当代数学哲学中的实在论与反实在论之争 ——当代数学哲学发展趋势研究
摘要 数学实在论与反实在论之争，是当代数学哲学的中心议题；哥德尔（K. Gödel）的柏拉图主义实在论与蒯因（W. V. Quine）的实用主义实在论，是数学实在论的两种主要形式；数学实在论面临的主要难题，则在于解释人类如何能够获得对抽象数学对象，尤其是无穷数学对象的知识；哥德尔的，由胡塞尔现象学本质直观所启发的，阐释人类的抽象数学直觉的尝试，与蒯因的，对抽象数学对象的实在性的“不可或缺性论证”，是解决这一难题的两个主要策略。本文先通过哥德尔手稿所提供的线索，从哥德尔的抽象直觉和胡塞尔的本质直观的联系入手，探讨哥德尔与胡塞尔现象学产生共鸣的根源，并简要分析哥德尔“精密哲学规划”未能实现的可能原因。然后本文介绍、评述了蒯因的“不可或缺性论证”以及最近二十年来国际上围绕“不可或缺性论证”的争议的主要文献，指出当前种种对“不可或缺性论证”的分析、批评的不足之处，并提出可能的改进。
1. 引言
二十世纪初的数学哲学研究，侧重于探讨数学基础问题。由此产生了逻辑主义、形式主义、与直觉主义等数学基础流派。进入二十世纪中期以后，随着经典数学的成熟与广泛应用，经典数学已经被数学家们完全接受，数学基础问题也不再困扰数学家们。与此同时，哲学家们对数学中的哲学问题的兴趣发生了变化。哲学家们开始关注对经典数学的哲学解释，而不是为经典数学提供基础。比如，他们开始更多地探讨关于经典数学的本体论与认识论问题。这包括讨论抽象数学对象是否在字面意义上存在，数学定理是否为关于某些抽象数学对象的客观真理，我们如何能够获得、验证经典数学的知识，以及为什么数学可应用等等。最近二、三十年来，这已经成为国际上数学哲学研究的主流。这些哲学问题，其实是自柏拉图以来的哲学家们所关心的本体论问题，以及自十七、十八世纪经验主义与理性主义以来的哲学家们所关心的认识论问题，在数学领域的反映与继续。数学哲学因此成为传统哲学的一部分。抽象数学对象的存在性问题，与柏拉图的哲学观及中世纪哲学中的唯名论与实在论之争密切相关；而当代对数学真理的本性与数学知识的可能性问题的探讨，则是康德关于先天综合判断的思考的继续。 由于数学对象与数学知识的特殊性，关于数学的本体论与认识论问题，一直是对各种传统与近、现代哲学思想与流派的挑战。这包括了传统与现代的柏拉图主义（或实在论）与唯名论，近代的经验主义与理性主义，康德主义，现代逻辑经验主义，以及逻辑经验主义以后出现的各种思想与流派。数学对象与数学知识的特殊性在于：一方面，假设数学对象是客观存在的，那么它们应该是所谓抽象对象，即它们不存在于时空之中，与普通的自然科学所研究的对象不同。比如，现代物理学认为，宇宙有可能在宏观上和微观上都是有限和离散的。虽然这只是关于宇宙的众多假设之一，但问题是，在经典数学中的，无穷对象，比如实数连续统、无穷基数等等，被认为是非常确定地存在的，与物理世界是有限还是无穷无关。因此，数学世界中客观存在的抽象数学对象，应该是实质性地独立于物质世界的。换句话说，我们无法将抽象数学对象以某种方式看成是内在于物质世界的。 数学对象的这种抽象性，导致了关于数学对象的认识论难题。因为，我们关于物质世界中存在的事物的知识，可以有经验论的解释，但是，抽象数学对象与我们的感官没有因果联系，哪怕是间接的因果联系，而且我们经验的范围永远是有限的，不能达到实无穷，因此，经验论的解释不能用于解释我们究竟如何获得关于抽象数学对象的知识，尤其是关于超出有限的经验世界的实无穷的知识。作为对经验论的修正与补充，我们也可以考虑康德式的先天综合真理的说法，但是，康德式的先天综合真理，也只能涵盖我们的感官所能及的范围，而不能达到经典数学中的实无穷，比如，康德就认为以理性认识无穷将导致二律背反[①]。这意味着，如果假设数学对象（尤其是无穷对象）是客观存在的，那么从认识论的角度，我们将无法解释，我们究竟如何认识关于抽象数学对象的真理，尤其是关于实无穷的真理。但是，另一方面，经典数学在现代科学中有着广泛的应用，是自然科学的基础。在科学与数学中，我们似乎确实是在谈论抽象数学对象，包括实无穷的对象；我们似乎确实认识了一些数学真理；数学家们所证明的、科学家们所应用的，似乎确实是关于抽象数学对象的客观真理，而且是科学中最可靠的真理。数学常常被认为是提供了最确定的知识。这两方面表面上互相冲突的现象，构成了一个哲学上的谜。 这个难解的谜，是当代数学哲学的动力。当代数学哲学中各种主要理论，可视为对它的回应，尤其是两个对立的回应，其中以数学实在论为一方，而以唯名论或称反实在论数学哲学观为另一方。 数学实在论者相信[②]，抽象数学对象客观地存在，而且数学定理是关于它们的客观真理。实在论的最主要困难，就是上面提及的实在论的认识论难点，即解释有限的、处于时空与经验世界之中的人类，如何能够获得对客观的、不存在于时空之中的抽象数学对象（尤其是实无穷的对象）的知识。Benacerraf在1973年发表的一篇有广泛影响的论文“Mathematical Truth”（Benacerraf 1973）明确地强调了这个难点。有两种主要的数学实在论观点，它们包含了对这个认识论难点的两种回应策略。柏拉图主义实在论相信经典数学中的所谈论的集合等抽象数学对象都客观地存在，而且它们主要是靠某种数学直觉来认识的。哥德尔（K. Gödel）是这类观点的主要代表人物。哥德尔很早就意识到，柏拉图主义实在论的主要任务，是阐述这种数学直觉是什么。哥德尔从胡塞尔的现象学及其对“本质直观”的描述得到启发，试图阐释对于抽象数学对象的抽象直觉，以此解释我们对抽象数学对象的知识的可能性，并为数学及科学奠定严密的基础 (参见Gödel 1986，1990，1995)。蒯因（W. V. Quine）的实用主义实在论，则是从抽象数学在科学中的广泛应用这一角度，去论证数学实在论。这被称为对数学实在论的“不可或缺性论证”(indispensability argument, 参见Quine 1963, 1980a, 1980b; Putnam 1979a, 1979b)。概要地说，抽象数学对象对科学是必不可少的；科学在实践上的成功确证（confirm）了科学理论所作的关于物质世界的假设，包括关于一些不可观察的物理对象的假设，也同样确证了它所接受的关于抽象数学对象的公理，虽然那些抽象数学对象不存在于时空之中，而且与我们的感官没有直接或间接的因果联系。实用主义实在论认为，我们只有理由相信那些在科学中有用的抽象数学对象存在。 数学唯名论或反实在论者则相反，认为抽象数学对象不存在。数学唯名论者显然更看重实在论的认识论难点，认为这个难点使得数学实在论不可能成立，即如果假设抽象数学对象真的存在，数学定理是关于抽象数学对象的客观真理，我们的数学知识就不可解释。数学反实在论者赞同传统意义上的唯名论的观点，认为存在着的对象都是具体的个体对象，而没有所谓的抽象对象。中世纪的唯名论考虑的是具体的个体对象与所谓共象的对立与差异。数学对象不一定是共象。比如，自然数0应该是一个个体，而非共象。但如果自然数0存在的话，它也不是具体的个体对象，而是抽象的个体对象。在现代唯名论者看来，共象只是被设想的一种类型的抽象对象，而唯名论的要点是，抽象对象都不存在。但是，数学反实在论者面临着不可或缺性论证所带来的挑战。他们必须指出不可或缺性论证的错误，必须说明，假如数学不是关于客观抽象数学对象的真理，那么数学是什么，为什么数学可以应用在科学中。 哥德尔的关于数学哲学的思考，绝大部分在他身前没有正式发表，最近几十年来学界对他的思想的研究、讨论也不多，但他的丰富的思想应该说是一个待挖掘的保藏。本文第2节将先介绍、评述概述哥德尔的数学哲学思想。本文将通过哥德尔手稿所提供的线索，从哥德尔的抽象直觉和胡塞尔的本质直观的联系入手，探讨哥德尔与胡塞尔现象学产生共鸣的根源，并简要分析哥德尔“精密哲学规划”未能实现的可能原因。 围绕不可或缺性论证以及蒯因的实用主义实在论的争议，是最近二、三十年国际数学哲学文献讨论的焦点，有着大量的相关文献。本文第3节将介绍、评述最近二十多年来国际上关于不可或缺性论证的争议的最重要文献。本文将指出现有的，对不可或缺性论证的批评的不足之处，并提出可能的改进。 在进入正文之前，这里必须指出，数学实在论与科学实在论是不同的两种观点。数学实在论的要点是，断言那些独立于物质世界的、抽象的无穷数学对象，是客观地存在的（即使物质世界是有限的）。多数科学家赞同科学实在论的观点，相信不可观察的微观物理对象是真实存在的。但同时，许多科学家也将数学视为一种语言，一种方便的表达方式，因此实际上采纳了一种更接近于反实在论的数学观。表面上，数学实在论与科学实在论都称为实在论，但数学实在论者是假设了一个独立于物质世界的、抽象的、客观的数学世界。这样一个世界，如果客观存在的话，似乎只能是客观地精神性的。因此，数学实在论的精神实质与科学实在论的精神实质有很大的差异。对于那种将数学仅仅视为一种语言、一种方便的表达方式的直观观点，一个挑战就是对数学实在论的不可或缺性论证，因为这听起来似乎与对科学实在论的一些论证是一致的。事实上，一些学者就是将数学实在论与科学实在论联系起来，而无视它们在精神实质上的这种区别（参见Colyvan 2006）。因此澄清这一点是重要的，也是质疑不可或缺性论证的要点之一。
2. 哥德尔的柏拉图主义实在论与抽象直觉
3.蒯因的实用主义实在论与不可或缺性论证
3.1 不可或缺性论证----质疑与辩护的概述
不可或缺性论证的基本思想，蒯因在上世纪四十至五十年代的一些文章中就已经提出。参见（Quine 1963, 1980a, 1980b）。而后，普特南在七十年代将它作了精练的概括（Putnam 1979a, 1979b），从而使得“不可或缺性论证”这个名称变得流行起来。最近些年，一些学者们又对不可或缺性论证作了更准确、细致的表述。一般认为，不可或缺性论证包含这么几个前提（参见Colyvan 2004; Garavaso 2005; Azzouni 1998）： (1) 用单称词项或变元指称抽象数学对象，或用量词概括某些抽象数学对象的判断，在科学理论中是必不可少的； (2) 对科学理论的确证（confirmation）是整体性（holistic）的，即一个科学理论在经验上的正确性，以及它的其它与确证有关的特性，不仅确证了它的关于不可观察的物理对象(比如原子、电子等)的假设的真理性，也确证了它的关于抽象数学对象的假设的真理性； (3) 一个科学理论所断定为真正存在的事物，就是它的论断中的变元的值，或它的量词所概括的事物； (4) 科学是本体论问题的最后裁判；没有超出科学之外的，断定某物“真正”存在的，“第一哲学”的标准。 前提（1）就是抽象数学对象的不可或缺性。前提（2）是蒯因所倡导的整体主义确证论（confirmation holism），它将数学对象与关于不可观察的物理对象作比拟，认为一个物理理论在解释与预测经验现象上的成功，也确证了这个理论所假设的关于数学对象的判断，就像它确证了这个理论所假设的关于不可观察的物理对象的判断。前提（3）是蒯因的本体论承诺准则，即一个理论的本体论承诺（ontological commitments），就是这个理论的变元的值域中的对象。最后，前提（4）是蒯因的自然主义（naturalism），即认为关于何物存在的本体论问题，最终要由科学回答，而不是由某种高于或先于科学的“第一哲学”回答。由这些前提就可以得出，科学的成功，确证了抽象数学对象“真正” 地存在。 不难看出，整个不可或缺性论证是在蒯因哲学的框架下提出的。目前，反实在论者对不可或缺性论证的种种质疑，主要是对前三个前提的质疑。这些基本上也是在蒯因哲学的框架下的质疑，虽然可能蕴涵着对蒯因的一些观点的修正，比如对整体主义确证论的修正，对本体论承诺原则的修正等等。 拒绝前提（1）的反实在论者有两类。一类认为，可以发展出一种新的、不指称抽象数学对象的、唯名论的数学，从而使得科学理论不必承诺那些不存在的抽象数学对象。Field（1980，1989），Hellman（1989），Chihara（1990）属于这一类。另一类认为，数学判断不像它表面上所显示的那样，是关于一些时空之外的抽象数学对象的判断；数学家并不真的断言抽象数学对象存在。相反，数学判断有隐藏的真正涵义，而这些真正涵义其实不指称，也不用量词概括抽象数学对象。因此，他们也拒绝前提（1），但是他们不试图发明新数学，而只是想重新解释经典数学中的陈述，使得它们不指称或用量词概括抽象数学对象。这一类反实在论者中典型的有Yablo（2001, 2002）。他认为数学判断是比喻式的判断，它们的真正涵义不是在谈论它们表面上指称的抽象数学对象，数学定理的真正涵义是一些不涉及任何特殊对象的逻辑真理。 拒绝前提（2）的反实在论者通常承认经典数学是对科学来说最好的数学，而不认为有可能发展出某种能够替代经典数学的唯名论数学。他们也依旧从字面意义上理解数学命题，也就是说，承认数学判断确实指称抽象数学对象。所以他们接受前提（1）。但是，他们认为科学家们对数学判断的态度不是信其为真，而只是接受或使用它们。换句话说，他们认为，虽然指称与谈论抽象数学对象对科学理论是必不可缺的，但是科学理论在经验上的成功，只确证了理论中的关于可观察或不可观察的物理对象的假设，而不确证其中的关于抽象数学对象的假设。这种观点也可分为两类：其中一类明确认为数学判断在字面意义上是假的，抽象数学对象是虚构的，而不真正地存在，如Hoffman（2004），Melia（2000），Leng（2002, 2005a, 2005b）。他们对数学持有的是工具主义的看法，也接近于反实在论的科学哲学家对不可观察的物理对象所持有的观点，如范·弗拉森的构造经验论观点。另一类则仅仅拒绝整体主义确证观，否认不可或缺性论证的有效性，强调数学的自主性，但对于数学对象究竟是否存在，不作正面的、明确的回答，如Maddy（1992, 1997, 2005a, 2005b）。这种观点被称为数学自然主义。 拒绝前提（3）的反实在论者，则试图对数学中的“存在”作出新的阐释。有的提出，“存在”可以是一个谓词，或者可以有两种不同形式的存在量词，而只有其中的一种形式才真正蕴涵本体论承诺（Azzouni 1998）；也有的认为，一个理论对抽象实体的本体论承诺是不确定的，因为，不论一个理论所提及的抽象实体是实在地存在的，还是虚构的，都是与该理论相容的，因此极端的实在论与极端的反实在论其实是相容的（Balaguer 1997, 1998）。这种策略与拒绝确证论上整体主义的策略的区别是，它试图进一步分析或质疑“抽象实体存在”的涵义和所谓“本体论承诺”这个概念本身，而不仅仅是质疑自然科学的方法论能够确证抽象实体的存在性。 因此，概括起来有如下一些对不可或缺性论证的质疑： （A） 质疑抽象数学对象的不可或缺性： a) 唯名论数学：提出一种不需要假设抽象对象的唯名论数学以取代经典数学（Field, Hellman, Chihara），由此论证抽象数学对象不是不可或缺的； b) 比喻主义：重新解释经典数学中的语句，使得它们不指称或用量词概括抽象数学对象（Yablo）； （B） 质疑确证论上的整体主义： a) 数学自然主义：认为纯数学中接受公理的标准，是数学家们在数学实践中所采纳的实用标准，与普通科学家及科学实在论者所接受的科学中的确证标准不同，因此科学实践不直接确证数学公理的真理性（Maddy）； b) 数学工具主义：认为数学对象是虚构的，数学中的判断在字面意义上是假的，但数学是有用的工具（Hoffman, Melia, Leng）； （C） 质疑本体论承诺原则：认为一个理论的“真正的”本体论承诺，并不简单地是这个理论的变元所取的值（Azzouni, Balaguer）。 数学实在论的辩护者对这些质疑的回应，则包括指出唯名论数学不可能成功（Burgess 1983, Burgess & Rosen 1997），指出比喻主义对数学语句的重新解释违背和忽视数学家本身对数学的理解（Rosen & Burgess 2005, Burgess 2004a），试图为整体主义确证论辩护，尤其是证明数学自然主义与数学工具主义不能正确解释数学应用的一些方面（Baker 2001，2003a, 2003b, 2005；Colyvan 1998，1999a, 1999b, 2001, 2002，2006），以及认为拒绝蒯因的本体论承诺原则意味着追求某种凌驾于科学之上的形而上学，因此是无意义的（Burgess 2004a），等等。 下面我们将分节更详细地分析、评述这些质疑与辩护。
3.2 前提（1）：抽象数学对象的不可或缺性
3.2.1 Field的唯名论数学 对不可或缺性论证的最早的明确的质疑，产生于上世纪八十年代。它们侧重于直接探讨抽象数学对象在科学中是否真的不可或缺，也就是说，有没有可能发展出一种不需要假设抽象对象的唯名论数学。其实这种探讨，蒯因本人在二十世纪四十年代就曾以一种方式尝试过（Goodman & Quine 1947）。80年代的尝试，在技术上和哲学解释上都有一些进步。 目前在美国纽约大学任教的Hartry Field于1980年出版的书《没有数的科学》（Science without Numbers, Field 1980），开了最近二十多年来质疑不可或缺性论证的先河。Field曾因此书获得国际拉卡托斯科学哲学奖。Field发展了一种几何化的数学。他以时空中的点或区域为对象，重新表述一些经典数学的命题。比如，将时空中的一些离散的点的序列当作自然数序列，将时空中的线当作实数连续统，将时空区域当作实数集合等等。因此，一些经典数学的命题就被表述为关于时空中的点与区域的命题。他认为，时空中的点与区域是具体对象，因此这样的数学不假设抽象对象存在。 同时，Field用一个“保守性”概念来解释为什么经典数学有用。Field认为，经典数学中的定理要么是假的（因为它所断定的抽象数学对象不存在），要么是空洞地为真的（比如当这个定理说的是满足某种条件的数学对象不存在时）。但是，这些定理可以在物理学中有用，因为它们相对于某个只指称具体物理对象的唯名论的物理理论，可以是所谓“保守的”，它意味着，利用这些数学定理可以推导出的关于具体物理对象的结论，不用这些数学定理也可以推导出。更具体地说，假设T是一个所谓的唯名论的物理理论，即T的单称词项与量词只指称与概括具体的物理对象，而不指称或概括任何抽象数学对象；假设M是一个经典数学理论（因此它的词项与量词会指称与概括抽象数学对象）；称M相对于T是保守的，假如对任何一个本身只指称与概括具体的物理对象的命题A，如果从M+T可推导出A，那么从T本身也可推导出A。换句话说，M的作用仅仅在于能够使得推导变的更容易些。它不带来关于具体事物的更多的结论。表达物理定律本身就要用到数学，因此Field用他的以时空中的点与区域为对象的唯名论数学来表达物理定律，由此构造唯名论的物理理论T，也就是所谓“没有数的科学（science without numbers）”。然后，要证明某个经典数学理论M对这样一个唯名论的物理理论T是保守的，就是要证明，如果可以由M+T推导出用理论T的语言（也就是唯名论语言）表达的某个命题A，那么可消去推导中用到的M中的定理，得到仅仅由T推导出A的证明。Field相信，由此就可以证明抽象对象在科学中不是真的不可或缺的。 Field的观点又被称为虚构主义（fictionalism），因为Field有时称数学对象为虚构的对象。这种理解被后来的一些学者继承下来，如Balaguer (1997)，Hoffman (2004)，Melia (2000)等，虽然这些学者不再反对抽象对象的不可或缺性，不再坚持可以发展出一种唯名论的数学与物理理论。 Field的方案的一些缺陷已经被人指出。Field的唯名论数学只涵盖较简单的数学，如初等微积分。一些学者指出，同样的策略将不能发展更高级的数学，比如用于量子力学的泛涵分析理论（见 Malament 1982）。还有，Field假设时空中的点和区域是具体对象，而且实际上假设，时空中由点组成的线是同构于经典数学中的实数连续统的。但是，从哲学分析的角度说，时空中的点是我们对时空结构的抽象的设置。一个没有广延的点，不同于任何普通的具体事物，它本身应该被认为是抽象的。Burgess与Rosen（参见Burgess & Rosen 1997；Burgess 2004a；Rosen & Burgess 2005）则指出，Field的唯名论数学与物理理论，繁琐而且只能涵盖很有限的物理和数学，不可能得到科学界的承认。他们认为，用唯名论数学与物理代替经典数学与物理的想法，是将一些哲学原理置于科学之上，比如将“假设抽象对象的实在性会导致认识论难题，因此抽象对象不可能存在”这一哲学上的认识，看得高于科学家们的判断；是以哲学原理为出发点，来批评、拒绝科学理论。这是不可接受的，因为历史证明，从哲学的偏见出发来批评、拒绝科学，结果总是哲学失败。除非某种唯名论数学与物理被科学共同体接受，被认为是依科学标准（而非所谓的哲学标准）是更好的理论，否则它就不能说明，抽象对象在科学中是可消除的。 这里我想指出， Field的方案的另一些更重要的缺陷，迄今为止似乎都被他的批评者们忽略，即，唯名论者不能假设无穷，甚至潜无穷的实在性。Field（1980）的唯名论数学假设了有无穷多的时空中的点，因此它假设了实无穷。Field在他的最近的相关文章（Field 1998）中，更明确提到了时空是无穷的这一假设。但是，从物理学的角度说，宇宙在宏观上是有限的，而微观时空结构也有可能是离散的。如果宇宙是有限和离散的，那么它意味着宇宙间总共只有有限多的具体事物。假设无穷，哪怕是潜无穷，就是假设了抽象事物的实在性。微观时空结构是否离散，当然在物理学中还只是一个未定的假说，但要点是，一种数学哲学应该独立于一个今天还未确定的物理学假设。同时，假设了实物穷之后，我们同样将遇到实在论的认识论难题，即处于有限的宇宙中的有限的大脑，如何能够认识关于无穷的真理。一种很自然的想法是，诉诸某种整体主义确证论，认为我们是通过指称无穷的语句在科学中的应用，来确证关于无穷的真理[③]。但是，唯名论者不能采纳这种策略，因为如果这种策略可行，它将同样能够确证我们关于任何抽象对象的知识，因此与唯名论者的观点矛盾。 同时，经典数学不仅仅被应用在物理学中，它还被应用在经济学等其它领域中，其中所应用的对象显然是有限和离散的，与时空结构是否为连续无关。而且，即使有一天所有物理学家都接受了时空结构是有限、离散的这一假设，可以想象，科学家还是会同样地应用经典数学于物理学或经济学中。更进一步说，我们的经验所能达到的范围永远是有限的。所有今天的科学理论，包括牛顿物理、相对论物理、与量子物理等，都仅仅在有限的范围、有限的精度内是准确的。普朗克尺度（≈10-33cm）以下的空间结构，已经超出我们今天所能认识的范围。所以，实际上今天所有的经典数学的应用，包括在物理学中的应用，都是对有限事物的应用，与经典数学在对象明显为有限、离散的经济学中的应用，没有实质性的差别。如果一种数学哲学理论，在解释经典数学是什么，以及它为什么可以应用于象经济学那样的有穷领域时，需要依赖时空的无穷性这样的物理学假设，那么这种哲学一定错过了关于数学的一些本质性的东西。一种数学哲学要成为合理的，它应该能够说明数学是什么，尤其数学中的无穷是什么，而不必假设真实的宇宙是否为无穷的；反之，它应该能够说明数学中的无穷是什么，即使假设了宇宙是有限的；而且，它应该能够说明无穷数学如何能够被应用于有限的事物。 因此，唯名论数学只能是有穷数学；唯名论数学哲学不应该假设无穷的实在性；而且，要采用Field的方式，通过消除数学应用时对抽象对象的指称，来说明为什么经典数学可以被用，实际上就要消除所有涉及无穷的数学，将无穷数学的应用还原为有穷数学的应用。这实际上是Field的方案的更根本性的问题，因为Field的所谓唯名论数学假设了实无穷，尤其是时空的无穷性。
3.2.2 一个反实在论数学哲学框架 为了更好地评价各种对不可或缺性论证的质疑，更清楚地指出它们的不足之处，这里有必要简要地、正面地阐述一种或许可行的反实在论数学哲学框架（参见Ye 2006）。后面，在评价各个反实在论者对不可或缺性论证的质疑时，我们将把他们的观点与这个框架比较，以指出，他们哪些方面的缺失，使得他们不能完全成功地回应不可或缺性论证的挑战。 首先注意，对于不假设无穷，包括潜无穷的有穷数学，我们很容易将其唯名论化，也就是说，不必假设抽象对象，而仅仅指称具体事物，来表达数学判断。比如，可以将数学判断，表达为关于具体的、有限的计算机的计算结果的判断。同时，一些技术性的研究已经表明，有穷主义数学已经有相当的强度，比如，作为经典量子力学基础的泛涵分析中的希尔伯特空间上的无界线性算子理论，可以在有穷主义数学的框架下发展起来。见 Ye（2000）。由于将无穷数学应用于有限事物时，无穷是用来近似地逼近有限事物，用来构造关于极其复杂的有限事物的简化的模型，我们可以很自然地猜测，无穷数学的应用，原则上都可以还原为有穷主义数学的应用，虽然还原后的数学计算与推导，可能要比应用无穷数学的计算与推导复杂、烦琐得多。但是，这种原则上的可还原性，如果成立的话，还是可以说明经典数学在应用中，相对于关于具体事物的唯名论判断是保守的，而且无穷与抽象对象在原则上是可消除的。当然，这依赖于无穷数学在应用中可消去这样一个技术性的猜测，需要更多的技术上的研究来支持。但是，恰恰因为具体事物都是有穷的，无穷数学在应用中的可消除这一论断，有着直观上的合理性。 反之，一旦唯名论者假设无穷为真实存在的，他们反而不能证明经典数学相对于唯名论数学是保守的。比如，Field（1998）假设有真实的、由时空中的点组成的、像自然数序列那样的ω-序列。Field试图以此论证所有关于自然数的命题都有客观的真理性。但是，由哥德尔定理我们知道，一系列越来越强的数学公理系统，比如从皮亚诺算术，到二阶算术，ZFC集合论，集合论加大基数假设等等，都可以推导出新的、由更弱的系统推导不出的、关于自然数的定理。因此，假设T是一个关于以时空点序列为自然数的唯名论理论，那么，要使得一个如ZFC集合论，或集合论加大基数假设那样的经典数学理论，相对于T是保守的，T就必须能够推导出所有由ZFC集合论，或集合论加大基数假设所能推导出的关于自然数的定理。这意味着T的证明论强度要与这些经典数学理论一样的强，也就是说，T要能够证明这些经典数学理论的一致性。迄今为止，除了接受ZFC集合论、集合论加大基数等的公理，没有其他方式可以做到这一点。要将这样强的系统解释为唯名论的、不假设任何抽象对象的系统是不可能的。 如果真实存在的具体事物都是有穷的，我们就没有这样的问题。比如，考虑不含量词的原始递归算术PRA。这一般被认为是有穷主义数学的代表。这样一个系统PRA本身是完备的，即对它的任何一个语句（闭公式）A，要么A，要么A的否定是可证的。这是由于A不含量词。然后，如果将PRA扩张为经典数学理论，如皮亚诺算术，二阶算术，ZFC集合论，集合论加大基数假设等等，那么扩张后的理论相对于PRA是保守的，当且仅当扩张后的理论本身是一致的。因此保守性就被归约为一致性。保守性与一致性论断本身，包含了对一个形式系统中所有（因此无穷多的）语句的量化，因此它不是唯名论的论断。但是，在应用中真正有意义的，其实是一些有限形式的保守性与一致性，比如，对某个具体的N，“用ZFC中长度小于N的证明推导出的PRA的语句都是在PRA就可证的”，或“用ZFC中长度小于N的证明不会推导出矛盾”。当N充分大时，比如大于宇宙中基本粒子的数目时，考虑长度大于N的证明显然是无意义的。我们对于这种有限形式的一致性的信念，其实是由归纳得来的信念。比如，对于ZFC，我们在思想中想象集合并进行推理。在经过长期的实践，经过将我们的想象与推理不断地严格化后，我们相信我们不会再得到悖论。这是经由对我们自身的思维过程的反省得到的归纳信念。这样，以有穷主义唯名论数学为基础，我们就有关于经典数学的保守性的合理解释。 假如无穷不存在，那么怎么理解经典数学中谈论无穷的语句呢？一种自然的理解是，我们是在想象或虚构事物，就像在故事中想象或虚构事物一样。我们看着一条线段，然后想象它可以无限地延长。谈论抽象数学对象，就像谈论故事中的角色。想象无穷多的数学对象，就像想象千军万马。如前所述，Field与近些年其它一些反实在论学者也认为数学对象是虚构的，但是他们没有充分解释何为虚构事物，没有充分说明谈论虚构事物的语言的意义。虽然虚构事物字面意义上不存在，但关于虚构事物的判断是有内容的，而且在某种意义上，虚构事物与真实事物之间可以有真实的相似性。比如，虽然林黛玉不存在，而且《红楼梦》中关于林黛玉的语句，没有文本以外的事实作为它们的真值的基础，但是，语句“她真像林黛玉”在直观上可以有客观的真理性，而且可以以一些文本以外的客观事实作为其真值的基础。这应该是经典数学可应用的原因。反实在论者应该从这一点出发，去解释经典数学判断的意义以及可应用性。 一种可能的解释何为虚构的事物，说明虚构事物如何与真实事物相似的策略是这样的（参见Ye 2006）。既然虚构事物不存在，需要解释的其实不是何为虚构的事物，而是我们谈论虚构事物的语言该如何理解。这里的要点是，虽然虚构事物不存在，我们想象虚构事物时心灵中的内在表征是真实地存在的。换句话说，我们的一些真实的内在表征表示了具体的外部事物，比如我们的关于曹雪芹的内在表征；但是，我们的另一些内在表征不直接地表示具体的外部事物，比如我们的关于林黛玉的内在表征。然而，这两种内在表征本身都是真实地存在于我们的心中的，而且它们有着同样的内在结构。我们的心灵以同样的方式处理这两类内在表征。我们甚至可以对它们产生同样的意向性态度，即意图使它们都表示外部事物，虽然对后一类内在表征来说这种意图不能实现。谈论虚构事物，就是我们的心灵，以处理第一类内在表征的方式，处理第二类内在表征。关于虚构事物的判断的内容，就在于这第二类内在表征的内在结构。它们是真实的。所谓虚构事物与真实事物的相似性，就归结为这两类内在表征之间的相似性，而这是有客观的基础的。相似性意味着，可以将这第二类内在表征，以某种方式翻译为关于第一类内在表征所表示的对象的真实判断。也就是说，想象林黛玉时产生的内在表征，可以翻译为关于某个具体存在着的人的真实论断。 这种第二类内在表征不直接表示固定的一个或一类外部事物，但它们实际上是以间接的，但更灵活的方式，与外部事物相联系。故事中的一个虚构人物，与作为她的原型的一个或者数个真实人物相联系，也与任何其它与其相似的真实人物相联系。我们关于自然数“9”的内在表征，不直接表示一个特定的外部事物，但是，它与“9粒苹果”，“9尺长”，“数9次”等真实的事物、属性、或外部事件相联系。这种第二类内在表征，是我们的大脑为了概括外部事物的一些一般性特征而创造的。 将经典数学应用于有限世界，就好比用虚构的故事来模拟真实的事物。数学的作用，是在于构造模型。就像心理学家们用一个虚构的人物作为例子，来说明某种心理特征，物理学家们用虚构的数学对象，来做模型以描述物理世界。数学的可应用性，也是基于数学结构与真实事物之间的相似性，即关于虚构的数学对象的判断，或者更准确地说，想象数学对象时我们心中采纳的判断，可以翻译为关于具体存在的事物的判断。比如，实数连续统、黎曼空间与真实的时空有着相似性，也就是说，数学中关于实数连续统与黎曼空间的判断，可以翻译为关于真实时空的判断。与心理学家们用一个虚构的人物作为例子相比，区别仅仅在于数学中的虚构更精确、更严格。 要解释数学的可应用性，就是要说明，原则上可以消除所谈论的虚构的对象，也就是说，谈论虚构对象的语句，相对于谈论真实事物的判断是保守的。假如谈论虚构的无穷数学对象的判断可以首先被消除，那么剩下的谈论虚构的有限数学对象的判断，就很容易被消除，因为我们可以用谈论有限的具体事物的判断，比如用谈论计算机中的数字表示的判断，来替代它们。 最后，我们对数学对象的想象也是受客观性条件制约的。这包括几个方面：（1）客观存在的具体事物客观规律性；（2）想象的目的，比如，用于模拟客观存在的具体事物；（3）由大脑的先天结构决定的对我们的想象能力的限制。这就好比一个作家在构思一个故事时，会说故事中的人物有自己的生命，这当然只能是指构思故事以表现真实人物的目的，以及真实存在着的人物客观规律性，使得作家只能以一种方式去虚构故事。我们可能只能以遵循经典逻辑的方式，来直接地想象有限的事物。我们只能想象稳定的、有自身同一性的个体，而不能直接地想象量子论层次上的、非经典的、不确定的实体。因此，我们的想象也必须遵循基本的算术原理。我们只能用曲折的方式来描述量子论层次上的对象。我们的想象能力，也可能客观地限制了我们只能以某种方式来想象无穷，也就是说，只能以某种方式，依据我们所经验的有穷世界，去想象有穷范围之外的东西，而不设定一个边界。所谓逻辑与算术等其它先验的真理，就是我们的由大脑的先天结构决定的想象能力的制约与界线。 概要地说，这个反实在论数学哲学框架包含了以下的基本原则： （1） 假设无穷，包括潜无穷，即意味着假设抽象对象；反实在论者不能假设实无穷；有真实内容的唯名论数学只能是严格的有穷主义数学。 （2） 经典数学是对虚构的、包括无穷的数学对象与结构的想象；想象虚构事物，也就是创造不直接表示外部事物，但与其它直接表示外部事物的内在表征有着相似的内在结构的“第二类”内在表征。 （3） 虽然虚构事物字面意义上不存在，但关于虚构事物的判断是有内容的，而且虚构事物与真实事物之间可以有真实的、客观的相似性，这可以归结为两类内在表征之间客观上的相似性，或归结为关于虚构事物的内在表征可以翻译为关于真实事物的真判断，而这是虚构的数学对象可以应用的部分原因。 （4） 经典数学的应用，是在于用虚构的数学对象与结构，来模拟有限世界中的真实事物。解释经典数学的可应用性，或说明经典数学的保守性，关键在于证明，在数学应用中无穷都可以被消除；而恰好因为经典数学的应用对象都是有穷的，这种可消除性在直观上是合理的。 （5） 逻辑与初等算术等的先天性与必然性，要通过考察由大脑的先天结构决定的我们的想象能力的界限来解释。 最后还要解释一下上面提到的另一种批评，即唯名论数学，以及以它为基础的物理理论，是依科学的标准比经典数学与物理更差的理论。这是误解了数学应用的方式，以及数学哲学的目的。消除无穷以解释无穷数学的可应用性，不是要用有穷主义数学代替经典数学。这好比心理学家们谈论虚构的俄底浦斯来表达与概括人类的某种心理特性。这可行，是因为关于俄底浦斯的陈述，可以以某种方式翻译为关于某些真实的、具体的人的真实陈述，而非因为关于俄底浦斯的陈述是字面意义上真的。要从逻辑上解释这为什么可行，为什么对心理学有意义，就是要解释这种翻译如何进行，而这其中就蕴涵着证明，指称俄底浦斯本身不是绝对地不可或缺的。但这当然不意味着要求心理学家们放弃谈论俄底浦斯，或任何一个虚构的、作为例子的人物。同样地，数学家与科学家们聪明地想象无穷（更准确地说，是聪明地创造一些不直接表示事物的内在表征），并用它来构造简化的数学模型，以描述这个有穷的世界。哲学家与逻辑学家的任务，是分析、解释数学家与科学家们的关于他们的想象的陈述，在数学应用中如何实际地被翻译成关于具体事物的真实陈述。由于具体事物总是有限的，这种解释必然蕴涵着证明无穷是原则上可消除的，不是绝对不可或缺的。 比如，物理学家用连续模型描述流体的运动，虽然流体是由有限、离散的粒子组成的。物理学家们相信，原则上流体可用关于各个粒子的所有运动方程描述，但这在实际应用上显然完全不现实。连续模型给出了一个简化的模型。纯粹从逻辑上说，连续模型近似地正确，似乎意味着对连续模型的计算与推导，原则上可以翻译为关于各个离散粒子的近似的计算与推导，也就是说，连续模型在逻辑上不是绝对不可或缺的。而另一方面，这当然不蕴涵着物理学家们必须放弃连续模型。恰恰相反，人类的聪明才智就在于能够想象出一些虚构的事物，来概括或简化地描述极其复杂的，但有限的外部世界。而且，人类创造与应用这些虚构事物，是依赖于复杂的、难以分析的、直觉的思维过程，而不是类似于逻辑系统中的推导。哲学家与逻辑学家的任务，是对科学家的聪明才智，作逻辑上的分析，以揭示它在逻辑上是如何工作的，而不是用这种分析，去替代科学家的创造性直觉的应用。这种分析当然不可避免地是极其复杂与烦琐的。因这种烦琐与复杂性去反对唯名论数学哲学，是一种误解。唯名论数学或有穷主义数学不是要替代经典数学，就像对大脑如何直觉地猜测一些真理作细致的分析，不是要大脑放弃直觉的能力，而一步步地去遵循这个分析所揭示出的大脑神经元的操作步骤。那根本是不可能的。科学家们也是直觉地猜测到，一个连续的模型可以很有效、很简单地模拟有限、离散的运动粒子，而逻辑学家与哲学家的问题是，这在严格的逻辑上究竟是如何可行的。直观上，这种分析应该意味着消除无穷，将连续模型的应用，还原为更烦琐的，但是对有限事物作的有限的计算。 回到不可或缺性论证。假如抽象数学对象不是逻辑上绝对不可或缺的，而是在构造简化的、不绝对正确的、但足够近似地准确的模型时必不可少的，而且更进一步，假如要在逻辑上严格地解释这种模型如何近似地准确，抽象数学对象必须原则上可消除，那么，这种实用上的不可或缺性，并不能证明科学理论必须承诺抽象数学对象客观地、真实地存在。换句话说，假如数学对象之不可或缺，是因为我们计算能力上的局限性，使得我们不得不想象一些不绝对精确地对应于真实的有限、离散的世界的无穷连续结构，然后用这些无穷连续结构来近似地模拟真实的有限、离散的世界，那么，这种不可或缺性，以及它所带来的理论上的简单性，应该不能说明无穷连续结构本身必须客观地存在。它说明了抽象数学对象的不可或缺性，与不可观察的物理对象的不可或缺性，是有原则上的差异的。原子、电子等存在，是因为它们实际地构成了宏观的物体，它们是宏观物体的微小部分，而非因为仅仅为了更简单地、但更不准确地描述外部事物才被假设的，而一旦更准确地描述外部事物时，它们反而不再是必要的了。 由此出发，我们可以进一步考察不可或缺性论证的另外几个假设，即确证论上的整体主义、本体论承诺原则、以及自然主义本体论原则，可以看出这几个假设都包含错误。这些将在本文以下的讨论中进一步说明。
3.2.3 其它唯名论数学的尝试 除了Field，在1980年代还有Chihara（1990）和Hellman（1989）也试图发展某种唯名论的数学。参见Burgess & Rosen（1997）中对各种唯名论数学的评述。这些唯名论的数学比Field的唯名论的数学更系统化、包含范围更广些，但是它们都假设了某种数学上的“可能性”概念。它意味着，即使物理世界是有穷的，无穷乃至不可数无穷，都是数学上 “可能的”。这些理论的主要问题是，这种数学上的“可能性”概念本身并不比“客观的抽象数学对象”这个概念更清晰。前面提到，数学实在论者的主要难题是，如果抽象数学对象是客观的、又独立于我们生存的物理世界的，那么我们如何认识它们就成为不可解的迷。唯名论者就是基于这点考虑而否认抽象数学对象是客观的存在。设想某种纯粹数学上的“可能性”并不能回避实在论的这个认识论难点。我们同样要问，有限的、生存于有限的物质世界的大脑，如何能够认识关于这种纯粹数学上的“可能性”的真理。这种可能性，包括实无穷的可能性，不同于物质世界中的可能性。要解释它，无非还是那么几种策略，包括蒯因的整体主义确证论的策略，等等。如果这些策略可行的话，实在论者就同样可以论证抽象事物存在了。
3.2.4 比喻主义 在MIT任教的Yablo (2000，2002) 提出的对数学命题的比喻解释，是一种典型的重新解释数学判断的尝试。Yablo认为，一个像“2+3=5”这样的数学语句，是像英文中“I have a butterfly in my stomach”那样的一个比喻式的句子。说话者不真的意指语句表面上指称的对象，而是在表达另一个隐含的意义。Yablo认为，虽然表面上“2+3=5”是在谈论自然数这一类抽象对象，但“2+3=5”的真正意义，是一阶逻辑中的如下语句所表达的意义：“如果恰有2个个体是P，恰有3个个体是Q，而且P与Q不相交，那么恰有5个个体是P或Q”。这是一阶逻辑中的一个逻辑真理，而且不指称任何特殊对象。因此，Yablo认为，算术中的定理不是关于任何特殊对象的判断，尤其是，它们不是关于作为抽象对象的自然数的判断，而是纯粹的逻辑真理。对于算术中的带有量词的定理，比如，"x(2+x=x+2)，Yablo建议它们可以先表达为无限长的句子，比如如下的合取式， (A) (2+0=0+2)Ù(2+1=1+2) Ù(2+2=2+2) Ù(2+3=3+2) Ù…。 然后，其中每个合取项可以再以如上方式翻译为一阶逻辑中的语句。Yablo认为，这样一个无穷长的语句，还是表达一个与特殊对象无关的逻辑真理。这样，一方面，数学定理的真理性被保留；而另一方面，数学真理成为与特殊对象无关的逻辑真理，而不是关于一些特殊的抽象数学对象的真理。 Rosen与Burgess对Yablo的批评，侧重于强调数学与科学家们本身对数学命题的理解不是比喻式的，而是字面意义上的理解；同时强调，对数学语言的解释，应该尊重数学与科学家们本身的理解，而不是一些哲学家的出于哲学偏见，即出于唯名论偏见的解释（见Rosen & Burgess 2005；Burgess 2004a）。我们在这里要指出，其实Yablo的观点的更根本性的问题是，他的策略实际上不可行，因为它本身假设抽象数学对象，而这也与无穷的地位有关。假如宇宙间总共只有有限多个具体的个体，那么象(A)那样的无穷长句子究竟是什么？它不可能是一个具体存在的对象。也就是说，它本身只能是一个抽象对象。而如果抽象对象都不存在的话，Yablo的翻译，实际上是将日常语言中真实存在的具体的句子，比如，"x(2+x=x+2)，翻译成了不存在的东西。也就是说，Yablo实际上没有作任何翻译。事实上，我们不能直接说出像（A）那样的无穷长句子，不能真的使用（A）来表达命题。它不是日常语言或数学语言中的句子。我们首先需要定义或构造这样无穷长句子，用一个日常语言或数学语言中的，有限长的表达式来指称它，就像用有限表达式指称一个实数、自然数无穷序列等等一样；然后需要定义关于这样的无穷长句子的“真”谓词；最后，我们才可说出语句“（A）是真的”，其中“（A）”应理解为一个指称无穷长语句的，日常语言或数学语言中的有限表达式。只有这样，我们才能“使用”无穷长句子。其实它是通过用数学语言中的有限长的表达式指称一个作为抽象对象的无穷长语句，然后直接使用“真”谓词，来达到“使用”无穷长句子的目的。要定义无穷长句子以及它们的真假，需要用到集合论，或类似的关于抽象数学对象的数学理论；还要用到数学中的递归定义。对于翻译多重嵌套的量词的语句所得的无穷长语句，要用到多重归纳或超穷递归。因此，这本身是在构造一个关于抽象对象(即无穷长语句)的数学理论。Yablo的翻译，只不过是将关于作为抽象对象的自然数的判断，翻译成了关于作为抽象对象的无穷长语句的判断。更进一步，如果Yablo的翻译策略被用到关于实数的语句上，我们将得到含有不可数个成份的无穷长语句。显然，这种搬弄不能解决真正的问题。 Yablo的观点有时也被称作虚构主义，因为在他那里，抽象数学对象也是虚构的。将关于虚构事物的语句应用于真实事物时，确实需要一种翻译，但这与对日常语言中比喻式的语句作解释是有所不同的。关于林黛玉的语句可以应用于关于真实存在的人，是因为虽然林黛玉不真的存在，但在某种意义上我们可以说，林黛玉的经历与个性与某个真实存在的人的经历与个性相似。同样，将关于数学对象的命题应用于真实事物，也是部分地基于数学对象的结构与真实事物的结构之间的相似性，比如，实数连续统、黎曼空间与真实的时空的相似性，虽然这种相似性并不意味着数学对象与结构本身必须真实地存在。Yablo的对数学命题的所谓“真正”含义的解释，无视关于虚构事物的判断所包含的关于虚构事物的丰富内容，以及由此得出的虚构事物与真实事物的相似性。这说明，要为数学唯名论辩护，我们还是要回到前面提出的数学唯名论的基本原则（1）——（5）。
3.3 前提（2）：整体主义确证论
上世纪九十年代开始，具有反实在论倾向的学者们陆续开始将注意力转向质疑不可或缺性论证中的整体主义确证论假设。部分原因可能是由于意识到Field式的唯名论数学的局限性，以及意识到经典数学至少从实用的角度，从构造简单、方便、有效的科学理论的角度是必不可少的。以经典数学为基础的自然科学，是科学家所能得到的最好的东西，哲学家们不太可能提出能与科学们的最好成果相竞争的理论，也不太可能让科学家们，因为某种哲学上的困难，放弃他们的最好的理论。因此，他们将注意力转向询问，以经典数学为基础的自然科学的成功，是否真正确证了经典数学的客观真理性。
3.3.1整体主义确证论的难点与Maddy的数学自然主义 整体主义确证论来源于所谓杜罕-蒯因论题（Duhem-Quine thesis），它强调，当一个理论的推论与实验冲突时，我们可以修改这个理论的众多假设中的任何一个，以使其与经验相符合。因此，整体主义确证论认为，一个科学理论的成功，是在整体上确证它的所有假设，包括它所用到的数学假设。蒯因更进一步将其发展成一个所谓“信念之网”的图景：逻辑与数学处于信念之网的中心，因为它们几乎被所有科学接受；当我们的理论遇到经验的挑战时，我们更倾向于修改处于信念之网边缘的特殊科学中的假设，而不是修改处于中心的逻辑与数学；因此整个信念之网的成功，确证了处于中心地位的逻辑与数学，包括数学中的对抽象数学对象的设置，只要他们是必不可少的。 Maddy（1992）是在九十年代最早明确反驳不可或缺性论证中的整体主义确证论前提，而在以后产生反响的文章之一。Maddy在她以后的一系列著作与文章中进一步发展了她的观点，参见Maddy（1997，2005a，2005b）。Maddy也因她的这些研究而获得2002年的国际拉卡托斯科学哲学奖。Maddy对整体主义确证论提出了两个方面的批评，它们分别来源于对自然科学实践与数学实践的考察，因此完全是从自然主义内部提出的批评，而不是否定蒯因的自然主义原则。首先，Maddy提出，科学家本身对科学中的假设持有不同的态度，从仅仅接受为方便的假设到完全信其为真。Maddy举的是十九世纪到二十世纪初的原子论的例子。到十九世纪末，原子论已经被大多数化学家们接受为能够解释化学现象的最好的理论，但是科学家们对原子是否真的存在还有疑虑，一直到二十世纪初，根据爱因斯坦对布朗运动的计算所作的实验成功后，科学家们才消除了怀疑。这个例子的结论是，科学确证需要更直接的证据，而不仅仅是包含某假设的理论在整体上是可被接受的，因为一个假设，有可能被当作是仅仅是带来方便的假设。然后，Maddy认为，科学理论中的数学的角色恰是属于仅仅带来方便的假设，而不是被直接确证为真的假设。对于这一断言的证据，Maddy提到，数学对象与科学理论中提到的，像质点、理想气体那样的理想化的事物一样，是用来表达理论的方便的设置。以使用连续模型来模拟时空结构为例，它带来方便，但是科学家们并不认为它确证了时空结构是连续的（参见Maddy 2005）。另一方面，从数学实践的角度，Maddy指出，数学家们在考虑哪些集合论的公理是可接受的时候，并不关心数学理论的应用，而是从数学理论内部的一些标准出发来考察。比如，蒯因认为集合论中的可构成性公理（V=L）是应该被接受的，因为它在不影响应用的前提下简化了集合论，使得一些独立的结论，如连续统假设，可以被解决。但是，几乎所有的集合论专家都拒绝这个公理，因为它意味着限制集合的丰富性。因此，数学家们所采纳的数学的内部标准，不同于蒯因的以应用为中心的标准。概括起来说，Maddy一方面否认数学应用确证了数学为真，另一方面又指出，数学家们接受一个数学公理的内部标准，是相对独立于数学应用的。Maddy认为，对数学公理的可接受性的评判，应该基于数学实践的内部标准。因此她的观点被称作“数学自然主义”。然而，至于数学实践的内部标准是否确证了数学对象真的存在，Maddy没有非常明确地回答，她只是声称她倾向于认为，数学对象的字面意义上的存在性对于解释数学也许是不相干的，而且，数学对象的存在性问题，也许更多的是语义理论或真理论的问题，而非自然化的数学哲学的问题（Maddy 2005a, p. 456-458）。 Burgess与Rosen对Maddy的批评集中于数学在科学理论中仅仅是方便的假设这一点（参见Burgess 2004b；Burgess & Rosen 1997；Rosen & Burgess 2005）。Burgess与Rosen也承认不可或缺性论证有缺陷，即不能仅仅从数学的应用出发，说明科学确证了数学。但是，他们认为，数学本身就是科学的一部分，数学家们对数学的确证与物理学家们对物理学的确证有着同等的地位。他们强调，数学家们是认真地相信他们证明的定理的。反之，当科学家们对一种数学理论有疑虑时，他们是将问题转给数学家们，让数学家们决定什么数学理论是正确的。比如，早期量子力学中的使用的狄拉克函数是有问题的，而后数学家们发展了更正确的广义函数理论。科学家们确实不认为连续的时空模型是同构于物理时空的，但是这并不排除他们相信，关于抽象的连续时空模型的数学判断是字面意义上为真的。Burgess与Rosen其实是假设了大多数数学家与科学家是从字面意义上理解数学判断，而且持有或至少隐含地预设了数学实在论的观点，然后强调哲学家应该尊重数学家与科学家的观点。 Maddy与Burgess和Rosen之间的争议，是近些年数学哲学中的重要争议之一。这里我想指出，一方面Maddy的论点确有不足之处，而且Burgess和Rosen的批评可以再加强。但另一方面，Burgess和Rosen的批评并未驳倒唯名论，相反，它显示出实在论的一些本质性难点。 Maddy考虑更多的是集合论中的那些不那么自明的公理，因此数学判断的真理性，显得与关于原子存在的判断的真理性一样，可以有疑问。假如我们考虑最简单的数学命题，比如“2+2=4”，或者“存在大于2而且小于4的自然数”，那么显然，科学家们对它们的信念程度要远远超过对原子存在的信念程度。因此，如果说科学实践还没有确证“存在大于2而且小于4的自然数”，因而还没有确证自然数存在，那么它必定是由于其它的原因，比如，由于这个语句不应该按字面意义理解（或者即使按字面意义理解它也不是在断言某种抽象事物客观存在），而不是由于这个判断是像十九世纪时的“原子存在” 这个判断那样，还缺乏更直接的、更充分的证据。换句话说，如果确证论整体主义是指，一个科学理论的所有的假设都有相同的地位，那么它可能是不合理的，因为有十九世纪时的“原子存在”这样的假设为例子。但是，否定这种简单化的确证论整体主义，不等于证明数学就是像十九世纪时的“原子存在”那样，是仅仅为方便而作的假设，而不是已经被充分地确证了的，及其自明的假设。因为，简单数学定理明显地不同于这些有用、但有些可疑的科学假设：科学家们对简单数学定理的接受是无保留的，它们直观上应该属于被最可靠地确证了的结论。所以，Maddy的对十九世纪时的“原子存在”那样的假设的分析，与数学实在论问题似乎是不相干的。 同样，Maddy对集合论专家接受集合论公理的标准的考察，也不足以说明对数学中论断的接受，是相对地独立于科学应用，及相对地独立于客观真理性的。数学家们也许是用独立于应用的数学的内在标准，来选择集合论中的那些“高级的”公理，比如选择某种大基数公理，或者选择拒绝可构成性公理（V=L）等等。但那些公理本身是与应用相对无关的公理。反之，我们似乎无法选择“2+2=4”，或其它普通数学中简单的数学定理。这些定理之为真，似乎不是我们应用所谓的“数学实践的内在标准”来选择的结果。它们是自明的，是我们不得不接受的。集合论中的那些“高级的”公理也许与普通数学中简单的数学定理有区别，但是，支持实在论信念的是后者的自明性与客观性。仅仅引用前者来回避后者是不够的。 这个问题与Parsons（1983）指出的不可或缺性论证中的一个问题是相似的，虽然Parsons是在质疑不可或缺性论证，而这里它反过来成为Maddy的对确证论整体主义的分析的问题。Parsons的想法可以这样来表达：假如需要在科学中的绝对不可或缺性，才能充分论证抽象数学对象存在，那么它意味着古代人就没有充分的证据相信简单的自然数1，2，3等存在。因为，古代人的数学极其简单，可以很容易地用Field那样的策略唯名论化，因此抽象数学对象对于古代人来说，不是真的不可或缺的。这是不可或缺性论证的难点之一。但是，它也说明，不论简单的自然数1，2，3是否存在，它应该与现代科学理论是否有充分证据确证它们存在无关。Maddy也接受这个结论，但是，假如不可或缺性论证可以以某种方式回应Parsons的问题，那么Maddy的分析就是无效的。比如，实在论者可能断言，只要承认了“桌子上的苹果的个数=3”是真的，而且接受这样的真理使得我们的计数活动成功，那么它就已经充分地确证了自然数3等是存在的，而不需要先进的现代科学来确证；因此，自然数的存在性，是早就被充分地确证了的，因而不同于那些能够带来正确的预测，但本身有些可疑的自然科学假设。 Maddy将数学对象与质点、理想气体那样的理想化的物理对象作比拟，这可能更触及到了问题的实质，但它还是不够的。因为，“2+2=4”，或者“存在大于2小于4的自然数”不是近似地为真的，也并非明显地是将具体存在的事物理想化的结果。还有，对于质点，我们会说“假设有一个质点，它的质量为…”，但是，我们不说“假设2是如此这般的一个自然数”，“假设2+2=4”，或“假设有一个大于2小于4的自然数”等等。这些判断的真理性似乎是绝对的，而非条件式的。另外，将连续时空模型用于模拟物理时空，确实不能确证连续时空模型是绝对精确地同构于物理时空的。对此，Burgess和Rosen只是提出，这不否定连续时空的数学模型本身是作为抽象对象存在的，而且关于它们的数学定理是精确地真的，虽然它们不与物理时空同构。其实，我们可以进一步指出，在直观上，连续时空模型确实是真实地，虽然是近似地同构于物理时空的。这也是用连续时空模型模拟物理时空之所以成功的原因。如果它们不近似地同构，用连续时空模型来模拟真实的物理时空，显然不可能成功。然后，我们可以问，假如抽象数学对象完全不存在的话，那么究竟什么东西是真实地，虽然是近似地同构于物理时空？本体论上绝对的“无”或“虚空”不会同构于任何存在的事物，哪怕是近似地同构。而这正是不可或缺性论证的部分直观基础，即一些数学对象至少在某种意义上是存在的，而且是真实地、虽然是近似地同构于物理对象的；而且，我们关于这些数学对象的定理本身，必须是精确地（而非近似地）真，否则，使用这些定理来作推理和计算，也就不能使我们的理论得到成功。 要应对这些实在论者的反驳，就要正面回答，像“2+2=4”这样的普通数学中的定理的自明性的基础是什么，我们为什么认为它们是客观的真理；还要回答，假如抽象数学对象不存在的话，数学定理的意义是什么，所谓的“连续时空模型近似地同构于物理时空”在什么意义上是真的，而且还是客观地真的；还要正面回答究竟什么使得数学应用可以成功。我们不能仅仅试图论证，数学应用的成功不确证数学的客观真理性。这就要回到前面提出的关于数学反实在论的基本原则（1）—（5）。 更具体地说，自然数是我们虚构出来用来计数的。真实存在着的是宇宙中的具体事物的数量性质与关系。我们虚构的自然数，可以与这些真实的具体事物的数量性质与关系相对应。更准确地说，我们想象自然数时采纳的判断，可翻译为关于具体事物的数量性质与关系的判断。比如，关于自然数2与4的判断“2+2=4”，可翻译为“2粒苹果再加2粒苹果是4粒苹果”，而这是关于具体事物的判断。这里应该注意到，“2粒”、“2斤”等等，是具体的物理对象的物理属性，而不直接指称作为抽象对象的自然数。（假如宇宙中只有有限数目的具体事物，有些关于自然数的判断就没有机会得到这种翻译，但它们依旧是我们为描述具体世界所编的故事的一部分。）“2+2=4”的自明性，一边是来源于我们想象自然数的目的，另一边是来源于宏观的、稳定的物体的数量属性与关系的规律性与自明性，也就是翻译以后的，关于具体事物的判断的自明性。因此，“2+2=4”不是脱离了应用的选择的结果，也不是随意的约定。就它的可应用性来说，确实是早已被充分确证了的。应该说，它是我们从关于具体事物的数量关系的真理中概括出来的。但这里，真正存在的，是我们大脑中概括具体事物的数量关系的内在表征，而不是某种外在的抽象事物。 我们的科学理论作为一系列心灵表征，既包含了那些直接对应于物理对象的内在表征，如关于原子、电子的内在表征，也包含了一些不直接对应于外部对象的内在表征，即想象虚构事物时产生的内在表征。这后一类内在表征包括数学概念与判断等。它们不直接对应于外部事物，但可以间接地翻译为关于外部事物的判断，就如“2+2=4”可翻译为“2粒苹果再加2粒苹果是4粒苹果”。它们其实更灵活，更具有一般性，也就是更抽象。但是，它们的语义或它们在应用上的意义，不应该从它们直接指称或直接对应于什么外部抽象对象或它们的事态去理解。因为，它们的作用，是在于概括与组织其它那些直接对应于外部事物的内在表征，就如“2+2=4”概括了“2粒苹果再加2粒苹果是4粒苹果”，“2粒橘子再加2粒橘子是4粒橘子”等等。它们的作用是在于以更间接，但更灵活、更具一般性的方式对应于外部事物。它们之在应用上有意义，是因为它们与直接表示具体外部事物的内在表征有结构上的相似性，或者因为它们可以翻译为关于具体外部事物的真判断，而不是因为它们本身真实地直接表示了某种客观的、抽象的外部对象。比如，说黎曼空间与具体的物理时空近似地同构，应该指的是，我们想象黎曼空间时产生的内在表征，与我们对真实的物理时空的内在表征有相似性，或者指的是，我们想象黎曼空间时产生的内在表征，可以翻译为对真实的物理时空的真判断。真正存在的是我们的内在表征，当然也包括我们协助大脑处理内在表征时用的笔、纸、计算机等等，而不是所谓的抽象对象。 这里我们必须指出，没有必要也不能断言，我们想象数学结构时产生的内在表征，直接表示了某种外在的、抽象的结构。因为，如果它们精确地表示了外部具体事物的结构，那么真正存在的就是外部具体事物的结构，而没有必要设置什么抽象的结构。反之，由于我们经验所及的外部世界总是有穷的，我们想象数学中的无穷结构时产生的内在表征，就不能直接地表示具体存在的外部事物的结构。这就回到前面所说的，要解释这种数学的可应用性，实质上就是要说明，数学中的无穷在应用中是可消除的。也就是说，我们想象数学中的无穷结构时产生的内在表征，可以翻译为关于有限的、真实存在的、具体的外部事物的真实判断。 这也说明，仅仅反驳不可或缺性论证中的前提（2）是不够的。要真正说明数学在科学中的应用，不确证抽象数学对象的客观存在性，我们也必须驳倒前提（1），即无穷数学的不可或缺性。Maddy没有明确回答一个数学命题的意义是什么，数学对象是否为虚构的，是什么使得“2+2=4”为自明的，以及无穷数学究竟是如何应用于有限的具体世界，数学命题字面意义上的真为什么不相干，等等。因此，一旦Burgess与Rosen将实在论当成数学家与科学家们天然地接受的观点，将数学本身看成自然科学的一部分，Maddy的对不可或缺性论证的反驳就不能说服Burgess与Rosen，而且她也不能应对Burgess与Rosen的这些断言。 反之，区分了两种类型的内在表征，以及认识到具体事物的有穷性后，我们就可以看出，即使假设抽象数学对象客观地存在，其实也无助于解释无穷数学对有限、具体事物的可应用性。因为，大脑应用数学的实际过程，仅仅依赖于我们的关于数学的内在表征，是否恰当地概括了其它那些直接对应于外部具体事物的内在表征；或者仅仅依赖于关于数学的内在表征，是否可以恰当地翻译为对外部具体事物的真实判断。即使假设这些关于数学的内在表征，直接表示某种外部的、独立于心灵的抽象事物，它也与这个实际过程无关。对于关于无穷的想象，要从逻辑上严格地解释它可应用于描述、模拟有限的事物，需要说明无穷原则上可消除。即使假设这种想象，真正对应于某种客观的、抽象的无穷对象，它也与实际的，由大脑活动实现的数学应用过程无关。这个才是所谓抽象数学对象与原子、电子等物理对象的实质性区别。原子、电子等，是构成我们的大脑与神经元的部分，是与我们的神经元、大脑、手等同处在时空之中、同处在因果网络之中的实体；而所谓的所谓抽象数学，是我们的大脑，对我们的一些内在表征，采取某种意向性态度，即意图使它们表示某种外部事物，或试图将它们投射到外部世界的结果。 另一方面，Burgess与Rosen没有对实在论的认识论难题作过正面的回应。他们仅仅强调，将抽象数学对象视为某种存在于另外一个宇宙中的、与我们没有任何可能的因果联系的物体，是一个不恰当的图景。但是，他们没有正面地、充分地解释，数学对象在什么意义上存在，对这些对象的认识如何可能，等等。在一些地方，他们诉诸卡尔纳普的关于语言框架的内在问题与外在问题的划分，而声称数学对象的存在，是由于我们接受了这个描述世界的语言框架的结果，数学对象是依语言的约定而存在的（Burgess 2004）。但是，他们没有讨论由此带来的数学对象与物理对象的本质差异，以及由此带来的数学真理与科学真理的本质差异。因为，物理对象不会仅仅是因语言约定而存在的。语言约定告诉我们什么应该算是外星人，但是外星人是否存在不会仅仅是语言约定的结果。其实，采纳一种语言框架上的约定，也就是采纳一种内在表征的基本结构形式。如果数学对象仅仅是依语言的约定而存在，那么这种“存在”，与其说是存在，不如说是由于相关的内在表征，与其它确实直接表示外部具体事物的内在表征有着相同的结构，而使得我们产生一种幻觉，认为它们也直接表示某种抽象的外部对象。由于我们的习惯，我们会对两类内在表征都抱有相同的意向性态度，即意图使它们表示某种对象。虽然对于与数学相关的内在表征，这种意图从来不曾成功过，但是这不影响数学的发展与应用。因为，如前所述，这些内在表征的真正功能，在于它们能够一般性地概括其它的内在表征，或者可以翻译为关于具体事物的真判断。相反，这种信念，这种将我们的想象投射到外部实在心态，还可能在历史上激发了创造性的数学研究（或数学想象），就像一种字面意义上虚假的宗教信仰，有可能激发有益的创造性活动一样。
3.3.2 对科学实践确证数学真理性的其它争议 除了Maddy与Burgess和Rosen之间的争议，还有其它一些学者，围绕数学在科学中的应用是否确证了数学本身的真理性这一问题，在持续争论着。以下我们将考察这些争论，并参照前面提出的数学唯名论原则（1）—（5）对它们作分析。 3.3.2.1 “对比经验论”、因果解释与确证 Sober（1993）是另一位较早质疑不可或缺性论证中的确证论整体主义的学者。Sober是从他的所谓“对比经验论（Contrastive Empiricism）”确证理论出发，来质疑科学能够确证数学真理。对比经验论的基本思想是，一个观察O对假说的支持总是对比式的，即对两个假说H1与H2，如果似然度P(O|H1)> P(O|H2)，那么观察O支持假说H1而反对假说H2；不存在观察对一个单独的假说自身的支持。但在科学中，数学是用于所有的理论的，包括那些被观察否定了的理论，因此观察不支持数学理论。比如，假设M是数学理论，而且P(O|M&H1)> P(O|M&H2)，那么观察O支持假说H1但对于M是中立的。 Sober的对比经验论有它本身的问题，这里不能作深入的讨论（参见Colyvan1999b）。但是，就数学来说，Sober的基本根据是，当一个科学理论与经验冲突时，我们一般不去修改其中用到的数学理论。对这一点，蒯因的整体主义当然有它自己的解释，即我们一般对理论作局部的、尽量少的修改，而修改数学意味着影响所有科学理论。Colyvan（1999b）对Sober的批评实际上是说，Sober并没有提供反对整体主义的直接证据，仅仅是以他自己的对比经验论为前提，而他的对比经验论又有自身的问题，所以Sober的对不可或缺性论证的反驳是无力的。我们也认为Sober的反驳是无力的，但其根本缺陷是，他没有对数学究竟是如何用在科学中作更深入、细致的分析，因此他不能说明，数学为什么在科学应用中不能像普通科学假说一样得到经验证据的支持。这一点将在下面一小节继续讨论。 Vineberg（1996）则考察了另一种有别于整体主义的确证理论，它强调经验证据对不可观察事物的确证是通过因果联系实现的。既然抽象对象与经验对象之间没有因果联系，经验不确证关于抽象对象的真理。这种策略的问题与Sober的策略相似。它是基于一种特别的确证理论。实在论者尽可以反驳说，这恰恰说明因果确证理论是不够的，既然它不能说明我们如何获得数学知识。直观上我们似乎确实有着关于抽象数学对象的知识。不正面地解释这种知识究竟是什么，不正面地解释数学知识究竟为什么能够被应用于科学中，得到关于具体事物的真理，仅仅试图否定整体主义，等于否定了一种至少表面上可行的解释，而没有提出任何可行的替代物。 3.3.2.2 数学工具主义 不少具有反实在论倾向的学者，以各种方式持有数学只是有用的工具，而不表达关于外部事物的真理的观点。但是，工具主义不应该只是一个空洞的遁词。要替工具主义作辩护，就要切实地指出，究竟什么东西是在被用作工具，这些工具本身遵循哪些自然规律，以及这些工具的工作原理是什么。电脑是一种工具，但电脑是真实地存在着的具体事物，而且作为一种工具，电脑的工作原理有着科学的、字面意义上真的、以具体事物的客观规律性为基础的解释。如果数学也是一种工具，而数学对象不存在，数学定理在字面意义上是假的，那么数学工具主义者就应该解释，究竟什么真实存在的东西在数学应用中被用来作为工具，这些工具的真实的工作原理是什么。到目前为止，这些学者还没有对这些方面作分析，因此，数学工具主义的观点，就成为仅仅是为了回避数学实在论的认识论难题，而作的观点上的退让。也就是说，既然如何获得对抽象数学对象的知识无法得到解释，那么我们就退一步，声称我们没有这种真知识，而数学仅仅是唯名论上恰当的，即它帮助推导出的关于具体事物的结论是字面意义上真的。这与范·弗拉森的构造经验论科学哲学相似。构造经验论认为，关于不可观察的事物的科学假设仅仅是经验上恰当的。然而，范·弗拉森可以声称，科学解释有限度，而且以可观察性为限度，而拒绝承认我们需要进一步解释，为什么关于不可观察的物理对象的假设是经验上恰当的。但是，数学这种工具的可应用性，似乎不涉及不可观察的事物。除非数学工具主义者也尝试论证，数学工具的可应用性不需要进一步解释，否则，数学工具主义的观点的内在一致性，就成为问题。数学实在论者恰恰是认为，数学的可应用性蕴涵着数学必须至少在某种恰当的意义上是真的。就如弗雷格的为人所熟知的格言“应用使得算术从游戏上升为科学”。因此，仅仅声称数学是工具是不够的。Field的方案曾经是要具体地解释经典数学的可应用性，即对唯名论物理的保守性，但是我们前面已经分析了Field的方案的一些实质性问题。最近些年来赞同工具主义解释的学者，不再假设类似于Field的方案的策略可以成功，但他们似乎忘记了，没有类似于Field的方案的对数学的保守性的解释，数学工具主义，就仅仅是一个武断的结论。 当然，前面提到的数学唯名论原则（1）—（5）蕴涵着，真正被用作工具的是数学家与科学家们的大脑及他们的大脑中的内在表征。这当然是宇宙间最复杂的工具。解释这种工具的可应用性，也就是要解释，数学家与科学家们在想象数学对象时在大脑中创造的内在表征，尤其是表面上表示所谓无穷的数学对象的内在表征，如何在数学应用中与外部具体事物相联系，如何转换为关于外部具体事物的真判断。证明无穷与抽象对象在应用中是原则上可消除的，证明无穷数学相对于某个唯名论科学理论是保守的，也就是在说明这个转换的过程，因为关于外部具体事物的真判断，都是关于有限事物的真判断。这也就是解释了这些工具是如何有效地工作的。 下面我们要更具体地分析最近些年来持有数学工具主义倾向的一些学者对不可或缺性论证的质疑，指出他们的不足。 Leng（2002）提出，虽然Maddy已经有力地质疑了科学实践对数学真理性的确证，但是Maddy没有正面解释为什么科学确证不能达到数学。对此，Leng支持“数学是用来做模型的”这样一种对数学应用的解释。许多科学家似乎是一直持有类似观点的。当一个数学模型被成功地用来模拟某一类自然现象时，被经验确证的是“这个模型可以模拟这一类现象”这种论断，而不是我们的关于模型本身的论断。反之，假如一个数学模型应用失败了，它否定的也是这样的“可应用性”论断，而这个模型本身还可能在其它地方得到应用。因此，数学的应用不确证或否证数学本身。Peressini（1999，1999a）表达了类似的想法。Peressini将纯数学与应用中被解释了的数学分开，后者其实是关于物理对象的判断，而前者是关于抽象对象的判断。Peressini认为，科学只确证了前者的经验恰当性，而不能确证它们的真理性。Pincock（2004）也是采用类似的想法说明数学的应用。 我们相信这种描述是正确的，但是还不够。前面提到，实在论的信念是基于这样一种直观的思想，一个数学模型本身必须至少在某种意义上存在，而且必须与真实的物理对象有真实的相似性，才能被用来模拟物理实在。一个数学模型的可应用性，也一定有一些客观的事实为基础。不说明这种客观基础是什么，简单地断言数学模型是不存在的，断言关于数学模型的判断在字面意义上是假的，留下太多让人困惑的问题，而且不能解释不存在的数学模型式究竟如何地被应用的，也不能澄清这种导致实在论信念的思想。比如，实在论者可以声称，只要一种数学理论在一个地方可以成功应用，这就确证了该理论，虽然在其它一些地方应用不成功并不否证该理论。电脑可用来作模型，而如果用电脑模拟一些现象能够成功，我们关于存在于电脑内部的数据与程序的论断，应该字面意义上是真的，虽然模拟的失败不一定蕴涵我们的关于数据与程序的论断是假的。而且，不论模拟成功与否，电脑本身都必须真实存在。要应对这一类实在论者的反驳，要消除导致实在论信念的根源，就要以实在论的方式，来描述与解释，在数学应用中，究竟什么是真实的工具，究竟什么是这些真实的工具的工作原理。Pincock用物理对象到数学对象的保持结构的映射来解释可应用性。可是，如果数学对象就是不存在，那么根本就没有这样的映射，也无从解释可应用性。显然，如果外部的抽象数学对象不存在，那么真正作为工具的就只能是数学家与科学家们的大脑，以及他们大脑中的数学概念，相关的内在表征等等。要做到这一点，就要回到前面所提到的唯名论原则（1）—（5）。 Melia（2000）提出，科学家们在用数学语言表达科学理论时是断定了抽象数学对象存在，但是，科学家们可以回头再“收回”先前所断定的东西，否认抽象数学对象真正地存在。Melia认为这并不蕴涵着不一致，或普特南所说的“知性上的不诚实（intellectual dishonesty）”。比如，为了描述二维黎曼空间，我们可以将它嵌入到三维欧氏空间中。取三维欧氏空间中的一个点p0，描述以p0为中心的一个球面，然后导出球面上的点之间的在球面上的度量，也就是黎曼度量。由此就得到一个黎曼空间。回头我们可以说我们并不假设点p0及其它三维欧氏空间中的点真正存在。他们只是为了方便地描述这个二维黎曼曲面而被提及的。 但是，这种策略不能说服实在论者。对于实在论者来说，没有理由说明为什么科学家们有必要“收回”先前所作的关于数学对象的论断。实在论者认为，唯名论者是基于他们的哲学上的唯名论偏见，即认为抽象对象不可能存在，才认为科学家们有必要“收回”关于抽象对象的判断。但是，实在论者相信，科学家的判断高于哲学家的判断。哲学家们应该做的是理解与解释科学家们的判断，而不是要求科学家们“收回”他们的部分与所谓的哲学原理不符合的判断。更进一步，实在论者可以声称，既然所说的二维黎曼曲面可以嵌入到三维欧氏空间中，三维欧氏空间就应该是至少在某种意义上是存在的，因为不能将存在着的二维黎曼曲面嵌入到形而上学上的绝对“虚无”中去。如果三维欧氏空间就是不存在，那么存在着的二维黎曼曲面嵌入到什么东西中去了？关于三维欧氏空间中的点的判断也应该是有意义的，有真理性的。比如，三维欧氏空间中处于那个球面内部的点到点p0的距离，应该是小于球面外部的点到点p0的距离。这应该是字面意义上真的。如果所有这样的论断都无意义，或都是假的（或空洞地真的），那么我们也不可能借此描述二维黎曼曲面。显然，要应对实在论者的这一类诘难，就必须解释关于虚构事物的论断如何有意义，如何获得意义，如何应用于真实事物等等。还有，Melia不认为数学相对于某种唯名论的科学理论是保守的。这实际上意味着，我们将无法说明为什么数学是唯名论上恰当的。如前所述，这种“神秘主义的”工具主义观点是有严重缺陷的。这些都意味着我们必须回到前面提到的唯名论原则（1）—（5），对其中相关的问题作正面的回答。 Hoffman（2004）也采纳了数学对象是虚构对象这种说法。为了说明谈论虚构事物的语句如何有意义，她采用了研究文学作品中的虚构人物的本体论问题的学者的一些观点。其要点是，谈论虚构事物的语句应该理解为一种在假装（pretence）意义上的语言行为，即参与言谈的各方共同地假装某物存在，或假装某物为其它一些事物。比如，在儿童游戏中，儿童们假装一个沙发是一座大山等等。这种解释接触到了虚构事物不必存在，谈论虚构事物的语境也可以有意义这一点，但还不够。当虚构的数学对象被用来模拟真实事物时，虚构对象与真实事物之间的相似性，必须在某种意义上是客观的、真实的，而不是假装的。科学家们不能象儿童做游戏一样假装某物为某物，否则它门为什么不假装更简单的欧氏空间近似地同构于物理时空？因此，反实在论者必须解释其中的客观真理性来源于何处。要做到这一点，同样要回到前面提到的唯名论原则（1）—（5）。尤其是要解释我们应用虚构的无穷数学模型模拟外部事物时时，我们所接受的判断是如何转换为关于外部有限事物的客观的真判断。 最后，实在论信念的一个重要来源是，数学家们似乎是从字面意义上理解数学判断的，而且相信它们的客观性，而不是将它们当成故事。Burgess（2004a，2004b）强调了这一点，认为数学家们的判断应当高于哲学家的判断，哲学家没有任何理由对数学家们的工作说三道四。作为回应，Leng（2005b）声称，虽然哲学家们是在断言，数学家们在肯定抽象数学对象存在这一点上错了，但是哲学家们可以解释，为什么尽管数学家们这一点上错了，数学还是有用的，而且哲学家们并不是在要求数学家们放弃或修改他们的实践，也不与数学家们的一般信念相冲突。 这个回应也是部分地正确但不充分。首先，如前所述，要真正解释数学为什么有用，反实在论者应该正面地、以实在论的方式解释，如果抽象数学对象不存在，那么究竟是哪些存在着的东西，以及哪些关于存在着东西的客观规律性，使得数学作为一种工具可以成功地应用在科学中。如果哲学家门仅仅断言数学家们错了，没有同时对数学的可应用性作实在论式的解释，而仅仅是用“经验恰当性”或“唯名论恰当性”一语带过，仅仅是给数学的可应用性起了另外一个名字，那么他们当然不能够说服实在论者。 另一方面，坚持反实在论的数学哲学，并非对数学实践不产生任何影响。考虑一下无穷的实在性问题。如果数学家们都相信实无穷是客观的，相信关于自然数的判断都有客观真理性，而唯名论者们相反，那么他们就不可避免地要与普通数学家们的一些信念相冲突。否定无穷的实在性，意味着断言，关于自然数的全称命题没有直接的客观真理性基础，即使是将它们理解为关于任何w-序列的判断。前面已提到，既然自然数是想象出来计数的，像“2+2=4”这样的简单命题，它的自明性，是来源于将其应用于计数时翻译所得的，关于稳定的宏观物体的数量属性的判断的自明性。这可以认为是“2+2=4”的客观基础。也就是说，如果约定了自然数就是用来表达与计算稳定的宏观物体的数量属性的，那么“2+2=4”就有客观的真理基础。就好比假如编一个故事的目的，是明确地为了准确地描述某种人类行为或性格特征，那么故事中的某些判断，就不得不有客观的基础。但是，对于概括所有自然数的全称命题，它们不能直接地、保持命题逻辑结构地翻译成关于具体事物的判断，就像将“2+2=4”翻译成“2粒苹果再加2粒苹果是4粒苹果”那样，因为可能总共只有有限个具体事物。因此，这样的命题就不能直接地以关于稳定的宏观物体的数量属性的客观事实，为客观基础。Field（1998）就是为了拯救关于自然数的全称命题的客观性，而假设时空是无穷的。但我们已经指出，这实际上是接受了实在论，而且它也面临着实在论的认识论难题。从唯名论者的角度看，接受一个关于自然数的全称命题的客观基础，至多只能从一个全称命题是一些单称命题的最直接的推广这样一些角度来说明。比如，我们接受2+0=0+2，2+1=1+2，2+2=2+2，2+3=3+2，等等。由此我们接受"x(2+x=x+2)作为它们的最自然的推广。但是应该注意到，我们也曾经是这样接受欧氏几何的，即将我们从局部的真实空间中观察到的空间性质推广到无穷，而认为这必然也是真实的物理空间在整体上的性质。因此这种直接的推广不一定能以宇宙中真实存在的事物为其客观性基础。而且，这种“最自然的推广”，不足以唯一确定数学真理，因为很可能不存在这种“最自然的推广”。这与普通数学家相信任何一个关于自然数的判断客观地非真即假是相冲突的。 认识到这一点，我们就应该意识到，唯名论或反实在论的数学哲学，还是会与一些普通数学家的信念冲突的。有些冲突可能仅仅是表面上的，不带来实质性的影响。但是有些冲突是有可能给数学实践带来影响的。比如，假如无穷不是实在的，而且无穷在现实中的应用应当原则上可消除，那么一些数学研究，尤其是集合论中的一些研究，就有可能仅仅是思想游戏。还有，这种对数学的理解，也提示我们去探索另外一些形式的数学。既然今天数学中的无穷只是虚构的，是用来简化对有限事物的描述，那么一方面，我们可以尝试虚构其它的东西，只要它们也能简化对有限事物的描述，另一方面，我们也可以尝试不用无穷，而借助于计算机，以更直接的、有穷的方式表达科学理论，等等。 回到Leng对Burgess的关于哲学家不应该对数学家的研究说三道四的回应。今天的数学反实在论者都乐于强调，数学反实在论仅仅是对数学的哲学解释，与数学家和科学家们的信念不冲突，也不否定任何现有的数学实践，或者对数学实践提不同的建议。虽然许多人不赞同蒯因的一些观点，但蒯因的科学绝对地高于哲学的“自然主义”思想，还是被哲学家们普遍地接受。我们认为，其实要点不在于科学是否绝对地高于哲学；要点是在于，当我们对问题进行分析时，必须以充分的数学与科学知识为基础，必须用科学的态度与方法，必须用与一般的数学、科学概念一样清晰的概念，等等，而不是以某种偏见为出发点，尤其是基于无知的偏见，或者搬弄一些模糊不清的哲学概念。关于数学中的无穷在数学应用中的地位，以及由此派生出的反实在论数学哲学观点，是基于对数学应用的方式作更仔细的逻辑分析，基于对被应用的物理世界的有限性的认知，也是基于一些有穷主义数学方面的技术性的成果（参见Ye 2000）。它不是基于像“抽象事物不可能存在”这样的模糊的哲学教条。对这些分析的评判，应该完全采用科学的标准。哲学并非从未影响科学。马赫对绝对时空的分析，被认为是影响了爱因斯坦。哲学分析当然不能替代科学。哲学分析所能达到的，也许就是消除一些由于习惯而导致的教条或偏见，开放人们的思路，启发新的探索。在这一点上，反实在论也许是有意义的。 3.3.2.3 数学的实用上的不可或缺性与确证 目前对前面提到的数学工具主义的批评，主要有Colyvan（1998，1999a, 2002）与Baker（2001, 2005）。他们对怎样才是“不可或缺”作了更细致的分析。Colyvan（1998，1999a）提出，一个实体在一个理论中是可消除的（即不是不可或缺的），假如可以修改这个理论，使得它不指称这个实体，而且修改后的理论是比旧理论更优的理论，而更优的条件，不仅仅包括能够推导出相同的或更多的经验论断，还包括其它一系列理论的实用上的特征，比如简单性，解释与整合能力，对新现象、新领域的可延拓性等等。Baker（2001）同样强调，数学不仅仅被用来验证从某些前提可以推导出一个已知的结论，还被用来发现新的结论。这本来是针对Field式的唯名论数学的，它想说明，即使唯名论数学可以发展起来，用它构造的科学理论也更劣于用经典数学表达的科学理论，因此不能证明抽象数学对象是可消除的。但是，真正要点当然是，这种实用上的不可或缺性，是否足以确证数学的真理性。因此，这实际上还是一个确证论问题。 Colyvan与Baker用一些例子来说明数学的这些作用。Colyvan的例子包括，复数的引入，使得两个实系数微分方程可以被看成一个复系数微分方程的实部与虚部，由此得到统一；由狄拉克方程预测到正电子；洛仑兹变换方程在相对论中被保留下来，等等。第一个例子被用来说明数学的整合作用，其它的例子被用来说明数学理论的对新现象、新领域的可延拓性。 Baker（2001）讨论了四元数的历史，从最早被发明、被认为有助于表达一些物理理论，到它让位于“向量”概念而被忘记，到最近被重新提出来作为表达基础物理理论的语言。Baker还讨论了无穷小量在十七、十八世纪被应用，而后被放弃，而后在非标准分析中被重新表述、发展的历史。前一个例子是用来说明，四元数可能最终是不可或缺的，虽然在历史上它曾经被抛弃过。后一例子是用来说明，在十八世纪，虽然数学家们已经认识到，运用无穷小量作的计算与推理，可以用几何的方法更严格地表述，但是，数学家还是随意地应用无穷小量，因为应用无穷小量可以更容易地发现一些新的数学结果。这是用来说明，数学的用处不仅仅是在于演绎推理，还在于发现新结论。在最新的文章（Baker 2005）中，Baker讨论了生物学家对一种蝉的睡眠周期的解释。生物学家发现，有一种蝉是睡眠数年后才起来重新活动、交配，然后又继续睡眠数年。一个有趣的现象是，连续睡眠的年数总是一个素数，比如7年、11年、13年等等。一种解释是，这是为了避免与其它的有类似的活动周期习性的天敌，不断重复地在同一年醒来活动。比如，假如这种蝉的睡眠周期是12年，那么它们就很可能与某种睡眠周期为2、3、4、6、8、9等等年数的天敌，在短时间内重复地相遇，因为12与这些数的最小公倍数比较小。比如，如12与8的公倍数是24，因此，一旦这种蝉与一种睡眠周期为8年的天敌相遇，每24年，即两个周期，它们又要相遇。而如果这种蝉的睡眠周期为11年，一次相遇后则要过11×8=88年才能再次相遇。这是因为一个素数11与其它数的最小公倍数更可能是大的数。Baker认为，这是对物理现象的数学解释的例子。他想以此说明，数学不仅仅是帮助推理的工具，而是具有真正的解释能力。 但是，这些例子都不足以说明数学对象是客观存在的，或数学判断是关于某些抽象对象的客观真理。首先，如果一部分经典学可以唯名论化，那么唯名论化后的数学看起来与普通数学没有什么差别。普通数学中有复数、四元数，唯名论化后的数学同样有这些东西，只不过它们不再是抽象对象，而是像Field的方案中的时空中的点或区域，或者像有穷主义数学中的可以在计算机上实现的有限符号、程序等（Ye 2000）。甚至数学方程陈述起来也与普通数学中的相似。因此没有理由说唯名论数学就不能被同样地应用，有同样的整合效力，帮助新发现的功能，等等。在表述上，唯名论数学可能要繁琐些，但这不是实质性的，因为我们总可以不断地引进简化的记号，简化的表达方式等等。事实上，在唯名论者看来，经典数学就是这样不断地引进简化的记号与表达方式的结果。因此，最终问题还是这些抽象对象，尤其是无穷，能否原则上被消除。 其次，这些例子都不排除将数学对象看作是用来做模型的那种对数学应用的解释。Colyvan（2006a）在回应Leng（2002）接受的这种解释时声称，数学的这些整合、发现等等功用，说明数学不仅仅是用来模拟外部事物，但他没论证为什么。事实上，模拟外部事物本身就包含着整合，协助发现等等。如果一个模型可以模拟表面上不同类的事物，这就是模型的整合作用；如果一个模型可以在意想不到的地方得到应用，这就是模型的可延拓性。利用模型来预测事物的发展，更是模型的最主要作用之一。要点是，一个模型可以是像一个电脑那样，是一个实际存在的事物，也可以是我们头脑里想象的。对于后者，真正存在的是我们的大脑，而不是那个被想象出来做模型的虚构事物。同时，如果一个模型能够成功地模拟某些外部事物，预测某些外部现象，真正解释这些现象的不是模型本身的存在性，或我们关于模型的论断的客观真理性，即使这个模型是事实上存在的。比如，用电脑来模拟大气运动而预测有台风。真正能够解释台风的形成的，不是电脑的存在性，或者我们关于电脑中的模拟程序的论断的正确性，而是那些将关于电脑中的数据的论断翻译成关于大气运动的论断后所得的论断的正确性。同样，如果一个人的大脑可以做所有在电脑中作的那些计算，因此不需要电脑就完成了这个模拟台风形成的工作，那么显然，这个人在作计算时所想象的实数是否真正存在也是不相干的。如果一个模型能够整合不同类现象，或者能够预测新现象，那是由于不同类现象之间的联系，或者由于现象自身的规律性，而不是由于模型的客观存在性。 就Baker所举的蝉的睡眠周期的例子来说，真正起解释作用的不是作为抽象对象的自然数的属性，而是睡眠周期这种物理量的属性及其它们之间的关系，即两种具有不同长度周期的周期性现象，在多长时间能够再次同时发生，这种物理现象之间的特征。也就是说，不是作为抽象对象的自然数11的什么性质解释了蝉的睡眠周期，而是“11年”这个真实的物理量不能被等分为更小年数这个物理特征，解释了为什么蝉的睡眠周期是11年。这种特征可以被抽象、概括为一种一般性的形式，然后用自然数来表达，但真正存在的是这些物理现象本身。自然数模型是虚构出来作一般性的概括的。它与一本医学教科书用一个虚构的病人的病例来概括某种疾病的症状并无区别。因此，Colyvan与Baker的这些例子，都不足以说明，抽象数学对象的这种实用上的不可或缺性，蕴含着它们的存在性。
3.4 前提（3）、（4）：本体论承诺原则与蒯因的自然主义
另一个反驳不可或缺性论证的策略是否认蒯因的本体论承诺原则。Azzouni（1998）提出，可以区分“存在原则”与“本体论承诺原则”。存在原则断言，只有某些事物才能真正存在，比如，只有具体事物才能存在，或只有有因果效力的事物才能存在，等等；本体论承诺原则则说明，如何识别一个理论承诺了什么东西存在。蒯因当然是认为只有后者才有意义，而且他提出了“一个理论的本体论承诺就是它的一阶变元的值，或一阶量词所概括的范围”这一原则。但是，Azzouni指出，蒯因没有说明为什么应该接受这个本体论承诺原则。蒯因仅仅认为它似乎是自明的，因为存在量词就是指存在。然而，事实上，在日常语言中，我们一般地并不接受这样的原则。更一般的做法是使用“虚构的”与“真实的”这样的谓词，而一个理论的真正的本体论承诺，是这个理论断定为真实而非虚构的东西。比如，我们会说“福尔摩斯有一个朋友是医生”，即“存在一个x，x是福尔摩斯的朋友，而且x是一个医生”。这并不意味着我们承诺了有这么一个人真正地存在，因为他是虚构的，而不是真实的。 蒯因的想法是，在接受了“本体论承诺就是变元的值”这个原则之后，我们可以用“奥卡姆剃刀”原则来尽可能地改写我们的理论，以减少不必要的本体论承诺。因此，我们不必承诺福尔摩斯或他的朋友，因为指称他们不是科学理论所必不可缺的，但是，我们必须承诺抽象数学对象，因为它们是不可或缺的。然而，如果我们接受的是“一个理论的本体论承诺，就是这个理论断定为真实而非虚构的东西”这样一个本体论承诺原则，那么我们可同样用“奥卡姆剃刀”原则来尽可能地减少不必要的本体论承诺，即尽可能地将一些东西归类为虚构的非真实的，而结果很可能是“只有存在于时空中的具体对象才是真实而非虚构的”。这一方面说明，“奥卡姆剃刀”原则不能用来确定本体论承诺原则，相反，它是在接受了一种本体论承诺原则后才起作用的；另一方面它说明，接受了不同的本体论承诺原则将会导致反实在论的结论。 Azzouni的结论是，本体论承诺原则是哲学上不确定的，没有什么依据能使我们选择唯一正确的本体论承诺原则。而且，如果我们先接受了一种存在原则，我们可以选择相应的本体论承诺原则，以使得科学理论与我们的存在原则相符合。比如，如果我们接受了“只有存在于时空中的东西才能真正存在”这样一个存在原则，我们可以将“真实的”解释为“存在于时空中的”，而采纳“一个理论的本体论承诺，就是这个理论断定为真实而非虚构的东西”这样一个本体论承诺原则。这样，科学理论完全符合我们的存在原则与本体论承诺原则，虽然科学理论中的变元可以以“虚构的”东西为值。 同时，Azzouni认为，存在原则也是哲学上不确定的。由于本体论承诺原则的不确定性，一个很自然的想法是，也许我们可以独立地确定存在原则。这种想法显然与蒯因的自然主义原则相悖，它似乎是将形而上学置于科学之上。在这一点上， Azzouni同意蒯因。另外，Azzouni还考察了两种可能的优先确定存在原则的方法并拒绝了它们。其中第二种方法是依赖本体论直觉来判断存在原则。Azzouni拒绝它的理由是，这种直觉常常就是偏见，而且本体论中的争论，包括数学实在论与反实在论的争论，本身就是互相冲突的直觉的结果。比如，物理学家与数学家对抽象数学对象的客观性，就可能有互相冲突的直觉。物理学家可能更倾向于认为，数学只是一种语言，一种形式化方式，并不表达关于客观实在的真理；而数学家们可能更愿意相信数学实在论。 我们认为Azzouni的分析是部分地合理的，但是我们不一定要接受Azzouni的最终结论，尤其是关于存在原则的不确定性的结论。由于不同的科学家群体有着不同的经验，不同的科学家之间有互相冲突的直觉是正常的，也是有可能解决的，而这也就是哲学家的任务。比如，如果我们能够从物理学家与数学家们可以共同接受的常识性的事实出发，分析他们之间的差异产生的原因，说明对于数学实在论的直觉有可能包含了一些由于语言的习惯、思维的习惯等等而导致的幻觉，或者说明数学实在论的信念包含着内在地不一致的地方，如果我们同时又能够说明对于数学实在论的直觉的合理之处，以及它们实际上并不蕴涵数学实在论，那么，这就有可能提出一种能够让数学家也接受的对反实在论的辩护。这并不意味着将哲学原则置于科学之上。哲学只不过是不同类型的科学思想与经验的综合，只不过试图在科学内部消除互相冲突的直觉带来的困惑。 我们认为，要做到这一点，很重要的一点是，要认识到蒯因的自然主义的两个严重问题，这也意味着要同时拒绝不可或缺性论证中的前提（4）。第一个问题是，蒯因的自然主义不是彻底的自然主义。蒯因声称他拒绝笛卡尔的第一哲学，但是，蒯因实际上依旧是将心灵视为脱离自然、与自然对立的东西。在蒯因的图景中，心灵似乎与某个实在的世界相对立，试图把握实在，确定什么对象在实在中存在。在这个图景中，语言被看成心灵指向实在的工具，同时语言也将心灵与实在分割开，心灵为一阶语言的变元与量词设置指称，成为被心灵接受为存在的事物。“自然主义”仅仅意味着，笛卡尔式的内省不是心灵认识实在的主要手段，相反，用语言表达的科学理论，以及对理论的经验验证，是更好的手段。由于我们使用的语言中包含一些变元和量词，它们不是指称或概括时空中的物质对象，因此蒯因认为心灵也设置抽象对象，作为这些变元和量词的指称。在蒯因的这个图景中，语言成为一种奇特的东西，既不是心灵的，也不是属于客观实在的，而是两者之间的媒介。而且，心灵似乎同时面对着两种不同类型的实在，物质的实在与抽象的实在。 然而，这是与科学对心灵的理解不同的。在科学的图景中，心灵是大脑神经元的功能，是自然事物的一部分。语言本身也是自然现象，而且仅仅在最近才在进化历史中出现。具体的语词（tokens）作为声波或视觉形象模式，与其它石头、树木等自然事物并没有实质性的差异。语义关系或指称关系，首先是由大脑神经元实现的大脑中的内在表征，与它们所表示的外部具体事物之间的某种特殊的自然关系，其次是作为声波或视觉形象模式的语词，通过大脑，与其它外部具体事物之间的某种特殊的自然关系，总之都是自然事物之间的自然关系。在这样一个图景中，我们不会去问心灵如何为一阶语言的变元与量词设置指称。我们要描述的是，石头、树木等自然事物如何刺激大脑，在大脑中留下记忆，即产生大脑中直接表示石头、树木等的内在表征；同时，作为语词的声波或视觉形象模式如何刺激大脑，在大脑中留下记忆，即产生大脑中直接表示这些声波或视觉形象模式等的内在表征；然后两者在大脑的记忆中如何相联系，而使得语词也表示外部事物，等等。换句话说，语词与事物的联系是通过“树木”这个词的声波模式——对这个声波模式的记忆即内在表征——对树木的内在表征（又称“树木”这个词所表达的内在表征）——外部的具体的树木，这样一个链条来实现的。 在这样一个图景中，我们不会问大脑中不直接表示外部具体事物的内在表征，是否会表示外部实在中的某种“抽象实体”。如果一些内在表征不直接地与石头、树木等外部具体事物相联系，或者说不直接表示外部具体事物，那么它们一定是通过与其它能够直接表示外部具体事物的内在表征，来与外部事物相关联。它们的功能，自然在于它们对其它能够直接表示外部事物的内在表征的影响。比如，数词“3”在记忆中所表达的内在表征，不直接表示外部事物，但是，它可以与量词“棵”所表达的内在表征，以及名词“树” 所表达的内在表征相结合，构成直接表示外部事物的“3棵树”。由此，数词“3”所表达的内在表征，也间接地于外部具体事物相关联。断言“3” 所表达的内在表征直接表示了某个抽象实体，就像“树木” 所表达的内在表征直接表示外部具体的树木那样，并无助于解释与描述大脑中的“3” 所表达的内在表征的实际功能。只有当我们接受了蒯因式的图景，将心灵视为自然之外的，与自然对立的东西，然后设想心灵试图将语言中的词项投射到心灵之外的实在中去，只有在这样的图景中，我们才会去问，词项“3”是否也表示某种抽象事物。如果我们采纳的是彻底的自然主义的图景，那么问题仅仅是，与“3”相对应的大脑中的由神经元实现的内在表征，如何在大脑中工作，如何影响其它神经元，以及它们最终如何控制眼睛、手的肌肉等等。 蒯因的自然主义的第二个问题是，它声称科学家们是在提出与确证本体论论断，因此本体论可以自然化，本体论问题应该由科学回答。这也来源于蒯因的图景中的心灵与外部实在的对立。它将心灵置于自然世界之外，而且假设心灵除了面对一个物质世界之外，还可能同时面对一个非物质的、抽象的实在。似乎一开始心灵不知外部实在中有任何实体，然后，根据心灵用语言构造理论来解释经验的需要，一步步地设置外部实在中必须存在的实体，作为语言中的词项的指称。由于科学语言中的一些词项，即数学词项，不指称时空之内的实体，因此它得出结论，心灵必须设置某些抽象实体。这里，蒯因将抽象实体与原子、电子那样的物理实体相比拟，认为科学家们是在本体论的意义上设置原子、电子那样的物理实体，因此，他们也一样地设置抽象数学实体。 然而，事实是，科学家们并不作本体论上的论断。作为基因遗传的结果，大脑直接地控制眼睛、手等等去注视或触及空间中的事物，大脑也直接将观察过的事件按时间顺序保留在记忆中。从这个意义上说，大脑直接预设了时空作为存在物的容器。而且，时空是被存在物充满的，即这个存在着的宇宙。这里我们应该注意一下，物理上的真空还是本体论上的存在物，与形而上学上的虚无是不同的。科学家们研究的是这个存在着的宇宙，包括其中的物理真空。当科学家们称水是由原子组成时，他们不是在形而上的虚空中设置一些实体，他们只是在描述他们预设存在的时空中的事物。他们是在提出，水的微小部分不是由连续的物质构成，而是由物理真空以及其中的微小粒子构成。如果他们不“设置”原子，他们实际上就是在“设置”连续的物质作为水的微小部分。因此，科学家们并不是在蒯因的意义上设置什么事物，他们并不是在存在与形而上的虚无之间作选择，而断言了存在。科学家们的具体结论不是本体论上的论断。相反，他们在从事科学研究之前就已经接受了一个本体论预设，即这个宇宙与它的部分存在，然后他们是在描述预设为存在的东西。所以，科学家断言原子存在与哲学家断言抽象事物存在之间没有可比性。灵长目或其它动物包括人类的大脑并不预设一个抽象的世界存在。至多我们可以说，是部分哲学家或数学家发现了另外一个抽象的世界。但是，假如科学家们并没有在形而上的意义上发现新的存在物，假如他们在具体工作中并没有去确证任何本体论判断，本体论自然化就没有切实的例子，有的只是部分哲学家或数学家们在断定抽象事物存在。 对抽象事物存在的信念恰来源于蒯因图景中的这两个问题。将心灵视为处于自然事物之外，才使得似乎心灵是面对着两种不同类型的实体，物质的实体与抽象的实体；将语言视为超自然的心灵与实在之间的媒介，才使得我们去问一些词项是否指称实在中的抽象事物，才有了蒯因的本体论承诺原则。同时，忽视科学家们在从事科学研究之前就预设了整个宇宙的存在，而将科学论断混同于本体论论断，才使得蒯因将抽象实体与电子、原子等物理粒子相比拟，从而认为科学可以确证抽象事物存在，也才有了确证论整体主义。即使拒绝蒯因的本体论承诺原则与确证论整体主义的具体结论，一旦接受了蒯因的图景，也很难回避实在论的结论。因为，一个超自然的、非物质的心灵，似乎确实是面对着一个与物质世界并列的抽象世界。反之，唯名论是与更彻底的自然主义世界观相符合的。如果关心的不是一个超自然的心灵，如何为语言中的词项，在实在中设置指称，如果关心的是大脑神经元如何运作，如何影响其它神经元，以及肌肉神经细胞等等，那么所谓的“抽象实体”就不相干了。
3.5 结论
我们考察了当前数学哲学界对不可或缺性论证的四个前提的分析、质疑、与辩护。我们的结论是，当前对不可或缺性论证的质疑还存在着严重的不足，不能够驳倒不可或缺性论证。这源于以下几个方面的原因：（1）假设了无穷的实在性，因此实际上假设了抽象事物的实在性；（2）没有正面地回答在数学应用中什么是作为工具的真实的东西，如何解释这种工具的可应用性等等；（3）不能证明无穷与抽象数学实体在数学应用中是原则上可消除的，因此不能真正解释无穷数学对有限世界的可应用性；（4）最后，继续采纳了蒯因的不彻底的自然主义的图景，而使得不能彻底消解实在论的信念。同时，我们提出了一种唯名论数学哲学所包含的原则，即§3.2.2中的原则（1）——（5）。这些给出了一个有别于蒯因的图景的唯名论自然主义的图景。而且，它们实际上要求反驳不可或缺性论证的所有四个前提。只有这样才能真正驳倒不可或缺性论证。
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