Nehir Kıvrımlarındaki Matematik Mükemmelliği

Kıvrım kıvrım akan nehirleri ve etrafındaki güzellikleri görmüşsünüzüdür. Nehirlerin bu kıvrımları tesadüfü midir, yüzey şartları şartları mı bunları belirlemektedir yoksa bunlar nizamı mı göstermektedir? Bunların meydana getirilmesinde bir matematik güzellik ve ahenk olabilir mi? Enerjisinin en az olacak şekilde seçilmesi bu kıvrımlara sebep olarak gösterilebilir mi?

Nehir kıvrımlarını inceleyen jeologlar bazı temel prensiplere ulaşmışlardır:

� Hiçbir nehir,genişliğinin 10 katından fazla bir mesafeyi düz gitmemektedir.

� Kıvrımın eğrilik yarıçapı her zaman nehrin o noktadaki genişliğinin 2-3 katıdır.

� Kıvrımların dalga boyu ortalama genişliğin 7-10 katıdır.

Birbirinden çok farklı yüzeylerde farklı yatak şartlarına ve büyüklüklerine sahip nehirlerde şaşırtıcı benzerlik bulunabilmektedir. Kıvrımların tesadüfi şekilde oluşmamakta,aksine tepedeki bir A noktasından aşağıdaki bir B noktasına ulaşmada en az iş yapacak dönem enerjisi kullanılmaktadır.

Kıvrım manasına gelen İngilizce'deki meander kelimesi kök olarak Ege Bölgesindeki meşhur Menderes Nehri'nin kıvrımlarından gelmektedir. İlk bakışta nehir içindeki ve kenarındaki düzensizliklerin kıvrımlara yol açtığı düşünülebilir. Kaya parçaları,düşen ağaçlar ve kayalık zeminler kıvrımların oluşmasında bir sebep olabilmekle birlikte kıvrım geometrilerini açıklamakta yeterli değildir. Bu tip maniaların olmadığı Gulf Stream gibi okyanus akıntılarında veya buzulların üzerindeki su kanallarında da benzer kıvrımlara rastlanmaktadır.

İlk başta deprem ve kabuk hareketleri yoluyla meydana gelen büyük kırılmalar dağlık alanlarda dar vadi ve ırmak yatağı oluşumuna yol açar. Dağların içindeki büyük yer altı suyu dolaşımlarının yüzeye çıktığı noktalardan itibaren bu dar vadileri takip ederek yüksek kottan alçak kotlara doğru akan yüzey suları bilhassa yağmur mevsimlerinde dışarıdan da beslenir. Aşırı yağışın tesiriyle debisi yükselen bu sular, nehir yatağı ve hatta vadi geometrisinin değişmesinde rol oynar. Böylece erozyon, taşıma ve biriktirme ile ırmakların şekilleri sürekli değişir. Bu sular denize doğru olan yolculuklarında, kıyıya yakın düz ovalara ulaştığında, yatağın da genişlemesiyle yavaşlar,enerjisi azalır; dolayısıyla taşıdığı sediman malzemenin tane büyüklüğü de giderek ufalır. Zaman zaman meydana gelen taşkınlar sırasında ise, nehir yükseliri ve sular iki yandan ovaya yayılır. Bu yolla, bloktan kil ve çamur taneciğine kadar nehrin taşıdığı bilhassa çok ince taneli olan kum, silt, kil ve çamur tanecikleri ovayı kaplar. Tarihi boyunca binlerce defa bu taşkın hadisesiyle karşılaşan bu nehirler, insanlığa bereketli tarım ovalarının lütfedilmesinde vazife görür. Nil, Dicle, Fırat, Menderes gibi nehirle bu konudaki en tipik misallerdendir.

Bir ırmakta küçük bir kıvrılma olduğunu varsayalım. Irmağın akışı sırasında su kütlesinin uyguladığı merkezkaç kuvvetle eğrilik merkezine uzak olan kıyıda erozyon artar. Su aşındırdığı kıyıya doğru yönelecek, daha sonra da diğer kıyıya çaprazlama hareket edecektir. Bu hareket esnasında dipteki sürtünmeden dolayı diğer kıyıya yakın kısımda taşınan kum ve çakıllar dibe çökecektir.Zamanla aşındırılan kıyıda eğrilik diğer kıyıya kıyasla daha da artacaktır. Bu eğrilik elbetteki sürekli artamaz; çünkü böyle durum ırmağın yukarıya doğru akması demektir ki,bu hiçbir zaman mümkün değildir. Bu tip kıvrımlar zamanla aşağıya doğru da hareket eder. Kıvrımların meydana gelmesinde en ideal şartlar; hafif eğim, kolayca aşınabilen ve yapışkanlık özelliği olan ine taneli kumlardır.

Kıvrımların dalga boyunun eğrilik yarıçapına oranı sabit bir değere doğru yaklaşır. Sinüs yapısındaki eğrilerde bu oran 5'e 1'dir. Daha birbirine yakın kıvrımları olan bazı nehirlerde bu oran 3:1 eklindedir.50 farklı nehirde yapılan örneklemelerde bu ortalama değeri 4:7:1 olarak bulunmuştur.

Nehirler genellikle sinüs fonksiyonu yapısında eğriliklere sahiptir. Nehirlerde görülen bu geometride acaba ne gibi faydalar vardır? Daire,parabolik ve sinüs tipi benzer yapıdaki eğrilikler karşılaştırıldığında, sinüs tipi eğriliğin, eğrilik boyunca yön değiştirme açıları toplamının en küçük olduğu bulunmuştur. Böyle bir eğri aynı zamanda en az iş eğrisidir. Bunu anlamak için esnek bir çubuğu iki ucundan tutarak eğelim. Çubuk sinüs yapısında bir eğrilik şeklini alacaktır; çünkü bu yapıda en az eğme işi yapılmaktadır. Bu şekilde yerel olarak eğrilikte aşırı değişimler olmamakta, eğrilik olabilecek en düzenli şekilde pürüzsüz değişmektedir. Nehrin dönerken en az iş yapması ile neticelenen bu şeklin baka bir avantajı daha vardır; kıyılarda en az aşınma bu yapıda olmaktadır.

Eğrilik ifade etmede aşağıdaki formül kullanılabilir:

?(l)=?cos(2?l/L)

l bir referans başlangıç noktasından uzunluk boyunca çizilen koordinatı,L nehrin seçilen iki noktasının arasındaki uzunluğu, ? her bir l değerinde nehir merkez eğrisinin aşağıya doğru hareket yönü il yaptığı, ? ise orjindeki bu açının değerini temsil eder

Kaynak: Jhon A.Adam, Mathematics in Nature, Princeton Üniversitesi Yayınları, Princeton, 2003

---

  Uydular

Haberleşme, Internet, meteoroloji, bilimsel çalışmalar gibi bir çok amaçla dünya çevresinde dolanan uydular, nasıl olurda dünyaya düşmeden havada asılı dururlar?

Güneş ile dünya arasındaki ilişkiyi kavrarsak dünya ile uydular arasındaki bu ilişkiyi daha iyi anlayabiliriz.
Bilindiği gibi evrende maddeler arasında bir çekim kuvveti vardır. (Bu çekim kuvveti maddelerin kütleleri ile doğru, aralarındaki uzaklık [uzaklığın karesi] ile ters orantılıdır.) Güneşin kütlesi dünyanın kütlesinin yaklaşık 330.000 katı kadardır dolayısı ile güneş dünyayı kendine doğru çeker.

Peki dünya neden güneşe doğru sürüklenmez?
Belli bir hızda bir merkez etrafında dönen cisimler dışarıya doğru bir savrulma kuvvetine (merkez kaç kuvveti) maruz kalır. (Bu durumu gözlemlemek için silginize bir miktar ip bağlayın ve çevirin, silginin dışarıya doğru savrulduğunu göreceksiniz.) İşte dünya güneş etrafındaki dönüşü sırasında dışarıya doğru savrulur. Güneşin dünyayı kendine doğru çekim kuvveti, dünyanın dönüşü sırasındaki savrulma kuvvetine (merkez kaç kuvveti) eşit olduğundan, dünya ne güneşe doğru düşer nede uzayın boşluğuna savrulup uzaklaşır.

İnsanların dünya çevresine yerleştirdikleri uydulardaki durumda aynen böyledir. Uzay boşluğunda istenilen mesafeye çıkarıldıktan sonra, mesafe ve kütlesine bağlı hesaplanan dönüş hızında yörüngesine bırakılır. Dünya uyduyu kendine doğru çeker ancak uydu belli bir hızda dünya çevresinde döndüğü için savrulur. Bu iki kuvvet birbirine eşit olduğundan uydu dünyaya düşmez yada uzaya kaçmaz.
İşte bütün bu işlemler ince ve ayrıntılı matematiksel hesaplara dayanır. Matematiğin yaşamımız açısından önemini kavrayacağımız bir örneği daha incelemiş olduk.

---

---

---

MATEMATİK VE MÜZİK

Daha önceki bir yazımızda matematik - sevgi ilişkisini kurmaya çalışmış ve matematiğin resim, müzik, mimari gibi bir güzel sanat olduğunu belirtmişti. Bu nedenle bu yazımızı matematik - müzik ilişkisine ayırdık.

T.Pappas'ın "Yaşayan Matematik" isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: "Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık insanı sarar. Bu deneyimi bir kez yaşadıktan sonra, bu duyguyu unutamazsınız. Bu duygu, ilk kez mikroskoba bakıp da daha önce çevrenizde her zaman var olan ama, göremediğiniz şeyleri gördüğünüz anki kadar heyecan vericidir."

Gerçekten de matematiğin estetik çekiciliğine tamamen duyarsız, aydın bir insan bulmak biraz zordur. Matematiksel güzelliği tanımlamak çok güç olabilir fakat bu güçlük her tür güzellik konusunda geçerlidir.

Sadece düşüncede var olan olayların nerelerde uygulama alanı bulabileceği hiçbir zaman önceden tahmin edilemez. Bu nedenledir ki matematikçiler, yapılan çalışmaları estetik yönden değerlendirmekte, eserlerde bir sanatçı titizliği ile güzellik ve zarafet aramaktadırlar. İşte bunun için matematik - müzik ilişkisini bir magazin popülaritesi içinde sunmaya çalışacağız.

Orta çağda eğitim programlarında müzik, matematik ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Matematik ve müzik ilişkisi, günümüzde bilgisayarlar aracılığı ile devam etmektedir.

Matematiğin müzik üzerindeki etkisini müzik parçalarının yazımında görebiliriz. Bir müzik parçasında ritim ( 4:4 lük , 3:4 lük gibi ), belirli bir ölçüye göre vuruş birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık, ... gibi notalar bulunur. Belirli bir ritimde, değişik uzunluktaki notalar, belirli bir ölçüye uydurulur. Her ölçünün ise değişik uzunluktaki notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür.

Pisagor ( M.Ö. 580- 500 ) ve onun düşüncesini taşıyanlar sesin, çekilen telin uzunluğuna bağlı olduğunu fark ederek, müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki ilişkiyi kurmuşlardır. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği görülmüştür. Gerçektende çekilen tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı olarak gösterilebilir. Örneğin, do sesini çıkaran bir telin uzunluğunun 16/15'i si sesini verirken 6/5'i ise la sesi; 4/3'ü sol sesini; 3/2'si fa sesini; 8/5'i mi sesini; 16/9'u ise re sesini verir.

Görüldüğü gibi iki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya da iki sayıyı ve bu iki sayı arasındaki oranı algılamaktan başka bir şey değildir. Demek ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme sorununa eşdeğerdir. Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır diyen Leibniz'in haklılığı ortaya çıkıyor.

Müziği, belli kurallara uygun olarak oluşturulmuş basit birtakım seslerin birbirlerini izlemesinden oluşan cümleler topluluğu olarak tanımlayabiliriz. Bu kurallar, matematikte mantık kurallarına karşılık gelirler.

Bir çok müzik aletinin biçiminin matematiksel kavramlarla ilgili olduğunu belirtirsek şaşırmazsınız herhalde. Örneğin, aşağıdaki şekilde x >= 0 için y = 2x eğrisinin grafiği çizilmiş olup telli ya da üflemeli çalgıların biçimleri bu üstel eğrinin biçimine benzer.

Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19. yüzyılda matematikçi J.Fourier tarafından yapılmıştır. Fourier* , müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini ve bunun da periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.

Bir çok müzik aleti yapımcısı, yaptığı aletlerin periyodik ses grafiğini, bu aletler için ideal olan grafikle karşılaştırır. Yine elektronik müzik kayıtları da periyodik grafiklerle yakından ilişkilidir. Görüldüğü gibi bir müzik parçasının üretilmesinde matematikçilerle müzikçilerin birlikteliği çok önemlidir.

Matematik - müzik ilişkisinin bir başka özelliğini ortaya çıkarabilmek için matematikte ve mimaride çok sık kullanılan bir orandan söz etmek istiyorum.

Uzunluğu L olan bir [AB] doğru parçasını ele alalım ve bunun uzunlukları a ve b olan iki parçaya ayıralım. Eğer a / b = L / a yani, a / b = (a + b) / b eşitliği gerçekleniyorsa, bu bölmeye [AB] doğru parçasının altın bölümü adı verilir. a /b oranına da ALTIN ORAN denir. Şimdi x = a / b dersek, ilgili denklem x2 - x - 1 = 0 şekline getirilebilir. Bu denklemin pozitif kökü (1 + 5) / 2 = 1.618'dir.

Şimdi yeniden müziğe dönelim. İnsan kulağı için en uyumlu aralığın 8/5 frekans oranındaki major 6'lı olduğu bilinmektedir. Bu oranın yukarıda bulduğumuz altın orana çok yakın bir oran olduğunu görüyoruz.

Bana göre müziğin matematikten farklı tarafı, bazı göz kamaştırıcı tuzaklar kullanarak, insanları büyüleyebilmesidir. Halbuki matematik bunu yapmaz. Russell bunu şöyle özetliyor: "İyi bakıldığı zaman matematik sadece doğruyu değil yüksek bir güzelliği de içerir. Matematik bu güzelliklere bürünmek için insan doğasındaki zayıflıklara başvurmaz; resim ve müziğin göz kamaştırıcı tuzaklarını da kullanmaz."Matematiğin müziğe kıyasla önemli tarafı şudur: Müzikal bir parçanın içerdiği estetik unsurun müzik eğitimi almayan kimseler tarafından anlaşılabilmesine karşılık, bir matematiksel teoride dinleyici veya okuyucunun tüm mantık zincirlerini izlemesi zorunluluğu vardır. Hatta içerdiği estetik unsuru da sezebilmesi gerekir.

Şüphesiz matematiğin de müzik gibi kompozitörleri ve virtüözleri vardır diyor hocamız Cahit Arf. Kompozitörler, teorileri kuranlar; virtüözler de teorileri gerçek manada anlayarak ifade edebilenler ve hissettirebilenlerdir.

Yazımızı, ünlü ressam Leonardo Da Vinci'nin şu sözleri ile noktalamak istiyorum: "Matematiksel açıklamalar ve yöntemler kullanılmadan yapılan hiçbir araştırmaya bilimsel denemez."

Prof. Dr. Cihan Orhan
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü Öğretim Üyesi

---

Resim Sıkıştırmanın Matematiği

 

Bir CD-ROM a doldurulabilecek veri miktarı limitsiz gibi görünür. Microsoft un multimedya ansiklopedisi Encarta yı oluştururken yaptığı gibi 7000 fotoğrafı içine sığdırmaya çalışana kadar.

  Bu bilgi depolama başarısını mümkün kılan fraktal resim sıkıştırma matematiğiydi.

  Geçen yüzyılda fraktalların altında yatan başlıca kavramlar matematikçiler tarafından biliniyordu, fakat fraktal araştırmasını bir pratik gerçeklik haline getiren güçlü bilgisayarların ortaya çıkışı oldu. Fraktallar başlangıçta gözalıcı bigisayar-üretimi resimlerin konusu olarak popülerlik kazandı. Günümüzde araştırmacılar fraktalları pratik uygulamalarda kullanıyorlar. Aşağıdaki resim bilgisayar-üretimi bir fraktal resmi örneğidir.

 

 

  Fraktalların ardındaki temel fikir tekrarlama--bir işlemi pek çok defa icra etme--dir. Verilen bir matematiksel fonksiyon tekrar tekrar uygulanırsa tekrarlanmış fonksiyon sistemi olarak bilinen yapı elde edilir. Bir bilgisayarı bu tekrarlama işleminin iki boyutlu grafiğini çizmek için programlamak aslında bir fraktalın resminin üretilmesidir. Başlangıçta, sadece birkaç tekrarlama yapıldığında, resim rasgele noktalardan oluşuyormuş gibi görünebilir. Fakat en sonunda--bu binlerce ya da milyonlarca tekrarlama kadar sürebilir--açıkça belirli bir şekil ortaya çıkar. Farklı fonksiyonlar farklı resimler oluşturacaktır.

 

  Fraktal resim sıkıştırması oldukça kompleks, detaylı resimler oluşturmak için tekrarlanmış fonksiyon sistemlerinin gücünden yararlanır. Sıkıştırmak isteyeceğiniz bir fotoğraf yada resim olduğunda, temel fikir tekrar edilince orijinal resme çok yakın bir resim oluşturan bir matetatiksel fonksiyon bulmaktır. Sadece fonksiyon hakkındaki bilgiyi depolamak orijinal resimdeki her pikselin açıklığı ve koyuluğu hakkındaki bilgiyi depolamaktan çok daha az bilgisayar hafızası gerektirir. Resim yeniden oluşana kadar fonksiyonun tekrarlanması ile  sıkıştırılmış resim açılmış olur.

 

---

KARMAŞIK SAYILAR

Karmasik sayilar bugun matematikteki agirlikli yerinin yani sira hidrodinamik,aerodinamik ve haritacilik gibi bircok alanda vazgecmez bir uygulama aracidir.Elektrikte alternatif akim karmasik sayilarla ifade edilir ve cebirsel islemlerde buyuk kolayliklar saglar.Yeni gelismekte olan "fraktal geometri" alaninda,bilgisayarla yapilan cesitli grafik ve tasarimlarda karmasik sayilar bir anahtar rol oynamaktadir.Ornegin Yildiz Savalari (Star Wars) filmi serisinde bircok manzara ve goruntunun bilgisayarla yapiminda fraktal geometri ve karmasik sayilar kullanilmistir.Fraktal geometride kompleks tekrarlama yani dinamik sistem vardir. Ayrica elektrik muhendisliginde karmasik sayilar kullanilmaktadir. burada i yerine j kullanilir. Ayrica bir sarkacin hareketinin modellemesinde kullanabilirsiniz. Arabalarin suspansiyonlarida kullanilir ki her yaylanan bir sisteminiz varsa modellemesinde kullanmak zorunda degilsniz ama kullanimi kolaylik saglar.

Ayni sekilde elektrik devrelerinde de kullanilir. Alternatif akim modellemede cok  kolaylik saglar. Guc tuketimi ve enerji hesaplarinda bol bol karsimiza cikar( zaten yine devrelerde).

 

---

 

Çöl Karıncasının Matematik Sırrı

Amerika'nın ulusal radyo kanalı NPR'da hafta sonu programları yapan Stanford Üniversitesi'nden matematik profesörü Keith Devlin, Matematik İçgüdüsü adlı yeni kitabında, bitkilerdeki matematiğe değiniyor; hayvanlardaki bazı ilginç yeteneklerden söz ediyor. Devlin, en gözde hayvan yeteneğinin Tunus çöl karıncasınınki (Cataglyphis fortis) olduğunu belirtiyor. Bu minik hayvanın özelliği, çölde yiyecek bir şeyler bulduktan sonra yuvasından çok uzaklaşmış olsa bile dolambaçlı yollara sapmadan doğruca yuvasına gidebilmesi. Çok sıcak ortamda kimyasallar hızla buharlaşıyor. Peki ama çöl karıncası başka karıncalar gibi kimyasal izleri takip etmiyorsa çölde yolunu nasıl buluyor? Ulm Üniversitesi'nden Harald Wolf ve ekibinin kısa bir süre önce Science dergisinde yayımlanan araştırmalarına göre, karıncanın 'adımsayarı' var. Profesör Harald Wolf, bulguların, karıncaların attıkları adımların hesabını tutan ve dönüş yolunda yeniden ayarlanan bir iç sistemleri olduğunu gösterdiğini söylüyor. Profesör Keith Devlin de kendisiyle yaptığımız röportajda bize şunları söyledi: 'Bu karıncalar yollarını o kadar iyi buluyorlar ki, bunu yapabilmelerinin tek yolu adımlarının hesabının tutulması.'

Devlin'in söz ettiği bir diğer ilginç yetenek de köpeklerinki. Hope College'den matematikçi Tim Pennings 2003 yılında The College Mathematics Journal'da yayımlanan makalesiyle, köpeği Elvis'in matematiksel analiz (calculus) yapıyor gibi göründüğünü dünyaya duyurmuştu. Suya atılan tenis topunun peşine düşen Elvis, çoğu zaman önce kumsal boyunca biraz koşup, daha sonra suya dalarak en kısa sürede topa ulaşıyordu. Bir başka deyişle, suda farklı, karada farklı hızla ilerleyebilen köpek, A noktasından B noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için hangi noktada suya girmesi gerekiyorsa, o noktada suya atlıyordu. Profesör Keith Devlin, böyle bir problemi kâğıt üstünde çözmek için matematiksel analiz yapmak gerektiğini ve bunun zaman alacağını belirtiyor. Bu yıl, College Mathematics Journal'da yayımlanan bir çalışma daha, köpeklerin topu getirmek için en uygun yolu seçtiğini gösterdi.

Astrofizikçi Profesör Mario Livio, aralarında Einstein, Eugene Wigner ve James Jeans'in de bulunduğu birçok önemli fizikçinin, matematiğin evreni tanımlamada çok etkin olduğunu belirttiklerini söylüyor. Old Dominion Üniversitesi'nden matematik profesörü John A. Adam da Doğadaki Matematik adlı kitabında gökkuşaklarından nehir kıvrımlarına kadar doğadaki birçok olgunun matematiksel olarak ifade edilebileceğini belirtiyor. Profesör Ian Stewart ise doğadaki güzelliğin sayılarla ilişkisine dikkat çekiyor ve güzellik anlayışımızın matematikle bağlantılı olduğunu söylüyor. Bristol Üniversitesi'nden araştırmacılar gökyüzünde algılayamadığımız polarize ışık motiflerini açıklayan bir matematik formülü bulduklarında Oxford Üniversitesi'nden Marcus du Sautoy'un şu sözlerine işaret etmişlerdi: 'Estetik ve güzellik anlayışına sahip olmak bilim insanı olmanın önemli bir parçası. Estetik gözü olan bilim insanları genelde doğanın işleyişini keşfetmek için daha donanımlı olurlar.

 

---

 
Depremin Matematiği

      Deprem matematiği üzerinde çalışan jeofizikçiler, deprem tahmini konusunda yanlış varsayımlarda bulunulduğunu söylüyor. Kendi sonuçlarına göre büyük bir depremin bir yerleşimi vurma fırsatı her zaman söylenegeldiği gibi artacağına, azalıyor.

      Bir çok jeofizikçi bir depremin zamanını ve yerini tam olarak tahmin etmekten vazgeçmişlerse de, belli bir zaman içinde bir yerde deprem olup olmayacağı hala araştırılıyor. Varsayım, bir yerde olan son büyük depremden bu yana uzun zaman geçtiyse, yeni bir depremin daha kısa bir süre içinde olacağı doğrultusunda. Aslında mantık çok açık: Depremler oluşur, çünkü dünyanın tentonik plakalarının yavaşça sıkışması kayalar üzerinde gerilme yaratır; kayalar kırılana dek. Böylece, büyük bir deprem olasılığının zamanla nasıl 'geliştiğinin' anlaşılması amacıyla yapılan sismik kayıtların analizi, gelecek bir depremin kabaca tahminini mümkün kılar.

       California Üniversitesi'nden Lean Knopoff ve Didier Sornette yeni çalışmalarında bu yaklaşımla ilgili ciddi kuşkuların bulunduğunu dile getiriyor. Çalışmalarına göre, yeni depremin oluşma şansı zaman içinde artmak yerine aynı kalıyor, hatta azalıyor. Araştırmaları, gelecekteki bir olayın olasılığının geçmişteki olaylardan nasıl etkilendiğini gösteren Bayes'in kuramına dayanıyor. Sornett'e göre, bir sonraki olayın zamanının tahminini, olaylar arasındaki sürede görülen dalgalanmalar hakkında ne bilindiğine bağlı. Bu dalgalanmaların doğası ise depremler arasındaki zaman aralığı olasılığın yoğunluğuna bağlı.

         Bazı bölgelerde periyodik sayılabilecek bir düzen içinde küçük depremler oluşur. Bu durumda, zaman geçtikçe deprem olasılığının artmasına yol açan basit bir olasılık yoğunluğu vardır. Ancak başka bölgelerdeyse, olasılık yoğunluğu Poisson dağılımını takip ediyor. Sornetto ve Knopoff'a göre bu durumda zaman içinde bir başka deprem olma olasılığı sabit kalıyor. Yani en son ne zaman deprem olduğunun hiç bir önemi yok. Daha da garibi, daha başka olasılık yoğunluklarının, uzun bir süre deprem olmazsa deprem oluşma ihtimalinin azalacağını gösterdiğini bulmuşlar. Araştırmacılar bu yapının, birçok fayın birbirini etkilediği bölgelere uygulanabileceğini düşünüyor.

          Ancak Sornette ve Knopoff olasılık yoğunluklarının kolaylıkla yanlış hesaplanabileceğini söylüyor. Örneklem için kullanılan zaman dilimine bağlı olarak, sismik kayıtlar farklı farklı olasılık yoğunlukları verebilir. Sornette'e göre sonuç, zaman aralıklarındaki dalgalanmalar hakkında yapılan varsayımlara çok duyarlı. O'na göre jeofizikçiler, doğru olasılık yoğunluğunu bulabilmek için geniş bir alan üzerinde olabildiğince çok depremin, zamanlamasını ve merkezini incelemeliler..

---

---

trigonometrinin; astronomi calismalari,haritacilik,rota tayini,kan basinci olcumu,optik,mekanik ve elektronik muhendisligi gibi alanlarda uygulamalari vardir.

MATEMATİK VE GENETİK

  2001  yılı matematiğin biyolojide oynayacağı rol açısından bir dönüm noktası olacağa benziyor.  Şimdiye kadar deney tüpleri, mikroskoplar, ve pipetler gibi aletlerle çalışan moleküler biyologların pek yakında matematikle de haşir neşir olmaları gerekecek gibi gözükmektedir.

     Cambridge Üniversitesinden Dennis Bray, matematiğin biyolojik sistemlerin analizindeki rolünün gün geçtikçe daha da önem kazandığını ve birçok araştırmacının bu alana yönelmeye başladığını ifade etmektedir.

      Özellikle genetik bilgilerin ve binlerce hücrenin yapısının birbiriyle ve toplu olarak etkileşmelerinin incelenmesinde, matematiksel modellerin kullanılması gerektiği düşünülmektedir. Geçen yılın Temmuz ayında Washington Üniversitesinden George von Dassow ve arkadaşları meyve sineğindeki bir grup geni inceleyerek, bu genlerin matematiksel modelini çıkardılar. Genlerdeki atomların aralarındaki bağlardan, moleküllerin kimyasal özelliklerine kadar birçok değişik parametreyi içerecek şekilde bunu gerçekleştirdiler. Bu matematiksel model, gerçek yapıya o kadar yakın oldu ki, araştırmacılar matematik modellemenin biyolojideki rolünü; �bilmediklerimizi bize açıklaması� olarak tarif ediyorlar.

       Aynı çalışmanın sonunda moleküler yapının bilinmeyen bir gerçeği de ortaya çıktı: İncelenen genetik yapı son derece esnek olmakla beraber oldukça sağlam temeller üzerine kurulmuştu.  Öyle ki bu modeldeki rakamlardan birisi rastgele bir rakamla değiştirildiğinde modelin çalışmasının %90 durumda değişmediği görüldü. Araştırmanın başındaki Dr.Odell: �Bu insan kabiliyetinin ötesinde bir mühendislik yapısıdır� ifadesini kullanarak şöyle demektedir: �Oysa insanların ürettiği hemen herşey, en ufak bir parçanın biraz değişmesiyle veya biraz hatalı olması ile çalışmaz hale gelmektedir�.

      Stanislas Leibler ve arkadaşları, Princeton Üniversitesinde kimyasal uyarıların yol açtığı bakteri hareketlerini incelerken aynı tür toleransı bulmuşlardı.

      Neticede bu tür toleransların canlılarda yaygın olarak bulunduğu ve bu sayede değişen ya da zorlaşan hayat şartlarında da hayatın devam edebildiği gibi bir kanaata varıldı. Bilim adamları bu kanaatlarına kesinlik kazandırmak amacıyla araştırmalarına devam etmekteler. Halen Dallas�daki Texas Üniversitesinin Southwestern Tıp Merkezinde çalışan Nobel ödülü sahibi Al Gilman hücresel sinyallerle ilgili yapacağı daha ileri çalışmalar için 25 milyon dolar araştırma desteğini aldı bile.

 Matematik Balina Şarkılarını Resmediyor

New York Times gazetesinin 1  Ağustos 2006 tarihli haberinde yer  alan yandaki resimler, bir balinanın şarkısından alınan bir kesitin, dalgacık(wavelet) analizi kullanarak polar koordinatlarda çizilen garfikleridir.Eski bir mühendis olan Mark Fischer, okyanus memelileri olan balinaların büyülü çağrılarını, dijital sinyalleri işleme tekniği olan dalgacık analizi ile görsel birer filme dönüştürüyor.   Bir  zamanlar anlaşılmaz gibi görünen dalgacık modeli ve analizi, bugün JPEG resim sıkıştırma, yüksek çözünürlüklü televizyon ve deprem araştırmaları gibi değişik alanlarda kullanılıyor. Bu tekniğin resimde olduğu gibi bilimsel araştırma aracı olarak da kullanılabileceğini söyleyen bilim adamı Peter Tyack, balinaların şarkılarındaki tekrarların insan dilindeki gramatik kurallarla benzerlik gösterdiğini ispatlamak için balinaların iletişimini inceliyor.

Müziğin Matematiği

19.yy matematikçilerinden Joseph Fourier müzikal seslerin basit periyodik sinüs fonksiyonlarıyla ifade edilebileceğini kanıtladı.Seslerin matematiksel olarak ifade edilmesi,müziğin elektronik-bilgisayar ortamına aktarılmasında büyük rol oynamıştır. Örneğin bağlama veya gitar gibi aletlerin çıkardığı sesleri grafiklerle gösterebiliriz.Bir bağlama telinini titreşim grafiği sinüsoidal yani sinüs veya kosinüs grafiğine benzeyen bir eğri oluşturur. Bir bağlama telini şekildeki gibi A uzunluğu kadar gerip bırakalım.A uzunluğunun zamana bağlı olarak değişimi sinüsoidal bir grafik oluşturur. Telin bir titreşimini yani gidiş ve gelişini 1/330 saniyede yaptığını kabul edersek,grafiğin esas periyodu 1/330 olur.Bir saniyede 330 titreşim yapacağı için telin frekansı 330 Hz dir. şekil Telin gerginliği ve uzunluğu değiştikçe periyot(dolayısıyla frekans9 değişir.Bu şekilde frekans değiştirilerek çeşitli sesler elde edilebilir.Müzisyenler çaldıkları aleti akort ederek telin gerginliğini,eser icra ederken ise parmaklarıyla tellere dokunarak telin uzunluğunu değiştirir ve farklı notalar elde ederler. Yukarıdaki grafikte frekansı 330 Hz olan "mi" notası gösterilmiştir.Notaların frekanslarını kalın "do" dan başlayarak şu şekilde sıralayabiliriz: Kalın do 264 Hz re297 Hz mi 330 Hz fa:352 Hz;sol 396 Hz la 440 Hz si 495 Hz ve ince do 528 Hz dir.Telin boyu kısaldıkça frekans artar,yani periyot küçülür ve ses incelir.Örneğin frekansı 264 Hz olan kalın do sesini çıkaran telin uzunluğu,frekansı 528 Hz olan ince do sesini çıkaran telin uzunluğunun yaklaşık iki katıdır.

e sayısı

e sayısı bugün popülasyon(nüfus) artışı,bankacılık,radyoaktif bozunma gibi bilim,ekonomi ve mühendisliğin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır.

  Logaritmanın kullanım alanları

Kimyada pH hesaplamalarında,istatistiğin konusu olan nüfus artışı tahminlerinde,bankacılıkta,bileşik faiz hesaplamalarında, astronomide ve optik gibi alanlarda sıkça kullanılır.

"Logaritma,işlemleri kısaltarak astronomların ömrünü ikiye katladı."

Pierre-Simon LAPLACE

  Bal Peteğindeki Matematik

* Altıgenin, eşkenar üçgen ve kareye nazaran avantajlı tarafları�

* Altıgen bir prizma şeklinde olan peteğin, açık ucunu kapatmak için kullanılacak balmumunun israf edilmemesi için, nasıl bir geometri uygulanmalıdır?

Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini çekmiştir. Yan yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm�dir. Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematikî bir bakış açısına sahip olmak gerekir.
Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür. Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir. Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır. Çerçeveyi, eşit alanlara sahip küçük daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.
Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır. Meselâ eşit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir. Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.
Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiğidir. Bir daire ve içerisine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin bir kısmı Şekil 1'de gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği gibi çokgenin bir iç açısı 180-360/n derecedir. Verilen bir geniş alanı küçük alanlara bölmek istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2). Başka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır. N komşu iç açıların adedini temsil etmek üzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 - 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)
ifadesi elde edilir. Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N değeri tamsayı olmaktadır. Tamsayı değerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez. Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6'dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boşluksuz bölme mümkün değildir. Benzer şekilde düzgün beşgenler de uygun bir çözüm değildir. Şekil 3'te üç düzgün beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4).Ayrıca eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.
Matematikçiler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez içbükey şekil elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi�nden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı. Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı.
Şimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık. Ancak bal peteği üç boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir. Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık, diğer kapalı uçları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5). Çerçeve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13O�lik bir eğim açısı yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için yeterli olan en küçük açıdır. Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gösterdi (Şekil 6a). Arılar ise biraz farklı olarak üç eşkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b). Eşkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye göre alanda % 0,035'lik çok küçük bir kayıp olmaktaydı. Ancak gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu.
Araştırmacılar, Toth�un matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı hava köpüğü kullandılar. İki cam arasına, iki tabaka olacak şekilde 2 mm çaplı kabarcıklara sahip deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü. Ortada iki tabakanın sınırında ise Toth�un öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu. Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya çıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi üç eşkenar dörtgen yapısına dönüştü.

Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ

Barkod

 Hepimiz günde en az bir kere ihtiyacımız olan herhangi bir ürünü almak için bakkala veya markete gideriz. Aldığımız her ürünün üzerinde değişik kalınlıktaki çizgilerden oluşan bir etiket vardır. İhtiyacımız olan ürünleri aldıktan sonra parasını ödemek için kasaya geliriz. Kasada duran kasiyer satın aldığımız ürünlerin üzerindeki etiketleri tek tek bir el tarayıcısından geçirerek size ödemeniz gereken toplam tutarı söylüyor.

Hiç merak ettiniz mi bu etiketler ne işe yarıyor, etiketin üzerindeki rakamlar ve çizgiler ne anlama geliyor? İşte her ürünün arkasında bulunan bu etiketlere BARKOD diyoruz.

Nedir Bu Barkod?
Kısaca; genelde dikdörtgen biçiminde olan, birbirine paralel çizilmiş inceli kalınlı çizgilerden ve bu çizgilerin arasındaki boşluklardan meydana gelen , siyah çubukların oluşturduğu bir sembole barkod diyoruz. Barkod'lar sayesinde bilgisayara otomatik veri girişi hızlı bir şekilde sağlanmaktadır. Günümüzde pek çok alanda kullanılmaya başlanmıştır. (Gazete, dergi, kitap ,ilaç, gıda vs.)

Çizgiler Ne Anlam İfade Ediyor?
Konuya geçmeden önce sizlere bir tavsiyede bulunmak istiyorum. Bu konuyu daha iyi anlamanız için üzerinde barkod olan bir ürünü yanınızda bulundurabilirsiniz?

Öncelikle bilmeniz gereken şey; bu çizgiler sadece ürünün referans numarasını içerir. Herkesin sandığı gibi ürünün fiyatı ve ürün hakkındaki bilgileri içermez. Bu bilgiler bilgisayarda kayıtlıdır.
Barkod tarandığı zaman sinyal sistemdeki bilgisayara ulaşır. Bilgisayarda girilen barkod numarasına göre ürünün fiyatını kasaya yansıtır. Eğer barkod'larda fiyat belli olsaydı, ürün fiyatı ne zaman değişse, ürünün barkodu da her fiyat değişiminde değişecekti. Bu da maliyet ve zaman açısından çok büyük kayıplara neden olacaktı.
Peki öyleyse fiyat değiştiği zaman bu değişiklik nasıl yapılıyor? Cevabı çok basit; fiyat bilgileri bilgisayarda kayıtlı olduğu için; bilgisayardaki fiyat bilgisini değiştirmek yeterli olacaktır.
Barkod da iki bölüm vardır. Birincisi bizim gördüğümüz rakamlar; ikincisi ise makinenin taradığı çizgiler. Bunları ileriki bölümlerde daha detaylı anlatacağım.

Barkod Çesitleri Nelerdir?
Çok değişik barkod çesitleri var. UPC, EAN, EAN-13, EAN-8, Code 39, Code 93, Code 128. En çok kullanılanlar UPC ve EAN 'dir. UPC numaralama sistemi Kanada ve Amerika'da, EAN-13 numaralama sistemi ise Avrupa ve Türkiye'de kullanılmaktadir. Ben sizlere ülkemizde de kullanılan EAN-13 sistemini açıklayacağim.

EAN-13 Barkod Sistemi
EAN-13 sistemi UPC sisteminden türetilmiş bir barkod sistemidir. UPC sistemi sadece Amerika ve Kanada'da kullanıldığı için uluslararası pazarlarda kullanılmaya müsait değildir.
EAN İngilizce "International Article Numbering Association" kelimelerinin kısaltılmış halidir. EAN 'nin yayınladığı bildirgeye göre 2005 yılından sonra Amerika ve Kanada'da EAN uluslar arası barkod sistemine geçis yapacaktır. EAN sistemi bakkaliye ürünleri başta olmak üzere perakende satılan ürünlerin numaralandırılmasinda kullanılmaktadır. Ayrica Kitap (ISBN ) ve periyodiklerin (ISSN ) numaralandırılmasinda da kullanılmaya başlanmıştır.
Bu kadar bilgi verdikten sonra gelelim barkodların sırrını çözmeye.

 EAN-13 sistemi 13 haneden oluşur

Birinci kısım: veya simge kodunu gösterir. Her ülkenin kendine ait bir kodu vardır. Türkiye'nin kodu 869 dur. İkinci kısım: Firma kodunu gösterir. Ülke kodundan sonra gelen 4 hanedir. Bu kod TOBB (Türkiye Odalar ve Borsalar Birligi ) bünyesinde bulunan Mal Numaralandirma Merkezi'nden alınır.

 
Üçüncü kısım: Firma kodundan sonra gelen 5 hanedir. Ürünü tanımlayan mamul kodudur.
Dördüncü kısım: En son rakamdır. Kontrol kodudur. Bu kod diğer rakamların hatalı okunmasını engellemek için belli bir formülle hesaplanan kontrol sayısıdır.

Kontrol Kodunun Hesaplanması
Barkod tarayıcı makinası barkodu okuduğunda bazı matematiksel hesaplar yaparak okuduğu kodun doğru olup olmadığını kontrol eder. Bunun içinde kontrol kodunu kullanır. İsterseniz daha iyi öğrenmeniz için bunu bir örnekle açıklayalım.
Diyelim ki 9799753293685 koduna sahip bir ürün tarayıcıdan geçirildi. Yapılan hesaplamalar ve kontrol aynen asağıdaki gibidir.

1- Sağdan başlayarak ilk hane tek olmak üzere tüm haneler tek çift diye ayrılırlar.
2- Tek hanedeki sayılar toplanır ve 3 ile çarpılır. 7+9+5+2+3+8= 34 x 3 = 102
3- Çift hanedeki sayılar toplanır. 9+9+7+3+9+6 = 43
4- Her iki rakam toplanır ve 10 sayısının katına ulaşmak için gerekli sayı eklenir. 102 + 43 = 145 + 5 =150
Barkod tarayıcı makinası barkodu okuduktan sonra yukarıda anlattığım işlemleri yapar. Eğer bulduğu kontrol kodu, okuduğu kontrol koduyla aynıysa, barkod doğru okunmuş demektir. Yanlışsa tekrar okunması için uyarı verilecektir.
Deşifre Edelim!
Şimdi gelelim çizgi ve boslukların nasıl deşifre edileceğine. Öncelikle şunu bilmenizi isterim ki; siyah çizgiler 1 sayısını, boşluklar ise 0 sayısını temsil ederler. En ince siyah çizgi bir birim (1) iken, en kalın siyah çizgi dört birime (1111) denk gelir. Aynı şekilde en ince boşluk bir birim iken (0), en kalın boşluk dört birim (0000) demektir.
Bir barkodun başında ve sonunda 101 değerine eşit olan baslangıç ve bitiş kodları vardır. Ortada ise 01010 değerini veren daha uzunca barkod bulunur.
Bir barkodu çözümlemek için asağıdaki tablolardan ve bilgilerden faydalanmamız gerekecek. Ama bunu bence bir örnekle açıklayalım ki daha anlaşılır olsun.
Mesela 9799753293685 barkodunu çözmeye çaışalım. Bu barkodu çizgi ve boşlukların kalınlıklarına göre, en ince çizgi veya boşluk 1 birim, en kalın çizgi veya boşluk 4 birim olduğunu düşünerek çözelim. Unutmayın ki çizgiler 1, boşluklar 0 olacaktır.

Şimdi barkodun ilk hanesine bakalım. Burada bu sayı 9 dur. Asağıdaki tabloya göre ikinci haneyi ve firma kodunu tek ve çift olarak ayırırız.
Burada 9 denk gelen satıra baktığımızda ikinci hanenin �tek� olduğunu görürüz. Firma kodundaki haneler ise sırasıyla �çift-çift-tek-çift-tek� şeklindedir.

Daha sonra asağıdaki tabloyu kullanarak her koda denk gelen sayıyı bulabiliriz.

Bu tabloya göre barkodun çözülmüş hali aşağıdaki gibidir.

Günlük Hayatımızda İstatistiğin Yeri

Değişik bilim dallarında istatistik bilgisine ve istatistikçiye gereksinim duyulan konuları kısaca aşağıdaki gibi özetleyebiliriz.

İstatistik;
Aktüerya biliminde, farklı kaza riskleri için ödemelerin belirlenmesinde,

Biyolojide, yaşam sürecinde çeşitli genetik özelliklerin incelenmesinde, türlerin çevresi ile uyumlarının araştırılmasında, sinir sisteminin kuramsal modellerinin kurulmasında,

Demografide, insan kitlesinin (nüfusun) artması çalışmalarında, doğum ve ölüm oranlarının analizinde, köyden kente göç ya da bölgeler arası göç durumlarının incelenmesinde, kişisel, sosyal ve ekonomik karakteristikleri içeren kitlelerin yapısının ve dağılım özelliklerinin incelenmesinde,

Ekonomide, kaynaklar, fiyatlar, iş gücü, yaşama standardı, iş hacmi ve üretim miktarının ölçülmesinde, fiyat değişiklikleri, reklam, hükümetlerin aldıkları kararlar gibi faktörlere bağlı olarak üretim ve tüketim davranışlarının analizinde,

Genel bilimde, diğer fiziksel , sosyal ve doğal bilimlerdeki deneysel ve temel araştırmalarda,
İstatistikte, olasılık ve istatistikteki temel araştırmalarda, uygun bir biçimde tasarımlanmış denemeler için veri toplanmasında, istatistiksel sonuç çıkarılmak istenen konudaki bir hipotezin test edilmesinde, bilinmeyen parametrelerin tahmin edilmesinde ve elde edilen sonuçların açıklanmasında,

İşletmecilikte, perakende satış hacminin tahmin edilmesinde, envanter kontrol sisteminin tasarımında, bir endüstri kuruluşunun çalışma koşullarının geliştirilmesinde, üretim kontrolünde,

Kalite kontrolde, işletmelerde belli bir süre içinde üretilen malın kalitesinin kontrol altında tutulmasında,

Mühendislikte, araştırma ve tasarımlamada, test yöntemlerinin geliştirilmesinde, testten çıkan sonuçların geliştirilmesinde, kalite kontrol için güvenilirlik testinde, hava alanlarının uçuş kontrol kulelerinde güvenlik sistemlerinin incelenmesinde, üretimde verimlilik testinde,

Sağlıkta, yeni ilaçların test edilmesinde, sağlık sigortası, hastaneye yatma yüzdesi, belirli hastalıkların yayılma yüzdesi ve kazaların meydana geliş nedenlerinin incelenmesinde,

Pazarlama ve tüketim araştırmasında, market yeri ve büyüklüğü ile ilgili incelemede, tüketim tercihlerinin incelenmesinde, satın alma alışkanlıklarının belirlenmesinde, dağıtım sisteminin en etkin bir biçimde işleyişinde,

Psikoloji ve psikometride, öğrenme yeteneğinin ölçülmesinde, zekâ düzeyinin saptanmasında, bireyin normal ve anormal davranışlarının ortaya çıkarılmasında,

Sigortacılıkta, genel nüfus içinde yaşam sigortasına sahip olanların dağılımının bulunmasında, belli işletmeler için hisse senetlerinin gösterebileceği değer değişikliklerinin incelenmesinde, sigorta primlerinin analizinde,

Sosyal bilimlerde, sosyal sistemler hakkındaki kuramları test ederken, sosyal refah, sosyal güvence analizi, davranış ve değer yargılarındaki farklılıkları açıklamak için farklı kültürlerden elde edilen verilerin analizinde, kamuoyu araştırmalarında,

Tarım ve balıkçılıkta, yumurta ve süt üretimindeki artış, tahıl türlerinin iyileştirilmesinde, pestisitlerin potansiyel tehlikeleri ve etkilerinin tahmin edilmesinde, doğal balıkçılık kaynaklarının belirlenmesi ve işletilmesinde,

Tıpta, temel araştırmalarda, salgın hastalıklardan ve diğer hastalıklardan korunma, teşhis ve tedavide , nedenlerin incelenmesinde,

Uzay bilimlerinde, uzay araçları ile toplanan deneysel ölçümlerin açıklanması ve indirgenmesinde,

Yöneylem araştırmasında, yöneylem araştırması dahil, iş gereçleri, yöntemler, çalışma koşulları, donanım ve halkla ilgili olarak yönetim sorunlarının araştırılmasında etkin bir biçimde kullanılır.

Bu alanların tümünde ve diğer pek çok alanda istatistikçiler yeni istatistik teknikleri geliştirmek için diğer bilim adamları ve araştırmacılarla yakın ilişki içinde çalışırlar.

İstatistikçiler, antropoloji, arkeoloji, jeoloji, tarih, kütüphanecilik, hukuk ve politikada olduğu gibi bilgisayar sistemlerinin bileşenlerinin ve programlarının geliştirilmesinde de rollerini genişletmektedirler.

Pek çok kişi, geleceği için plân yapmak isteyebilir. Bu nedenle, iş adamları, kamu ve özel kesim yöneticileri, bankaların yönetim kurulu başkanları, bilim adamları (daha önce belirtilen bilim dallarında) istatistiğe gereksinim duyarlar.Gelecekteki bazı şeyleri anlayabilmek için geçmişte ne olduğunu bilmek gerekebilir. Geçmişle ilgili ön bilgileri ve istatistik yöntemlerini kullanarak gelecek hakkında tahminler yapılabilir. Böylece geleceğe daha güvenle bakılabilir.

TÜREV KULLANIM ALANLARI

1-     Diyelimki yatay bir tel mesela yuksek elastikyetli bir fiberglas bir guc tarafindan dagitilirsa ve egilip b?se, birinci turevi egim, 2. turev egilme aniyla orantili (Euler- Bernoulli kural), 3. Turev yanal y? topladigi sarj(yuk), 4. T?anal y? dagittigi sarj (yuk) (Hetenti nin turev kullanarak isigin seklini bulma metodu). Bu sayede uzun plastik ve agirligi yuzunden egilen bir t?Derece polinomlarla tanimlanabilir.

2-     Trenlerde yolculara konforlu bir yolculuk salamak i? trenlerin yol egrilerinin 3. Turevlerinin s? olmasi zorundadir. Tren yolculuklar esnasnda iyi dizayn edilmis gecis segmentleri sayesinde asla konforsuz hissetmezsiniz.

3-   imalat sirketlerinde 3. Derece turevden faydalanilir.

4-  En az malzeme kullanarak en b?acimli bir kutu uretme  (turev/optimizasyon teorisi)

PARABOL VE ELİPS

TRİGONOMETRİ VE MÜZİK
TIKLAYINIZ

---

POLİNOMLAR
muhendislikte, asansorun asagi inip yukari cikmasinda polinomlardan faydalanilir.

---

 Geometri gunluk yasamin hemen her alaninda gereklidir. Geometride uzunluk, alan, yuzey, aci gibi kavramlar bazi nicelikleri belirlemede kullanilir. Geometri'nin en cok ic ice oldugu dallar cebir ve trigonometri, mimarlik, muhendislikler (Yol, kopru, yapi, makine, gemi ve ucak yapimi; maden, su ve elektrik isleri gibi bayindirlik ve zanaatla ilgili teknik calismalar, vb.) , endustiryel alanlar, simulasyonlar, bilgisayar programlari ve grafikleri, sibertenik, tasarim, sanat vb.dir Geometrinin kullanilmadigi meslek yada alan yok gibidir desek yerinde olur. Bunlardan birkacini aciklamak gerekirse;

1. Geometri ve Sanat

Geometri ve sanat birbirleri ile baglantili olup birbirlerini destekleyen iki bilimdir. Sanatta geometrinin kullanimi yuzyillardan beri suregelmistir.Ozellikle mimari yapilarda geometriden faydalanilmistir. En bilindik olarak da Mimar Sinan eserlerinde geometriden oldukca yararlanmis ve muhtesem eserler vermistir. Eserlerinde geometriyi cok iyi kullanmis olmasi eserlerinin saglam yapilar olmasina buyuk bir katki saglamistir.

Sanat eserlerinin geometrik olmasi onlara estetik degerler kazandirmistir. Unlu ressam Leonardo da Vinci'nin resimde vucut oranlari uzerine yaptigi calismalar, cizdigi eskizler bulunmaktadir.

2. Geometri ve Tasarim      

Gazete, dergi ve amblem tasarimlari gunumuzde profesyonel kadrolar tarafindan gerceklestirilen onemli bir istir. Basin-yayin organlari ve firmalar bu gercegin bilincinde olduklarindan kalabalik kadrolari bu iste gorevlendirmislerdir.

Tasarim basli basina bir sanat sayilir. Tasarimcilikta geometri kismen ise yarar. Daha cok oran ve paraleliklerin onem kazandigi logo ve amblem tasariminda kullanilir.
Tabiattaki geometrik sekilleri fark eden insanlar geometriyi hayatlarinda uygulamislardir.Zamanla logo ve amblemler ortaya cikinca insanlar logo ve amblemlere de geometrik anlamlar yuklemislerdir. Bunun sonucunda da umursamadigimiz en basit bir amblem dahi geometrik bir eser haline gelmistir. Ornegin; her gun yollarda rahatlikla gorebilecegimiz, Mercedes, Mitsubishi ve Renault gibi unlu araba markalarinin ablemleri; iyinin icindeki kotu, kotunun icindeki iyi sembolu olarak bilinen Yin-Yang sembolu ve bugun ?rail Devleti'nin kullandigi asil ismi Davut Yildizi olan bayrak geometrik birer eser sayilabilir.[1]

3. Geometri ve Perspektif

Resimlerde uygulanan perspektif izdusumsel geometrinin somut uygulamalarindan biridir.

Perspektif uzerine ilk kitabi 1453'te Leon Battista Alberti kaleme aldi; Acik pencere gibi duran bir dikdortgen ciziyorum ve buradan resmedilecek nesneye bakiyorum

Burada tek bir gozun gordugunu tabloya yansitmak, daha matematiksel bir anlatimla, tablo duzleminde, kisinin bir gozunun merkez alan bir izdusumle goruntuyu olusturmak soz konusuydu. Uzakliklari ve acilari buyuk degisimlere ugratan bu gosterim biciminden kaynaklanmis teknik problemleri cozmek icin bircok kitap yazildi, bircok alet gelistirildi. 17.yy'da Desargues, perspektif teknigini matematiksel olarak aciklayan ilk kisi oldu.

4. Geometri ve Simulasyon

Cagimizda yaygin olarak kullanilan simulasyon teknolojisi, gercek olmayan bir nesnenin, durumun veya resmin; gelismis bilgisayar teknikleriyle taklit edilerek gercegine benzetilmesidir.
Uretilecek olan urunun onceden bilgisayar ortaminda modellenmesi konusunda buyuk bir gelisme ortaya koyan bu teknolojinin bircok sanayi dalinda siklikla kullanilmaktadir.

5. Geometri ve Haritacilik

Yer epilsoidini harita duzlemi uzerinde matematiksel olarak gosterme yontemine "Harita ?dusumu" denir. Bu yontem; uygun izdusumler, esdeger izdusumler ve perspektif izdusumler gibi sistemleri kapsar. Genellikle izdusum sistemi harita cizecek olan kisinin amacina gore secilir.

6. Geometri ve Mimari

Cagdas mimar? duzenli yuzeyler, ozellikle betonun kullanimi sonucunda buyuk bir basari kazandi. Cunku bu yuzeylerin dogrularla olusturulmasi beton kaliplarinin yapimini kolaylastirmaktaydi.

Tokyo Olimpiyat Stadyumu'nda "Hiperbolik Parabolit" ; Munih'deki Olimpiyat Stadyumu'nda ise "Eliptik Parabolit" ve "Tek Yaygili Hiperbolit" mimari sekiller kullanilmistir.

Fransa'daki Chartres Katedrali donemin "gizli geometri" (secret geometry) yada "kutsal geometri" (sacred geometry) olarak adlandirilan ilkelerine gore yapilmistir.

  TASLARDAKİ GEOMETRİ

Mineraller, belli kimyevi terkibi ve muntazam atomik yapisi olan homojen ve ekseriyetle kati cisimlerdir. Canli organizmadaki hucre gibi, tabiatta mineral, en kucuk yapiyi meydana getirir. Mineraller yan yana gelerek kayalari, kayalar daglan, daglar da kitalari teskil ederler. Tabiatta 2000 cesit mineral bilinmektedir. Ancak bunlardan cok azi kayac yapisinda bulunmakta (12–15), bir kismi maden yataklarini meydana getirirken, buyuk kismi arz kabugunda ve manto İcinde dagilmis durumdadir.

Mineraller, bazan yalniz bir metalden meydana gelmis olabilirler. Altin (Au), bakir (Cu), arsenik (As) gibi. Fakat bunlarin buyuk bir kismi basit gordugumuz elementlerin birlesmesiyle ortaya cikarlar. Kuvars (SiO2), kayatuzu (NaCl), pirit (FeS2) gibi.

Endustride kullanilan ve ekonomik degere haiz olan minerallere cevher mineralleri denir. Krom cevheri, kalay cevheri gibi.

Minerallerden civa ve su gibi bir kaci sivi halde, silis cami ve opal gibi bazilari amorf (sekilsiz), buyuk cogunlugu ise kristal seklindedir.

Kristaller, duzgun satihlarla cevrilmis geometrik sekillere ve muntazam peryodik olarak siralanmis duzenli atomik yapilara (strukturlere) sahiptirler. Asil hususiyetleri, intizamli bir ic yapi gostermeleridir.

Gerek makro gerek mikro ve gerekse de normo âlem dikkatle incelendiginde bir kudret ve hikmet elinin 
Her kristal gibi Kuvars kristali de bazen cok guc, bazen de bir insan buyuklugunde 300–400 kg. agirliginda olabilir. Kristallerin bu sekilde acilari degismeksizin buyuyup kuculmesi oldukca dusundurucu bir husustur.
varligi hemen anlasilmaktadir. Tas misâli cansiz ve basit gibi gorunen daha nice varlik “detayli” olarak incelendiginde bu Yuce Elin, varliklari belli olculerle bir gergef gibi isledigi guzler onune serilmektedir. Alelâde cizimi bile teknik ressamlari gunlerce ugrastiran atomik yapisiyla akillara durgunluk veren bu muazzam sekiller, bir tesaduf mahsulu olmadiklarini dusunen kafalara haykirmaktadirlar.

Kristallerin dis, sekillerini meydana getiren satihlar, rastgele yanyana dizilmis seyler degillerdir. Bunlarin siralanisi, birbirleriyle olan, munasebetleri ve kristal eksenleri ile olan baglantilari, mineralin atomik yapisina uygun bir sekilde, belirli prensip ve kanunlara gore gerceklesir.

Bunlardan birisi “Acilarin Sabitligi Kanunu” dur. Kristallerde yuzler arasindaki acilar daima sabittir. Bir kristalin belirli bir buyuklugu yoktur. Cunku soguma hâdisesi ne kadar yavas olursa kristaller de o nisbette buyuk olur. Meselâ kuvars kristali, bazan cok kucuk olabilecegi gibi, bazan da Tirol, Sen Gotar ve Madagaskar’da bulunan misâller gibi bir insan buyuklugunde ve 300–400 kg agirliginda olabilir. Kristallerin bu sekilde buyumeleri, yavas soguma neticesi olarak satihlarin uzerine kristali teskil eden maddeden, paralel bircok tabakanin ilâvesinden ileri gelir. Bu durum bir duvarcinin tuglalarla duvar insa etmesine benzetilebilir. Binaenaleyh, ayni mineralin kristalleri arasinda, buyukluk ve gorunus bakimindan fark bulunabildigi halde, satihlarin meydana getirdigi acilar tamamen birbirinin aynisidir. Bu Cin’de de aynidir. Ay’da da aynidir. Afrika’da da aynidir.

İlk defa 1783 senesinde Rome de Lisle tarafindan ortaya atilan bu kanun asirlarca once, herseyin bir mizanla meydana getirildigini, butun varliklarin hesapli olarak yaratildigini beyan eden buyuk Kâinat Kitabi’nda ortaya konulmustu (Rahman/7).

Bir kristal sathinin, kristal icindeki durumu, onun kristal desenleriyle olan baglantisi ile belirlenir. Eksenleri kesen bir sathin onlar uzerinde ayirmis oldugu birim uzunluklara parametre ve bunlar arasindaki nisbete de “Parametre nisbeti” denir. Bu nisbet herbir kristal icin sabittir. Bu da kristalin en esasli hususiyetlerindendir. Gâyesiz ve plânsiz yaratilan hic bir canli olmadigi gibi, cansiz bir mineralin dahi olcusuz olmadigini, yaratiklarin sahibini gormeyip onlarin var olusunu tesaduflere vermenin ne kadar ilim disi bir anlayis oldugunu, ilmi tesbitler acik bir sekilde İnsanligin gozleri onune sermektedir.

---

Kimyada pH hesaplamalarinda,istatistigin konusu olan nufus artisi tahminlerinde,bankacilikta,bilesik faiz hesaplamalarinda,radyoaktif bozunmada astronomide ve optik gibi alanlarda sikca kullanilir.

"Logaritma,islemleri kisaltarak astronomlarin omrunu ikiye katladi."

Pierre-Simon LAPLACE



pH OLCUMU
pH bir cozeltinin asitlik veya alkalinlik derecesini tarif eden olcu birimidir. 0'dan 14'e kadar olan bir skalada olculur. pH teriminde p; eksi logaritmanin matematiksel sembolunden, ve H ise Hidrojenin kimyasal formulunden turetilmislerdir.

pH tanimi Hidrojen konsantrasyonunun eksi logaritmasi olarak verilebilir:
              pH = -log[H+]

pH hidrojen iyonun aktivitesi cinsinden bir asit veya bazin derecesini ifade etme yoluyla ihtiyac duyulan kantitatif bilgiyi saglar.Bir maddenin pH degeri hidrojen iyonu [H+] ile hidroksil iyonunun [OH-] derisimlerinin oranina direk baglidir. Eger H+ derisimi OH- derisiminden fazla ise maddemiz asidik; yani pH degeri 7 den dusuktur. Eger OH- derisimi H+ derisiminden fazla ise maddemiz bazik; yani pH degeri 7 den buyuktur. Eger OH- ve H+   iyonlarindan esit miktarlarda mevcut ise, madde 7 pH degerine sahip olmak uzere notraldir.

Asit ve bazlar herbiri serbest hidrojen ve hidroksil iyonlarina sahiptirler. Belli kosullarda ve belli bir cozeltide hidrojen ve hidroksil iyonlarinin iliskileri sabit oldugu icin, birini tesbit etmek digerini bilmek ile  mumkundur. Bu anlamda, pH, tanimsal acidan hidrojen iyonu aktivitesinin secici bir olcumu olsa da, hem alkalinlik hem de asitligin bir olcusudur. pH logaritmik bir fonksiyon olmasi acisindan, pH degerindeki bir birimlik degisim hidrojen iyon derisimindeki on-katlik degisime karsilik gelir.

---

---

---