第一章推导和疑难 (量子场论读书计划)

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第一章推导和疑难

1.Why call Js as sources, pp20

在自由标量场中引入 $J(x)\phi(x)$ 项，相当于在线性谐振子中引入外加驱动力（外部的能量源），相当于在自由标量场中引入“介子”的源。如果对pp21中公式14求变分极值条件：

$- \left( {\partial ^2 \varphi + m^2 } \right)\varphi \left( x \right) + J\left( x \right) = 0$

可看作是扩散方程，J(x)相当于扩散源。

2.Free Propagator, pp23

$D\left( {x - y} \right) = \int {\frac{{d^4 k}}{{\left( {2\pi } \right)^4 }}\frac{{e^{ik(x - y)} }}{{k^2 - m^2 + i\varepsilon }}}$

中 $i\epsilon$ 由 $m^2 \rightarrow m^2 - i \epsilon$ 引入，使积分绕过奇点，对应QFT中的因果律（causality），对应二次量子化形式中总是先产生场再湮灭场（pp63，The physical meaning is that we always create before we annihilate...）。D (x - y) 描述自由场由 y 传播到 x ，由空间均匀性，设 y = 0，即讨论由原点到 x 的传播。

$D\left( x \right) = \int {\frac{{d^3 k}}{{\left( {2\pi } \right)^3 }}\frac{{dk^0 }}{{2\pi }}\frac{{e^{i\left( {k^0 t - \vec k \cdot \vec x} \right)} }}{{k^2 - m^2 + i\varepsilon }}}$

考虑对 k⁰的积分， $k^2 = \left( {k^0 } \right)^2 - \left| {\vec k} \right|^2$ ，分母： $\left( {k^0 } \right)^2 - \left( {\left| {\vec k} \right|^2 + m^2 - i\varepsilon } \right)$ ，把 k⁰延拓到复平面，奇点位置： $z = \pm \left( {\omega _k - i\delta } \right)$ ，这里： $\omega _k = \sqrt {\vec k^2 + m^2 }$ 。

$\frac{1}{{(...)}} = \frac{1}{{2\omega _k }}\left( {\frac{1}{{k^0 - (\omega _k - i\delta )}} - \frac{1}{{k^0 - ( - \omega _k + i\delta )}}} \right)$
假如 t = x⁰> 0，使用上半圆弧构成回路积分，只第二项回路积分（逆时针，"2 π i"）不为0，e指数部分："i k x --> - i ω_k t - i k · x"；假如 x⁰< 0，使用下半圆弧构成回路积分，只第一项回路积分（顺时针，"- 2 π i"）不为0，e指数部分："i k x --> i ω_k t - i k · x"。这里要注意：三维矢量" k → - k"，不改变积分的数值。因此可得到pp23中公式（23）。（参考：U. Mosel, Path Integrals in Field Theory: An Introduction, pp61-63）。t > 0，对应在 t 中向前传播，t < 0，对应在t中向后传播；而` $i\epsilon$ `的引入是为了保证产生泛函（generating functional, pp21中公式15）的收敛。

3.Why like charges repel, pp30

把电磁场（光子）处理为有质量的矢量玻色场（spin-1, massive vector field），然后再令m=0。2s+1=3，把矢量势 A 看作场，自由度4，取洛仑兹规范可减少1个自由度，4 - 1 = 3。（pp36，Appendix）这样就避免了现在就讨论规范不变（gauge invariant）。另一方面包含了质量项（m² A_μ A^μ）后，场就不再具有规范不变了。

pp32，A massive spin-1 particle has three degree of polarization...

有质量矢量玻色场只有三个极化矢量，第4个（类时极化矢量，time-like polarization vector）不满足“k^με_μ⁽⁰⁾ = 0”，不能描述自由解：

$A_\mu \sim e^{-ikx} \epsilon_\mu^{(0)}$ .

$\delta _{\mu \upsilon } = \sum\limits_{\lambda = 1}^3 {\varepsilon _\mu \left( {\vec k,\lambda } \right)\varepsilon _\nu \left( {\vec k,\lambda } \right)} = - g_{\mu \nu } + \frac{{k_\mu k_\upsilon }}{{m^2 }}$
参考：Greiner, Field Quantization, pp152--156

4.Casimir effect, pp65

$\left\langle 0 \right|H\left| 0 \right\rangle = \int {\frac{{d^D xd^D k}}{{\left( {2\pi } \right)^D }}\frac{{\hbar \omega _k }}{2}}$ ，对（1）将电磁场简化为标量场进行计算；（2）D = 1；（3）考虑三块板，位置分别为：0，d，L - d，由理想导体边界条件知 k 的取值是分立的（k = n π / d）；（3）积分变为求和：

$\int \rightarrow \sum_{n=1}^{n=\infty}$

（相空间中“Δx Δk / 2 π”对应一个量子态，因此 f(d) 不用再乘d了）；（4）物理的板是有厚度的，n 不能真的到无穷，当波长小于板厚时，电磁场会渗进导体，金属板相当于不存在；（5）金属板厚度相当于给出了截断频率（~1/a）或截断波矢（~1/a），即存在 n_max，当 n > n_max时，求和截断；（6）截断因子通过因子：exp( - a n π / d) 给出，a 相当于金属板厚度；（7）以 a π / d 为小量展开得到 f(d)~d/(2 π a²) - π /(24d)，通过计算 f'(d)-f'(L-d) 将发散项 1 /a² 抵消，进而得到吸引的卡西米尔力。

Everett You - 2008-12-2 上午7:31

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