IL FANTASMA DELL'ETERE (INDICE)

MA IL TEMPO IMMAGINARIO ESISTE ?

Facciamo un piccolo cenno alla relazione fra i numeri e la fisica.
I primi numeri che abbiamo imparato sono quelli "interi": 1, 2, 3, .... da associare ad una mela due mele, tre mele, etc.
Con questi abbiamo imparato a fare le addizioni e le sottrazioni delle mele.
La prima operazione che abbiamo appreso essere impossibile è di sottrarre un numero maggiore da quello minore : non puoi sottrarre 3 mele da 2 mele.
Ma l'uomo matematico è nato per superarsi e con l'introduzione dei "numeri interi negativi" abbiamo imparato un concetto più difficile: esistono anche i debiti di mele.
A questo punto 2 - 3 = -1
Anzi, non esiste più l'operazione di differenza ma solo quella di somma fra numeri positivi e negativi, fra crediti e debiti : 2 + (-3) = -1
Il concetto di numero negativo come debito, mancanza od in genere lacuna è piuttosto astratto dal punto di vista fisico: non avrai mai in mano una lacuna di mele.
Tuttavia in una sequenza il numero intero negativo è stato associato ad un verso di percorrenza opposto a quello dei numeri interi positivi ed è stato concretamente visualizzato ponendo fra di essi uno zero (come in un termometro).

Ormai sei probabilmente così affezionata ai numeri negativi che questi discorsi disfattisti ti danno un po fastidio. Meglio così, come vedi la matematica fa evolvere.
Segue la moltiplicazione e li sorgono altri problemi. Definire il prodotto di una serie di attività non è facile e non si può fare una volta per tutte. Inventando la moltiplicazione e imparando a memoria le tabelline abbiamo risolto il problema per un gran numero di casi ma non per tutti. Ad esempio la moltiplicazione 3 x 2 = 6 significa che se prendo 1 e ne faccio il triplo e poi faccio il doppio del risultato ottengo 6. Lo stesso risultato ottengo se inverto l'ordine, prendo 1, ne faccio il doppio e poi del risultato ne faccio il triplo.
Tuttavia se prendo uno straccio, lo brucio e poi lo bagno ottengo cenere di straccio bagnata ma se inverto l'ordine delle operazioni lo straccio non brucia.
Quindi l'operazione di prodotto va costruita volta per volta in modo più aderente al problema da risolvere e ognuno di noi sa che il prodotto delle sue attività svolte in una certa sequenza non è sempre esprimibile come una semplice moltiplicazione.
I matematici parlano in questi casi di prodotto di operatori, reti di relazioni, etc. ma non ci addentriamo troppo per non perdere il filo.
La moltiplicazione pura e semplice ha una chiara rappresentazione geometrica : se si immagina un numero come una lunghezza, il prodotto di due numeri è un'area e quello di 3 numeri è un volume.
Quindi anche il concetto geometrico di spazio nasce dalla moltiplicazione.
Se però abbiamo la necessità di definire il prodotto di una attività con una operazione un po diversa dalla semplice moltiplicazione, questa procedura ci regalerà un nuovo spazio, nuove e diverse aree e volumi a cui non siamo abituati e che ci renderanno la vita difficile.
L'operazione inversa della moltiplicazione è la divisione e qui altre proibizioni: tranne casi particolari non si possono dividere esattamente fra loro due numeri interi. Non si possono dividere tre mele fra due bambini , la divisione 3 : 2 non dà un risultato intero.
Abbiamo quindi salutato volentieri i "numeri reali" (quelli con la virgola), che operando nel continuo, hanno fatto cadere il divieto.
Adesso che abbiamo anche mezza mela (0,5) il risultato della divisione c'è sempre
3 : 2 = 1,5 .
Adesso, se qualcuno ci viene a dire che in una certa area la densità media di popolazione è di 1,5 uomini/km² , un uomo e mezzo per chilometro quadro, non provoca più un moto di orrore. L'uomo matematico cresce.
Con la moltiplicazione sono venute le potenze.
Limitiamoci al quadrato (ad esempio 2² = 2 x 2 = 4) e l'operazione inversa : la radice quadrata (ad esempio √4 = 2 perchè 2² = 4).
Ecco un'altra proibizione: non si possono fare le radici quadrate dei numeri negativi perché qualunque numero al quadrato è positivo.
Ad esempio non si può fare √-4 perché 2 x 2 = 4 ma anche -2 x -2 = 4 come abbiamo imparato alle medie (meno per meno fa più) .
Credi che i matematici si siano fermati di fronte a questa inezia ?
E' sufficiente definire una unità numerica immaginaria "i" in modo che i² = -1 (oppure se preferisci i = √-1 ) e il gioco è fatto: √-4 = 2 i .
Infatti (2 i)² = 4 i² = - 4

Ma che significa veramente numero immaginario ?
Bene, nel pavimento sotto qualcuno aveva piazzato 100 piastrelle ma un ladro ne ha rubata una. C'è quindi un buco (chiamiamolo una "lacuna", fa fine).
Le piastrelle misurano 1 metro per 1 metro = 1 m²
Quanti metri quadrati sono coperte da piastrelle ? 100 + (-1 ) = 99 cioè la somma di 100 piastrelle positive ed il furto, pardon, la lacuna di una piastrella.

Quanti metri è lungo il lato della lacuna di piastrella se la sua area è -1 m² ?
Radice quadrata di -1, quindi = i .
I numeri immaginari possono quindi spuntare fuori quando c'è in ballo un problema quadratico ovvero bidimensionale come una piastrella e si fa una domanda di tipo lineare ovvero monodimensionale.
Sono molti in fisica i problemi quadratici ? Pressoché tutti a cominciare dal teorema di Pitagora in poi.
E se la natura amasse i quadrati e noi ci ponessimo domande sbagliate ?
Adottiamo comunque i numeri immaginari come ulteriore evoluzione dell'uomo matematico.
Alt ! Questa volta il gioco si è fatto pesante.
Per capire quanto pesante sia consideriamo un semplice problema di geometria analitica (ti ricordi la matematica del liceo ?)
In figura sotto a sinistra è rappresentata una parabola, rappresentazione grafica dell'equazione algebrica y = x² - 4
Le intersezioni della parabola con l'asse x si ottengono imponendo la condizione :
y = 0 e quindi x² - 4 = 0.
Questa equazione ammette due soluzioni: x = 2 e x = -2 (come si vede sono le intersezioni con l'asse x nella figura a sinistra ).
Infatti 2² = 4 e anche (-2)² = 4

In figura di destra è rappresentata un'altra parabola di equazione y = x² + 4
Si vede subito che questa volta l'asse x non viene intersecato dalla parabola e d'altra parte procedendo come sopra abbiamo l'equazione di secondo grado x² + 4 = 0 ovvero x² = - 4. Questa equazione non ammette radici reali perché nessun numero x al quadrato è uguale a - 4.
Tuttavia introducendo l'unità immaginaria sopra definita si trovano le due soluzioni: x = 2 i e x = - 2 i . Infatti (2 i)² = 4 i² = - 4 e anche (-2 i)² = 4 i² = - 4.
Le due soluzioni (2i e -2i) sono espresse da numeri immaginari uguali ma opposti in segno: si chiamano soluzioni "coniugate" (ricorda questo termine che è importante).

Adesso che abbiamo i numeri immaginari, per rincarare la dose , definiamo i "numeri complessi" come fatti di due componenti: una reale "a" e una immaginaria "b" . Quindi a + i b . A questo punto l'insieme dei numeri complessi comprende sia i numeri reali a che quelli immaginari b.
A questo punto il mio amico fisico ha un moto di stizza perché non vede la ragione di una impostazione che fornisce soluzioni complesse che non si vedono nella figura e quindi non ci sono.
L' amico matematico invece non fa una piega perché ragiona diversamente:
1) L'impostazione con i numeri reali mi porta alla seguente conclusione: la parabola può incontrare l'asse delle x in due punti oppure in nessuno. Quindi 2 possibilità diverse.
2) L'impostazione con i numeri complessi mi porta alla conclusione: la parabola incontra l'asse delle x sempre in due punti (reali o complessi). Quindi una sola regola per tutti i casi.
In generale la soluzione delle equazioni algebriche di secondo grado procede senza alcuna eccezione. Più liscio di cosi !
Quale delle due conclusioni è più semplice ed elegante ? Chiaramente la seconda, che pertanto è da preferirsi.
Il fisico potrà lamentarsi quanto vuole ma il matematico non avrà difficoltà a mostrargli con molti esempi come l'algebra e la geometria si semplifichino adottando i numeri complessi. Ancora più si semplifica la trattazione delle onde.
Inoltre tutte le equazioni lineari di secondo grado (sia algebriche che differenziali) hanno due soluzioni, nessuna eccezione, nessun pasticcio.
C'è di più : le equazioni differenziali di secondo grado che caratterizzano i sistemi fisici puntiformi (come le particelle) hanno soluzioni reali solo quando questi sistemi sono inquinati dall'attrito, altrimenti le soluzioni sono complesse e coniugate.
Nei sistemi classici con poco attrito (ad esempio l'altalena) e comunque nei sistemi atomici (dove l'attrito non esiste), le soluzioni sono complesse coniugate e danno origine ad un oggetto affascinante che vedremo meglio in seguito : l'oscillatore.
L'apparenza reale dei fenomeni descritte da numeri complessi deriva dal fatto che la somma ed il prodotto di due soluzioni complesse coniugate sono numeri reali.
Infatti :

(a + ib) + (a - ib) = 2a       ed anche       (a + ib)(a - ib) = a² + b²

Pertanto dall'invisibile mondo complesso spunta fuori magicamente un mondo reale con cui siamo abituati a convivere. Tuttavia accontentarsi del reale significa perdere la complessa armonia delle soluzioni.
Alla fine il fisico avrà un dubbio. Vuoi vedere che i numeri complessi esistono veramente in un mondo più ampio di quello che percepisco e di cui posso solo osservare e misurare l'ombra ?
L'importante è che l'ombra corrisponda alle mie misurazioni ed esperimenti.
Dopotutto quello che percepiamo attraverso i sensi è poca cosa e anche il nostro cervello è strutturato ai fini della sopravvivenza o poco più. Come posso rifiutare una elegante impostazione che semplifica il panorama e permette calcoli accurati ?
Così il mugugno si spegne e passetto dopo passetto il fisico comincerà a ragionare con le parabole che incontrano sempre l'asse delle ascisse in due punti visibili od invisibili.
Se hai voglia di mugugnare fallo pure. Perfino Einstein, che volentieri utilizzava i matematici per trovare soluzioni ai suoi problemi, finiva per protestare di fronte ai risultati da lui stesso cercati e spesso ottenuti (la negazione dell'universo in espansione, la negazione dell'aspetto probabilistico della fisica dei quanti, la non-localizzazione della funzione d'onda).

Tuttavia anche il nostro amico fisico continua a mugugnare. Dice che l'utilizzo dei numeri complessi è utile e anzi indispensabile ma che si tratta pur sempre di un trucco matematico (lui lo chiama trick perché è americano).
Il nodo è che la fisica è una scienza sperimentale e, se non spunta fuori una grandezza fisica complessa misurabile in laboratorio, il fisico continuerà a lamentarsi e a chiamarlo trick.
Ebbene una grandezza così ci sarebbe ed è persino una grandezza familiare. Tocca proprio al "tempo" piantare un coltello nella schiena del nostro fisico.
Il fisico protesta : lui il tempo immaginario non l'ha mai visto né misurato e quindi non ne vuole sapere.
Certo, lui sa bene che dalla teoria della relatività è spuntata fuori una relazione fondamentale fra il tempo e lo spazio, relazione che si giustifica ipotizzando il tempo immaginario (Minkowski). La proiezione nel nostro tempo ordinario invece viene fuori complicata, come osservata su uno specchio deformante.
Tuttavia nientemeno che Einstein preferì seppellire di questa relazione sotto una coltre di tensori (che sono oggetti matematici potenti ma ancora più astratti dei numeri complessi).
Ma la Natura non si fa mettere da parte così, rilancia e ti butta fra i piedi qualcosa di ancora più essenziale e fondamentale : la ψ della fisica quantistica, qualcosa di così basilare che, per quanto se ne sa, tutta la fisica e l'universo deriva da questa in ultima analisi.
La ψ ha varie facce, ognuna delle quali appare come una grandezza fisica diversa : l'energia, la quantità di moto, la massa, la carica elettrica, lo stesso fatto che qualcosa esista od accada.
Ebbene la misteriosa e fondamentale ψ deve necessariamente essere espressa da un numero complesso e su questo non ci piove.
Il fisico disperato comincia a fare discorsi sconnessi. Dice che effettivamente lui adopera la ψ complessa da mattina a sera ma non sa cosa sia e non sa neanche se esiste veramente e che ormai ha rinunciato a capire di cosa si tratta (parola di Feynman).
La fisica ha perso (per il momento) il modello, cioè si usano le equazioni per prevedere il risultato degli esperimenti ma senza capire cosa c'è sotto.
Ma la Natura non si rassegna e non ci lascia in pace.
Schrodinger, autore della più famosa ed utilizzata equazione di fisica quantistica, osserva sommessamente che la sua espressione assomiglia tanto ad un comune bilancio di energia ma in un tempo immaginario. Nessuno gli da conto.
Anni dopo Feyman si trova davanti ad una espressione della ψ che non può risolvere e a questo punto ha un colpo di genio : sostituisce nell'espressione al tempo reale t il tempo immaginario i t e d'incanto la famosa "somma dei cammini di Feynman" fila liscia come l'olio.
Le lavagne dei fisici di tutto il mondo si riempiono dei diagrammi di Feynman.
Immaginiamo una scena : Feynman è felice ma vede le facce scure dei suoi colleghi. Sa che i fisici hanno timore di maneggiare il tempo immaginario e accusano chi ci prova di voler trasformare la fisica in un “mess businnes” (traduzione omessa).
Teme per la reputazione, cerca di giustificarsi: non voleva mettere in ballo il tempo immaginario, ha fatto un altro trick e, pescando nei suoi ricordi di matematica, seppellisce l'operazione sotto la "rotazione di Wick".
Le facce si distendono. Adesso i suoi colleghi fanno tutti i giorni la somma dei cammini e le rotazioni di Wick, che funzionano a meraviglia.
La storia finisce qua ? No, c'è un famoso fisico contemporaneo inglese, Stephen Hawking che è paralitico (sclerosi laterale amiotrofica, una malattia tremenda), non parla e riesce a muovere quasi niente a parte una specie di mouse azionato otticamente muovendo una guancia ma ha un cervello che funziona benissimo, ha vinto un premio Nobel, tiene lezioni all'università e risponde alle tue domande su suo sito.

Stephen Hawking

Secondo lui la storia dell'universo (cosmologia quantistica relativistica) funziona molto meglio nel tempo immaginario.
Lì è tutto più semplice, più lineare, più simmetrico e privo di discontinuità.
Perfino il big bang appare come un evento banale, una passeggiata sul polo nord di una sfera spaziotemporale.
Anche contro di lui si sono rivolte le facce scure per via del tempo immaginario.
Ma a lui il coraggio non manca.

LO SPAZIOTEMPO

OK, stiamo andando veloci. Siamo già al 1900. Un'altra scatola cinese si apre:
la "Teoria della Relatività Speciale", la meccanica nello spaziotempo.
Abbiamo appena definito un bel teatro e già andiamo a distruggerlo.

Prima di distruggerlo completamente tuttavia ricordiamo che è il nostro teatro di esseri umani e che gli esperimenti dovremo sempre farli nel nostro teatro.

Il percorso che indusse Lorenz, Minkowski ed Einstein a postulare lo spaziotempo è affascinante. E' veramente difficile pensare ad una Natura così semplicemente incredibile e così fuori dal buon senso quotidiano !
Ma che cosa è venuto fuori dagli esperimenti ?
Semplicemente che ci eravamo sbagliati. La lunghezza della matita ∆l non è un invariante della Natura.
Questa quantità sembrava invariante quando la matita era ferma o quando viaggiava a piccola velocità rispetto all'osservatore o quando era distante da un buco nero.
Ma se la matita viaggia a velocità vicina a quella della luce (c = 300.000 Km/sec) le cose cambiano.
La velocità c della luce sembra lontana ma le particelle di cui siamo noi stessi siamo fatti talvolta non sono tanto lente e poi la luce stessa, le onde radio, le radiazioni nucleari...
Supponiamo che una befana si sia munita di una velocissima scopa e, visto che ha fretta, si sia portata un orologio. Adesso parte a tutto gas. Molti osservatori la vedono volare.

Ebbene, la befana a tutto gas dal suo punto di vista è tranquilla mentre gli osservatori ne vedono delle belle.
La befana-scopa si accorcia nel senso del moto, la sua massa (inerzia) aumenta e il suo orologio rallenta man mano che si avvicina alla velocità della luce.
Tutti questi fenomeni sono visti in maniera diversa da osservatori che fanno capo a sistemi di riferimento diversi (uno è fermo, un altro vola in aeroplano, etc.).
Begli invarianti avevamo scelto !
Addio tempo nei cieli buono per tutti. Adesso ogni osservatore ha il suo orologio e segnano tutti un'ora diversa.

Andiamo al sodo. Esiste ancora un invariante del teatro spazio-temporale ?
Per fortuna, si.
Per trovare un vero invariante bisogna fare una operazione matematica, bisogna aggiungere una dimensione allo spazio, ipotizzare un nuovo spazio a quattro dimensioni x₁, x₂, x₃, x₄ e quindi estendere ancora il teorema di Pitagora :

∆s² = ∆x₁² + ∆ x₂² + ∆x₃² + ∆x₄²

Ora un punto in questo spazio si chiama "evento", la nuova distanza ∆s si chiama "intervallo" fra due eventi per distinguerla dalla lunghezza della matita ∆l nelle 3 dimensioni.
Naturalmente visualizzare uno spazio a quattro dimensioni non è facile (anzi secondo me non è possibile) ma può essere divertente provarci. Ci sono un sacco di giochini che si possono fare con una dimensione in più. Ad esempio si può fare apparire qualcosa dal nulla (se vuoi te lo faccio vedere un'altra volta).
Ma la cosa non è ancora così semplice, la quarta dimensione non è spaziale ma temporale, il tempo è uno spazio e i due vanno misurati nelle stesse unità (ad esempio il tempo va misurato in metri).
Per ottenere unità di misura spazio-temporali unificate conviene prendere come unità di misura delle velocità quella della luce, quindi c = 1 .
Il teorema di Pitagora si deve estendere così :

∆s² = ∆x₁² +∆ x₂² + ∆x₃² - ∆t²

Questo è lo "spaziotempo" come proposto da Minkowski. Dal punto di vista matematico si tratta di un teorema di Pitagora modificato.

Herman Minkowski

Domanda: Nel teorema di Pitagora tutti i termini erano sommati fra loro mentre ora il quadrato del tempo porta un segno meno. Perché ?
Bella domanda !
Ebbene si, la Natura è fatta così. Il quadrato del tempo è un numero negativo.
La mattonella di tempo è una lacuna del pavimento di spazio (o viceversa ?)
Questo significa che il tempo non può essere rappresentato da un numero reale perché nessun numero reale al quadrato è negativo.

Posto ∆x₄² = - ∆t² abbiamo

x₄ = ± i ∆t

Ok , la dimensione tempo è immaginaria e si presenta subito positiva o negativa come del resto le altre 3 dimensioni spaziali.
A questo punto si aprono due strade : o prendiamo atto che la Natura ama i quadrati e cerchiamo di riscrivere tutta la fisica basandoci solo sulle superfici oppure adottiamo l'ipotesi del tempo immaginario. La fisica ufficiale ama la prima strada e preferisce considerare i numeri immaginari come un trick matematico.
Io invece ritengo che l'ipotesi del tempo immaginario, oltre che essere emozionante, lasci più spazio all'intuito e quindi la adotto per questi appunti.
Domanda importante: Cos'è un evento "s" ?
Una posizione e un istante insieme. L' “ora e qua” di qualcosa.
Altra domanda : Cos'è l'intervallo spazio-temporale ∆s fra due eventi ? Questo è più difficile.

Dici : Ti va di scherzare ? Fai tante storie per trovare un invariante e poi non capisci neanche cos'è ! Hai ragione.
L'intervallo mi sfugge ma vediamo un caso particolare.
Ad esempio, dal punto di vista della befana, gli assi di riferimento sono sulla scopa quindi lei è ferma rispetto al suo sistema di riferimento. Le sue personali coordinate ∆x₁, ∆x₂ e ∆x₃ rispetto alla scopa sono nulle .
Eliminiamo pertanto i termini in rosso:

∆s² = ∆x₁² +∆ x₂² + ∆x₃² - ∆t²
∆s ² = -∆t²
estraiamo la radice quadrata a primo e secondo membro

∆s = ± i ∆t.

Quindi l'intervallo ∆s è il tempo immaginario misurato dalla befana sulla scopa, si dice: il "tempo proprio" della befana. Quello che succede sulla scopa va rapportato al tempo proprio della befana.
Ti faccio vedere come in pratica si adopera il tempo proprio. Torniamo al caso generale con molti osservatori .
Siccome per tutti gli osservatori ∆s è un invariante, tutti, sulla base delle loro misure di spazio e di tempo sono in grado di calcolarlo correttamente e questo è importante perché dal ∆s si può capire come sistema diverso da te vede le cose.
Ad esempio, quando si progettano gli acceleratori di particelle, si deve usare la fisica come vista dalle velocissime particelle, in particolare si deve usare il tempo proprio delle particelle per capire come si comporteranno.
Ma io sono un osservatore piuttosto voluminoso e non posso mettermi a cavallo di particelle ad altissima velocità. L'unico sistema è di usare la formula per vedere le cose dal loro punto di vista. Ti assicuro che funziona a meraviglia e le particelle si guidano come le automobili.

Ti chiederai perchè stiamo insistendo tanto per cercar di capire il senso dell'intervallo spaziotemporale ∆s.
La ragione è che dobbiamo reimpostare il significato della nostra solita equazione differenziale del campo:

∆²φ = Sorgente

Adesso la doppia variazione del campo (la collina di energia) non si articola più nel solo spazio ma nello spazio e nel tempo anzi nello spaziotempo. Così i conti tornano e tutto funziona ancora in modo semplice.
Il campo φ dell'elettromagnetismo nello spaziotemo ha un nome complicato : si chiama "quadripotenziale". A noi appare come la normale tensione elettrica, quella misurata in volt.
Questo quadripotenziale è l'oggetto classico più vicino alla ψ quantistica ma, essendo il risultato medio di molti fenomeni microscopici ha un carattere ancora troppo statistico.

Un inciso:
Ti chiederai come hanno fatto a capire che lo spaziotempo esiste.
Ebbene, un certo astronomo Michelson si era messo in testa di misurare la velocità della terra rispetto al defunto "etere" supposto fermo.
Per farlo usava raggi di luce e gli capitava di misurare sperimentalmente la velocità della luce più quella della terra. Pur cambiando la direzione della luce il risultato sperimentale della somma stranamente non cambiava mai ed era sempre la velocità della luce. Un risultato apparentemente assurdo.
Adesso che abbiamo lo spaziotempo, la costanza della velocità della luce rispetto a qualsiasi sistema di riferimento immobile od in moto risulta facilmente dagli sviluppi matematici (che ovviamente quì tralascio ma potrai approfondire per tuo conto). Addirittura la velocità della luce nella nostra impostazione non è che un semplice numero, un cambio di unità di misura per accorpare meglio spazio e tempo, non può quindi cambiare.
Einstein costruì la teoria della relatività a partire da alcuni principi, di cui uno è proprio quello della costanza della velocità della luce e ricavò, con l'aiuto di Minkowski, lo spaziotempo. Quindi fece un percorso inverso al nostro.
Questa procedura è normale. In genere i principi si basano su dati sperimentali.
Io ho preferito il percorso inverso perché il principio della costanza della velocità della luce mi sembra meno intuitivo di una estrapolazione dello spazio da 3 a 4 dimensioni. Ti dico questo nel caso avessi voglia di approfondire su veri testi di fisica.

FISICA RELATIVISTICA

Il solito Einstein ci dà sotto e porta la meccanica classica nello spaziotempo.
Si tratta di una operazione piena di grandiosi risultati e nello stesso tempo è ingannevole.
Infatti la meccanica classica è destinata ad essere superata alla grande dalla meccanica quantistica.
La semplice fusione fra meccanica classica e relatività produce ancora una teoria classica (ossia imperfetta e non utilizzabile per fenomeni microscopici), da usare con precauzione solo con ricetta medica.
Ma, invece di prendere le distanze, osserviamo alcuni dei risultati classici grandiosi ed accertati.

QUANTITA' COMPLESSE

Ci si può chiedere come appaiono le grandezze fisiche in uno spazio complesso.
Ebbene appaiono complesse anche loro. Ad esempio l'energia complessa è un vettore spaziotemporale che racchiude in se tutte le valenze della classica quantità di moto (vettore spaziale) e della classica energia (vettore temporale).
Nel tentativo di "vedere" qualcosa nello spaziotempo complesso spesso si utilizza un semplice diagramma con lo spazio in ascisse ed il tempo in ordinate.
Questi diagrammi vengono chiamati di Gauss quando riguardano la matematica, di Minkowski quando riguardano la teoria della relatività, di Feynman quando riguardano la fisica quantistica.
Attenzione: questi diagrammi sono utili ma non ti fanno vedere lo spaziotempo. Infatti, come sappiamo, lo spazio in cui noi "vediamo qualcosa" è lo spazio dove vale il teorema di Pitagora classico mentre nello spaziotempo vale il teorema di Pitagora modificato con i numeri complessi.

MASSA
Girando e rigirando le formule della relatività speciale ad Einstein venne fuori una espressione imprevista e sorprendente ma inequivocabile:

E = m

L'energia E e la massa m sono la stessa cosa. La massa è energia, nient'altro che energia.
Talvolta la formula si scrive E = m c² ma ricordiamo che, per misurare spazio e tempo nelle stesse unità di misura abbiamo posto la velocità della luce c = 1.
La formula è buona, buonissima. E' provato sperimentalmente che la massa si può distruggere generando energia (quindi generando fotoni) e che un fotone ben dotato di energia può trasformarsi in particelle dotate di massa.
Sembra che il mistero della massa sia ad un passo dalla soluzione, sembra che il panorama classico (massa ed energia nello spaziotempo) si possa facilmente semplificare in un solo attore protagonista (energia nello spaziotempo).
Tuttavia manca (almeno per quei pignoli dei fisici) un piccolissimo ma essenziale passo: bisogna riuscire a descrivere, quantificare e verificare come l'energia si debba arrangiare per determinare tutti i fenomeni che cumulativamente identifichiamo con la massa (attrazione gravitazionale + inerzia).
Come vedremo subito l'attrazione gravitazionale viene fuori dalla teoria della relatività generale ma l'inerzia no o almeno non del tutto.
Come già anticipato, la scatola cinese della massa è ufficialmente ancora chiusa.

RELATIVITA' GENERALE E COSMOLOGIA
Einstein prosegue e crea la "teoria della relatività generale", la moderna cosmologia.
La relatività generale tratta un solo tipo di forza (od energia potenziale): l'attrazione gravitazionale, che tiene noi sulla terra, la terra attorno al sole, il sole nella galassia e così via.
Ricordiamo tuttavia che la forza gravitazionale è infinitamente più piccola di quella elettromagnetica che a sua volta è molto più piccola di quella nucleare.
La cosmologia nasce dal fatto che le forze elettromagnetiche e nucleari si compensano quasi sempre e quindi a grandi distanze non agiscono per cui la piccola forza gravitazionale diventa alla lunga protagonista .
Le masse (e quindi l'energia) hanno un rapporto intimo con il tessuto dello spaziotempo. Attorno alle masse lo spaziotempo si distorce come per ripristinare una simmetria violata e cosi nasce la forza di gravità: un imbuto di spaziotempo che attira al suo interno le altre masse e che dà una consistenza fisica al campo di energia potenziale gravitazionale.

L'universo è una somma di imbuti che alla fine si auto-avvolge in una forma geometrica a quattro dimensioni. La causa e l'effetto non si distinguono più con chiarezza mentre la mente abbraccia un universo di straordinaria eleganza.
L'universo visibile (cioè una minima parte dell'universo) nel suo insieme non è poi così distorto come certe pubblicazioni lasciano credere. Le misurazioni più recenti descrivono un "universo piatto" cioè un universo in cui la geometria di Euclide è sempre buona e due rette parallele non si incontrano.
Localmente invece piccole masse creano piccoli imbuti e grandi masse concentrate in poco spazio possono creare un buco nero, così energico che nulla può sfuggire dal suo interno e così distorto da fermare il tempo: fine della storia per chi cade dentro.
Le masse cosmiche sono distribuite in modo abbastanza uniforme e sono talmente distanti che la situazione generale che esse determinano (il campo di spaziotempo) cambia molto lentamente.
Sebbene i corpi celesti si muovano a velocità fantastiche, le enormi distanze fanno apparire il cielo quasi statico e si parla erroneamente di stelle fisse.
Il secchio e la stazione spaziale di cui abbiamo accennato in precedenza reagiscono "istantaneamente" a una rotazione rispetto all'universo perchè si confrontano con questo campo quasi statico di spaziotempo (il fantasma dell'etere).
Tuttavia ci sono eventi terribilmente traumatici, come l'esplosione di una stella o "supernova", che dovrebbe generare un'onda gravitazionale, cioè un'onda di spaziotempo, poco più che un'onda di niente, molto difficile da rilevare.
I fisici si sono piazzati in una caverna profonda del Gran Sasso e li, protetti dalle radiazioni cosmiche aspettano che avvenga nelle relative vicinanze della terra qualche grosso evento cosmico che produca un'onda di spaziotempo rilevabile.
Sono già passati parecchi anni e l'auspicato (da loro) evento cosmico ritarda ma loro non demordono, con gli strumenti sempre pronti e ben oliati. Chi la dura....
La sorprendente soluzione di identificare la forza di gravità con una distorsione dello spaziotempo è assai importante perché lo spaziotempo è il nostro teatro e piano piano il teatro diventa anche l'attore.
In qualche modo un'altra forza viene cancellata dall'elenco come già fatto per quelle di inerzia. La forza di gravità (o l'energia potenziale gravitazionale) non esiste più, esiste lo spaziotempo distorto dalla presenza delle masse-energia.

Abbiamo detto che la teoria della relatività generale tratta solo di campi gravitazionali. Infatti non riesce a spiegare nulla a livello atomico dove dominano le forze elettromagnetiche. Avremmo quindi bisogno di una sua estensione all'elettromagnetismo.
Einstein cercò senza successo fino alla morte di introdurre il campo elettromagnetico nella teoria della relatività generale (ovvero di spiegare l'eletromagnetismo come una vibrazione dello spaziotempo).
Qualcosa sfugge nella grandiosa architettura di Einstein. L'elettromagnetismo è un concetto classico basato sull'energia della fisica classica. La scontrosa ψ , malvista da Einstein, aspetta con pazienza il suo turno.

FOTONI
Un'altra specialità di Einstein è avere condiviso con Planck la visione della luce come pioggia di fotoni dando così origine alla fisica quantistica.
Continuando ad accelerare le normali particelle, la loro massa cresce con una rapidità incredibile finché capisci che è impossibile per una particella dotata di massa raggiungere la velocità della luce.
D'altra parte una particella priva di massa (come ad esempio il fotone) deve necessariamente andare a velocità della luce. Un fotone fermo o lento non esiste.
Che sarà mai questo fotone ? Certo non è pensabile cavalcare un fotone a velocità della luce ma ammettiamo per gioco che sia possibile.
Scommetto che ti piacerebbe. Altro che viaggi per il mondo !
Cosa succede ? Follie ! Il tempo per te si ferma. Nella direzione in cui ti muovi l'universo ti appare contratto in un sol punto e quindi sei ovunque come un pensiero. Nello stesso istante senti di partire e arrivare.
Un fotone non si può stancare nè può cambiare durante il viaggio perché per lui il viaggio non esiste.
Se la luce di una stella lontana è tenue ciò accade perché stai ricevendo pochi fotoni ma ogni singolo fotone non si attenua con la distanza. Arriva fresco e tranquillo come se non avesse viaggiato affatto.
Questa circostanza ci consente di avere conoscenza delle lontane galassie fino ad incredibili dettagli: basta avere pazienza e raccogliere i fotoni necessari ad esempio in una fotografia.
L'orologio fermo del fotone è alquanto difficile da intuire.
Eppure il fotone sembra comportarsi come se, sin dalla partenza sapesse dove e come andrà a morire per quanto lontano sia.
Molti esperimenti hanno tentato di fregarlo cambiando le carte in tavola durante la corsa ma senza alcun successo. Il fotone si adegua alle circostanze sin dalla partenza.
E' sufficiente la spiegazione relativistica per spiegare la preveggenza del fotone ?
Non mi sembra. Il fotone durante il viaggio sembra quasi ibernato. Il viaggio sembra istantaneo a lui ma non a noi che dobbiamo aspettare la luce degli astri per tempi lunghissimi. Ci vuole qualcos'altro. Ci vuole ψ .

SIMMETRIA E INVARIANTI

La simmetria in fisica è definita in un modo più ampio di quanto siamo abituati a pensare. Ad esempio se le leggi di fisica non cambiano andando da un posto ad un altro questa viene definita una simmetria alla traslazione spaziale, se le leggi di fisica non cambiano se guardo in una direzione o in un'altra, questa viene definita una simmetria alla rotazione, se le leggi di fisica non sono cambiate fra ieri e oggi questa viene definita una simmetria temporale.
Queste simmetrie spazio-temporali sono semplici da capire (anche se la simmetria del tempo è un po dura da accettare per chi non c'è abituato) ma nessuno avrebbe pensato che gli invarianti fisici tanto cercati e preziosi fossero una conseguenza diretta di queste simmetrie. Ci ha pensato una matematica tedesca.

Emmy Noether, 1882-1935, studiò matematica come uditrice in quanto le donne non potevano essere ammesse come studentesse ai corsi. Entrò in contatto con i più grandi matematici del tempo. I nazisti la costrinsero ad abbandonare l'insegnamento perché di religione ebraica. Come molti altri studiosi, si rifugiò negli Stati Uniti dove morì.
Noether dimostrò che ad ognuna delle simmetrie corrisponde un invariante fisico.
In sostanza i caratteri di invarianza attribuiti al complesso di concetti che ruotano attorno all'energia sono solo conseguenze della simmetria spaziotemporale. I concetti di causa ed effetto, già offuscati dall'energia totale invariante, continuano a perdere visibilità dietro quelli di simmetria.
La simmetria e non l'invarianza è il perno della fisica.
Il teorema di Emmy Noether venne definito da Einstein un monumento del pensiero umano.

TERZO COMMIATO: SENTIRE LO SPAZIOTEMPO

Io credo che un giorno, quando la nostra corteccia si sarà ben bene dilatata percepiremo lo spaziotempo.
Adesso purtroppo è difficile ed è invece facile cadere in alcune trappole semplicistiche.
Ad esempio molti e autorevoli fisici di stampo classico assumono una posizione minimale e dicono che lo spaziotempo è la stessa cosa dello spazio e del tempo ordinari tranne alcuni effetti minori che si manifestano in condizioni insolite.
All'opposto i più avveduti mettono in evidenza che, se il tempo equivale ad una dimensione spaziale, l'universo non ha una storia ma una forma e la cosmologia non è che lo studio delle possibili forme dell'universo nello spaziotempo. Questa visione è potente e funzionale allo studio delle simmetrie ma ha un peccato filosofico: osserva l'universo dall'esterno anzi da uno spazio e un tempo ordinari esterni all'universo stesso come se si trattasse di un film cristallizzato in una sequenza di fotogrammi fissati per sempre sul supporto. Ma noi siamo dentro il film e l'esterno del film non esiste (... forse).
Un'altra caratteristica importante del tempo come dimensione spaziale è che non c'è una vera ragione perchè non possa essere percorso a ritroso ed in realtà la fisica quantistica lavora in un tempo immaginario che viene percorso in tutti e due i sensi (dal passato verso il futuro e viceversa).
A questo punto la domanda cambia : cos'è il tempo ordinario, quello che noi percepiamo e che scorre sempre dal passato verso il futuro ? Il filosofo-poeta- mistico salta subito sul carro: un sogno, un'illusione, un parto della nostra fantasia.
Non credo proprio, caro filosofo. Il tempo ordinario si misura anche con grande precisione ed è lo stesso tempo che usiamo nelle formule e che funziona molto bene.
Sono gli aggettivi che cambiano: lo riteniamo diverso dallo spazio perchè non riusciamo ad immaginare quella piccola "i" che lo accompagna ; riteniamo che si articoli sempre verso il futuro perchè non riusciamo a percepire in un sol colpo la forma (o il senso ?) della vita; riteniamo che fluisca con continuità mentre l'orologio ci suggerisce il contrario: uno scatto per ogni oscillazione del pendolo, nulla fra uno scatto e l'altro.