağını istemek için ermeniye gider. Ermeni vatandaşımız bu durumu beklediği için çok rahat bir tavırla Erciyes'i gösterir ve hâlâ karın erimediğini söyler. Kayserilinin de cevabı hazırdır:
-"O gördüğün kar, bu yılın karı. Geçen yılın karı çoktaaaan eridi"
Ermeni ne yapacağını şaşırır ve çaresiz borcunu öder.

Müfettiş Paradoksu:

Bir işyerini, önümüzdeki on gün içinde vergi müfettişleri denetlemeye gelecektir. Müfettişler, mantık oyunlarını sevdikleri için işyeri yetkilisine telefon açarlar ve:
-"Hangi gün geleceğimizi, o günün sabahında tahmin edebilirseniz, denetimden kurtulacaksınız" derler.
Defterleri denetimden geçemeyecek kadar karışık olan işyerinin yetkilisi, biraz düşünür ve müfettişlere:
-"Galiba bu denetimi yapamayacaksınız efendim. Çünkü buraya geleceğiniz günü çok kolay tahmin edebilirim. Şöyleki:
Denetimi, onunucu ve sonuncu güne bırakmazsınız. Çünkü ben ilk dokuz gün gelmediğiniz takdirde onuncu gün geleceğinizi hemen bilirim. Dokuzuncu gün de gelmezsiniz. Çünkü ilk sekiz gün içinde gelmezseniz, dokuzuncu gün geleceğiniz açıkça belli olur. (Onuncu gün gelmeyeceğinizi az önce ispatlamıştım). Onuncu ve dokuzuncu gün gelemeyeceğinize göre denetimi, sekizinci güne de bırakamazsınız. Çünkü ilk yedi gün içinde gelmediğiniz takdirde sekizinci gün geleceğinizi hemen anlarım...
Yetkili, mantık oyunlarına müfettişlerden daha meraklıymış:)
devam edecek...

Alaaddin'in sihirli lambası

Alaaddin'in sihirli lambasından çıkan cini herkes bilir. Cin diyor ki:
-Dile benden ne dilersen. Unutma ki sadece 'bir' dilek hakkın var ve mutlaka yerine gelecek.
Siz olsanız ne isterdiniz? Alaaddin öyle bir istekte bulunuyor ki cin ne yapacağını şaşırıyor:
-Benim tüm dileklerimi yerine getir!

Günlük Hayattada paradokslarla karşılaşırız;

"Bu duvara ilan yapıştırmak yasaktır."

Bir otobüs ilanında insanı düşündüren bir paradoks yer alıyor :
-"okuma-yazma öğrenmek isteyenlere müjde! hemen aşağıdaki adrese başvurun..."

Meşhur Problemler: Ünlü Paradokslar