弗雷格的算术哲学

叶峰

摘要 本文介绍弗雷格的算术哲学，包括它失败的原因即罗素悖论，并对它做一些简单的评价。

关键词 弗雷格，逻辑主义，算术哲学

§1 引言

弗雷格的数学基础研究并没有对二十世纪的数学研究产生过很大的影响，在这一点上他不如康托尔、戴德金、皮亚诺等对普通数学学生来说耳熟能详的十九世纪末数学家。但是，弗雷格为他自己的数学基础研究而发明的（或说发现的）逻辑系统，则是现代数理逻辑的开端，他因此成为现代数理逻辑的开创者，是自亚里士多德以来的最伟大的逻辑学家。弗雷格对二十世纪分析哲学的影响则是无与伦比的。他的语言哲学是二十世纪分析哲学的源头。他的算术哲学思想的影响同样持续到今天。最近二十多年来出现了许多弗雷格的算术哲学研究的专著、论文集等等，显示了他所受到的重视[1]。又比如，最近十多年来，数学哲学是国际分析哲学研究中相对而言比较沉寂的一个领域，但源于弗雷格的思想的所谓新弗雷格主义，是最近十多年来数学哲学研究中相对活跃的课题[2]。这也显示了弗雷格的经久不衰的影响。

弗雷格的算术哲学思想包括他对“数”这个概念的分析，对“自然数”的定义，以及从他的逻辑系统到相当于皮亚诺公理的关于自然数的定理的推导。弗雷格的算术哲学思想一般被归为数学哲学中的逻辑主义。逻辑主义者试图用纯逻辑的概念来定义数学概念，并从逻辑公理推导出数学定理，因此将数学还原为逻辑，从而为数学奠定更牢固的基础，并将有关数学的本体论与认识论问题等哲学问题，归结为关于逻辑的哲学问题。一般认为，逻辑真理是更可靠的真理，而且，关于逻辑的一些哲学问题有较肯定的答案，比如，逻辑知识是先天的，逻辑真理是分析真理等等。当然，事实不一定如此，即关于逻辑的哲学问题不一定真的更容易回答。但假如逻辑主义的策略可以成功的话，至少它是数学基础与数学哲学研究的一个进步。很遗憾的是，弗雷格将算术还原为逻辑的尝试没有成功，原因是，弗雷格所认为的并用来还原算术的逻辑公理中包含着矛盾，即所谓罗素悖论。

本文将介绍弗雷格的算术哲学，包括它失败的原因即罗素悖论。我们还要对它做一些简单的评价。

§2 弗雷格的算术哲学的要点

        一、对数词的功能的分析

        弗雷格在他的主要著作《算术基础》与两卷本的《算术的基本定律》中表达的算术哲学包括了以下几个要点。首先，弗雷格提供了一个对包含数词的简单陈述的逻辑结构的分析。弗雷格在《算术基础》中先批评了几种错误的分析[3]，包括认为数词是形容词，表达具体事物的属性，或者认为数词“3”是指称任何一个3个一组的事物，或者认为数词指称我们的主观的观念，等等。然后，弗雷格提出了他自己的分析。他认为，一个包含数词的简单陈述是对一个概念作一个论断。比如，如下陈述

（1）        The King’s carriage is drawn by four horses. （国王的马车是由四匹马拉的。）[4]

是将自然数4赋予概念

（2）        horse that draws the King’s carriage（拉国王的马车的马），

因此是关于一个概念的论断，是在断言，这个概念（2）有某种特性，即有四个对象落在这个概念之下。在这个意义上，一个数与一个二阶概念即概念的概念相对应：（1）相当于说概念（2）是落在与自然数4相对应的那个二阶概念之下。

        二、自然数是对象，不是概念

        但是，弗雷格坚持认为，自然数是对象（object）而不是概念，或二阶概念。这是弗雷格的算术哲学的另一个要点。所以，前面只是说自然数4与一个二阶概念相对应，而没有说自然数4就是那个二阶概念。弗雷格讨论了为什么我们必须将自然数看作对象。他提出的理由包括，我们通常说“那个自然数4”，其中的定冠词显示了4应该是一个对象[5]；我们接受等式2+2=4也意味着承认数2、4等等是对象。至于句子（1）中的数词“four”似乎不是指称事物的专有名词这一事实，弗雷格认为（1）应该读为

（3）        4 = the number of horses that draw the King’s carriage（拉国王的马车的马的个数）[6]。

弗雷格还考虑了这样的反对意见：数不能是对象，因为我们不能形成关于数的任何观念（idea）。这里的“观念”似乎是指某种类似于视觉形象的知觉观念，我们的确没有关于4这个对象的这样一个观念。弗雷格的回应则是强调所谓的语境原理（context principle），即我们不应该孤立地问一个词项的意义，而应该在一个句子（即语境）中决定一个词项的意义。这里，弗雷格似乎是假设了这样一个原理：假如一个包含一个单称词项的句子是有意义的，那么该单称词项就指称一个对象，即使我们不能形成关于这个指称的观念。包含数词的许多句子是有意义的，而且是将数词当作专有名词用，因此数词指称对象，即使我们不能形成关于数的知觉观念。

        三、自然数的定义

        弗雷格的算术哲学的主要成果之一是他对各个自然数的定义，以及对“自然数”这个一般概念的定义。在《算术基础》一书中，弗雷格先提出一个不成功的定义，然后才提出他的真正的定义。这些中间环节的讨论的意义曾导致一些阐释上的疑问，比如，它们是仅仅具有启发性的价值，还是蕴含了弗雷格的一些基本哲学信念[7]？这里我们只讨论弗雷格最后达到的定义。

        弗雷格的逻辑系统中，除了“并非”、“而且”、“或者”、“如果…那么”、“当且仅当”等这些命题联结词，以及“对所有”、“存在”这些量词之外[8]，还用到了“概念”、“对象”、“外延”这些初始概念。而且，弗雷格的系统接受了以下几个关于“概念”、“对象”、“外延”的关键性的假设[9]：

（A）       每个用弗雷格的概念文字语言（即弗雷格的逻辑系统的语言）表达的，含有一个自由变元u的合式公式F(u)都可视为一个谓词，因此指称一个弗雷格意义上的概念；我们用符号luF(u)代表这个概念，因此

"v[(luF(u))(v) « F(v)]；

（B）       每个概念P都有一个外延{u：P(u)}，它是一个对象；

（C）       概念的外延满足以下等同性条件（基本定律V）：

{u：P(u)}={u：Q(u)} « "u(P(u) «Q(u))

        （A）是被弗雷格隐含地假设的，体现在弗雷格在推导定理的时候常常用F(u)替换谓词变元，比如，从"P(…P(u)…)推导出(…F(u)…)。它相当于今天所说的概括原则（comprehension principle），相当于说，每个含有一个自由变元的公式F(u)都定义了一个概念，因此，将概括所有概念的公式"P(…P(u)…)例化到这个概念，就推出相应的(…F(u)…)。这个概念我们这里用记号luF(u)表示。（A）中的等价式相当于说，公式F(u)所定义的概念luF(u)使得，任何一个对象v，v落在这个概念之下，当且仅当v满足那个公式。举一个直观的例子：假设F(u)是这样一个陈述“u是大于2的偶数而且u不是两个素数的和”，那么F(u)表达了一个关于自然数的谓词，因此指称一个概念luF(u)。也许有自然数落在这个概念之下，也许没有。但这个概念应该使的，任何一个对象v，v落在这个概念之下，当且仅当v是大于2的偶数而且v不是两个素数的和。（A）中的u可以是取值对象的个体变元或取值概念的二阶变元。如果u是二阶变元，luF(u)就是二阶概念，即概念的概念。

        （B）也是隐含地被假设的，因为弗雷格的系统中有一个符号及构造指称对象的项（即名词短语）的方式相当于这里的项{u：F(u)}。弗雷格的系统的公理与规则假设了，语言中的每个项都有指称，因此，在语言中采纳项{u：F(u)}已经就蕴涵了（B），即每个概念都有一个外延，而且外延是对象。

        这两个隐含的假设，对弗雷格的自然数定义可以得出存在着无穷多个自然数是关键的。而且，既然弗雷格的系统是要表达逻辑真理，弗雷格应该是隐含地假设了，（A）和（B）都是逻辑真理。

        最后，（C）是弗雷格明确地陈述的逻辑基本定律V，它被认为是弗雷格的系统的矛盾的根源。当然，由于基本定律V中用到了{u：P(u)}这样的记号，它隐含地假设了（B）。

        有了这些记号与假设，弗雷格可以定义什么是“一个概念P的数”，它意味着，每个概念有一个相应的对象，作为这个概念的数，其实就是落在这个概念之下的对象的数目。我们称“概念Q与概念P等势”，假如落在概念Q中的对象与落在概念P中的对象之间可以一一对应起来，直观上这相当于，落在概念P中的对象的数目与落在概念Q中的对象的数目相同，因为，存在着一一对应蕴含着数目相同，反之亦然。弗雷格的直观想法是，“拉国王的马车的马”这个概念的数，是由与“拉国王的马车的马”这个概念等势的所有概念构成的类，这当然也是所有恰好有四个对象落在其中的那些概念构成的类。直观上，这可以被理解为就是那个自然数4。它的确显示了自然数4的最根本的特征。弗雷格的系统中没有用到“类”这个初始概念。与类相应的是概念的外延。所以弗雷格这样定义“一个概念P的数”，我们这里记为#P：

#P =_df {Q：Q»P}

其中，Q»P是包含P与Q为自由变元的公式，断言“存在一个落在概念P中的所有对象与落在概念Q中的所有对象之间的一一对应”，即Q与P等势。这个陈述很容易用弗雷格的逻辑语言的公式完整地表达出来，它就是公式Q»P。这里我们不再给出细节。所以，给定一个概念P，概念P的数就是二阶概念lQ(Q»P)的外延。显然，一个概念Q落在这个二阶概念之中，当且仅当落在概念Q中的对象与落在概念P中的对象之间可以一一对应起来，即它们有相同的数目。所以这相当于说，概念P的数就是所有与P等势的概念组成的类。

        《算术基础》一书中的这个定义，是将一个概念的数定义为一个概念的概念的外延，因此需要二阶概念。概念P的数相当于一个由概念组成的类。《算术的基本定律》一书则稍微做了修改，使得定义无需涉及二阶概念，或概念的概念。要点是，必要的时候用一个概念的外延来代替那个概念。这样，“概念P的数”，或#P，就被定义为

#P =_df {y：$Q(y={x：Q(x)}ÙQ»P)}。

这里，y是取值对象的一阶变元，而公式

F(y) º_df $Q(y={x：Q(x)}ÙQ»P)

直观上表示：“y是某个与P等势的概念的外延”。所以，概念lyF(y)还是一阶概念。在这个定义下，概念P的数是一个一阶概念的外延，相当于所有与P等势的概念的外延组成的类。

        然后，弗雷格这样定义个别的自然数：

         0 =_df #lx(x ¹ x);

         1 =_df #lx(x = 0);

         2 =_df #lx(x = 0 Ú x = 1);

         3 =_df #lx(x = 0 Ú x = 1 Ú x = 2);

         ……。

这里，概念lx(x ¹ x)直观上可读作“不等于自身”。这是一个空概念，即没有任何事物落在这个概念之下。所以，0被定义为这个空概念的数。这在直观上当然是合理的：0就是落在空概念之下的对象的数目。然后，lx(x = 0)是概念“等于0”。1被定义为“等于0”这个概念的数。这也是直观上合理的。类似地，2被定义为“等于0或者等于1”这个概念的数，等等。

        这个定义的奇妙之处是，即使不预先假定有任何对象，似乎也有一个空概念，因此就有了它的数0，它是一个对象。然后又有“等于0”这个概念，它又有一个数1，它应该不同于0。然后又有概念“等于0或者等于1”，等等等等。因此，从“空”就生出0，从0生出1，又从0、1生出2等等等等以至无穷。这蕴涵着有无穷多个自然数。注意，前面的假设（A）、（B）、（C）都被用到了：（A）蕴涵着有概念lx(x = 0)等；（B）蕴涵着有相应的对象#lx(x=0)等，即那些概念的数，（C）蕴涵着，这样得到的对象0、1、2等等是互不相等的。

        两个数之间的后继关系，即“数m是数n的后继”或“数n是数m的前趋”则定义为：

Pred(n, m) º_df $Q$x[Q(x) Ù m = #Q Ù n = #(ly(Q(y) Ù y¹x))]。

换句话说，数m是数n的后继，当且仅当存在一个概念Q及属于Q的一个对象x，使得m是概念Q的数，而n是概念“属于Q但不等于x”的数。

        然后，弗雷格从这个后继关系定义了一般的顺序关系“n<m”，它在直观上表示，从n经过有限次后继关系可达到m：

n<mº_df"P{"u[Pred(n, u)®P(u)]Ù"u"v[P(u)ÙPred(u, v)®P(v)] ® P(m)}

这个定义稍复杂一些。这里，

"u[Pred(n, u)®P(u)]

表示n的后继都有性质P，

"u"v[P(u)ÙPred(u, v)®P(v)]

则表示性质P是可传递的，即如果u有性质P，则u的任何后继v也有性质P。它们蕴涵着，n的后继、n的后继的后继、n的后继的后继的后继等等，都有性质P。因此显然，假设直观上n<m成立，那么m有性质P，即上述定义式的右边成立。反之，假设上述定义式的右边成立，取P为属性“大于n”，显然，n的后继都有性质P，而且性质P是可传递的，因此应该有P(m)，此即n<m。

        最后，“自然数”概念则定义为：

m是一个自然数，当且仅当0<m。

或者直接用公式表达为：

N(m) º_df"P{"u[Pred(0, u)®P(u)]Ù"u"v[P(u)ÙPred(u, v)®P(v)] ® P(m)}

即m是一个自然数，当且仅当从0经过有限次后继关系可达到m。

        四、休谟原理

        由“概念P的数”的定义，弗雷格首先推导出了如下的所谓休谟原理：

#P = #Q « P»Q。

这个推导需要用到基本定律V。然后，弗雷格进一步证明了，每个自然数都有唯一的一个后继，并推导出了相当于皮亚诺公理的关于自然数的基本定理，包括数学归纳法原理。在此基础上，弗雷格可以进一步定义加法、减法、乘法等算术运算，并从他的逻辑系统中推导出当时数学家们熟知的关于自然数的所有定理。这当然包括了象5+7=12这样的简单定理。这些进一步的推导则都只需要用到休谟原理，而不再需要上面的基本定律V。

        如果弗雷格的系统中的基本定律的确都是逻辑真理，那么这的确以某种方式将算术还原为逻辑，完成了对“算术真理都是逻辑真理，因此是分析真理”的论证。这与康德的关于“5+7=12”是综合真理的著名论断相冲突。弗雷格是通过这些巨大的、艰苦的努力，发明了他的概念文字语言与逻辑系统，用这个语言明确地定义概念“5”、“7”、“12”、“+”等等，然后最终从他的逻辑系统中的基本定律推导出“5+7=12”。

        五、罗素悖论

        但是，在1902年，在《算术基本定律》[10]第二卷即将出版付印的时候，弗雷格收到了罗素的信，在其中，罗素告诉弗雷格他发现了今天著名的罗素悖论[11]。这个悖论的简单表述用到了“类”这个概念：令z为所有不属于自身的类组成的类，则z属于z，当且仅当z是不属于自身的类。这是一个矛盾。

        要在弗雷格的系统中表达并推导出矛盾要稍微绕个弯子，因为弗雷格的系统是以“概念”、“外延”为初始概念。为此我们首先考虑公式

F(y) º_df $Q(y={x：Q(x)}ÙØQ(y))。

所以，F(y)可以读作：“y是某个概念Q的外延，而且y本身不落在概念Q之下”。如果概念的外延就是类，那么F(y)就可以读作：“y是一个类，而且y不属于y自身”。然后我们考虑概念lyF(y)的外延：

z={x：F(x)}。

我们要推导出矛盾。为此首先假设F(z)，由F的定义，有概念Q使得

z ={x：Q(x)}ÙØQ(z)。

由前者及z的定义，{x：F(x)}={x：Q(x)}。根据基本定律V，我们应该有

"x(F(x) «Q(x))。

再由假设F(z)，我们有Q(z)，与前面的ØQ(z)矛盾。反之，假设ØF (z)。因此由z的定义，

z ={x：F(x)}ÙØF(z)。

所以，概念Q = lxF(x)使得

z ={x：Q(x)}ÙØQ(z)。

再由F的定义，我们应该有F(z)。这又与假设矛盾。所以，不论假设F(z)还是ØF (z)都得出了矛盾。

        弗雷格来不及在《算术的基本定律》的正文中仔细考虑如何回避罗素悖论，而只能在一个附录中对罗素悖论作一个简短的回应[12]。他认识到，矛盾产生于他的基本定律V，因此他提出一个修改基本定律V以回避悖论的建议，但弗雷格后来放弃了修正他的系统的尝试。今天我们已经知道弗雷格的这个建议不能成功[13]。

§3 几点评论

        弗雷格的算术哲学的失败可以说是一个英雄的失败。有很多哲学家，他们的哲学理论带有太多的模糊性，他们要达到的目的没有很清楚的界定，他们试图达到目的的论证也不是非常清晰的论证。他们永远不会失败，因为，既然他们所说的一切都不那么清晰，别人也很难清晰地指出他们的问题，而且，在别人指出他们的问题之后，他们总可以想方设法地或者修改他们的结论，或者修补他们的论证，或者声称别人误解了自己（但又不能进一步更清晰地表达自己的思想）。弗雷格的算术哲学的目的与论证过程是如此清晰，以至于它的失败也是如此清晰地展现在人们眼前，无可推诿。弗雷格最终放弃了算术可以归结为逻辑因而是分析真理这个信念。因为一个技术性的困难而放弃自己的一个哲学信念，这在哲学家中是少有的。

        弗雷格的逻辑主义方案没有最后成功，但它还是留下了一些实质性的成果。我们前面提到，弗雷格的系统的矛盾是源于它的基本定律V。但基本定律V在弗雷格的系统中仅仅是被用来推导出休谟原理，然后，其它的算术定理都可以不再利用基本定律V而只用休谟原理与其它逻辑定律推导出来。我们直观上可以相信休谟原理是无矛盾的，而且是真的。更准确地说，假设经典数学是无矛盾的，那么我们可以严格地证明，休谟原理也是无矛盾的，而且是真的。所以，虽然弗雷格没有成功将算术还原为逻辑，但他成功地将算术还原成了休谟原理加逻辑。如果我们可以论证休谟原理有某种特殊的本体论、认识论地位，比如，可以论证休谟原理是分析真理、休谟原理中所提到的数是某种特殊的逻辑对象，那么我们同样可以解决关于算术的本体论与认识论问题。这就是最近十多年来新逻辑主义或称新弗雷格主义试图复兴弗雷格的一些基本思想的思路。

        最后，除开他的系统蕴涵悖论这一点，弗雷格算术哲学思想当然也不是没有其它哲学上的问题。比如，他对数词用法的分析也许不是唯一的甚至最好的分析，他的关于数词必须指称对象的结论也许不是我们关于数词的使用必然地蕴涵的。还有，他的算术哲学是基于他的概念实在论，而概念实在论有着今天人们已经熟知的认识论难题，即心灵究竟如何认识那些客观的、独立于心灵的概念这个难题。限于篇幅我们这里不能再更深入地介绍。

参考文献

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