从自然主义的角度看形式主义与不完全性定理 叶峰（北京大学哲学系）[1]
摘要：本文从自然主义的角度分析希尔伯特方案与哥德尔不完全性定理的意义，说明一种对希尔伯特方案的修改还是可以帮助达到希尔伯特的数学哲学的基本目的而不受第二不完全性定理的影响，并说明第一不完全性定理为什么并不能支持数学实在论。 关键词：数学哲学，形式主义，不完全性定理
1、引言 形式主义（formalism）是二十世纪初三大数学基础研究流派之一，它是由德国数学家希尔伯特提出的，因此又称作希尔伯特方案（Hilbert’s Program）。希尔伯特是二十世纪初世界上最有成就也最有影响的数学家，希尔伯特方案是他对当时的数学基础危机的回应。希尔伯特提出他的数学基础研究方案的目的是消除布劳维尔的直觉主义对当时的数学家们的影响，拯救今天已经成为经典数学的数学实践规范。他的策略是要用可靠的、本身是无可置疑的数学方法，非常严格地证明，使用经典数学可以帮助我们得出关于现实世界中的有限具体事物的真理。希尔伯特主要在1925年左右提出他的比较成熟的方案[2]。今天学者们都承认，希尔伯特方案在严格的意义上并没有成功，因为，在1931年哥德尔发现并证明了不完全性定理，从而对希尔伯特方案作了致命的打击。 自然主义（naturalism）在这里指的是由笔者本人提出的一种数学哲学理论[3]。它认为，真实存在的就是这个现实的、物质性的宇宙，没有任何其它的东西，而人类是这个物质宇宙的一部分；在人类的数学实践中，真正存在的是有限的人类大脑中的数学构造与推理活动（以及大脑控制身体产生的相关的语言文字符号等等），还有大脑与环境中的物质性的事物之间在人类的数学应用活动中的相互作用；不存在所谓抽象数学对象，尤其是没有所谓无穷的对象，甚至没有所谓的潜无穷，有的只是大脑对所谓潜无穷的想象活动。所以这是唯名论的、物理主义（即唯物主义）的数学哲学。这种自然主义数学哲学的一些基本观念与希尔伯特的形式主义数学哲学在许多方面有相通之处，比如，在拒绝无穷及抽象对象方面。 本文将从自然主义的角度对希尔伯特方案及哥德尔不完全性定理的意义作一些分析。我们希望能够说明，虽然哥德尔不完全性定理证明了希尔伯特方案的技术性策略不能成功，但那是由于希尔伯特方案的技术性策略是基于一个过高的期望，即期望一揽子地证明整个经典数学的可应用性。我们相信，希尔伯特的一些基本思想还是有意义的，是与自然主义的想法相通的，而且，如果我们不是希望一揽子地证明整个经典数学的可应用性，而是可以作更细致的逻辑分析工作来分析那些实际应用中的经典数学，那么还是可以证明希尔伯特的一些基本思想的正确性，还是可以在严格的有穷主义的基础上从逻辑上解释经典数学的可应用性，而哥德尔的第二不完全性定理不影响这个策略。我们还希望能够说明，哥德尔的第一不完全性定理不能蕴涵实在论，也不与自然主义数学哲学相冲突。
2、对希尔伯特方案的一种表述 既然已经有了第二不完全性定理，为了分析希尔伯特方案与第二不完全性定理的意义，有必要更仔细地表述希尔伯特方案，以突出希尔伯特的想法中不受第二不完全性定理影响的部分。一般认为，希尔伯特的有穷主义数学可以形式化为无量词的原始递归算术PRA。PRA中的语句可以解释为关于有限具体事物判断，因此是有真实内容的。假设T是皮亚诺算术PA，或二阶算术Z2，或集合论ZFC等经典数学或经典数学的片断，而且是PRA的递归扩张。T中超出有穷主义的系统PRA的东西称为“理想元”。在希尔伯特看来，包含理想元的语句自身没有真实的内容，它们只是帮助我们推导出超出有穷主义的系统PRA中的语句的工具。希尔伯特方案的最终目的是要证明，利用这些理想元证明出的有穷主义数学PRA中的语句，原则上也可以不利用理想元被证明，也就是说，包含理想元的经典数学系统T相对于有穷主义系统PRA是保守的。 为此，希尔伯特指出，我们只需要用有穷主义数学的系统PRA证明经典数学的系统T的一致性。更具体地说，在哥德尔的第二不完全性定理的证明中我们知道，选择T的适当的公理及适当的哥德尔编码以后，我们可以假设T的证明谓词 ProofT(m, n) º “自然数m是编码为自然数n的公式在T中的证明的编码” 是一个原始递归关系，因此可以用PRA的一个原子公式ProofT(y, x)表示。这样，系统T的一致性可以用PRA的一个含自由变元的（无量词）公式 ØProofT(y, #(0=S0)) 表示，其中#(0=S0)是矛盾公式0=S0的哥德尔编码，它是一个数字，而 #(0=S0)是表示这个数字的PRA的形如S…S(0)的项。（一般地，对任何自然数n，n表示含n个S的项S…S(0)。）这样，希尔伯特方案的第一个目标就是要证明 (1) PRA|¾ ØProofT(y, #(0=S0))。 由于哥德尔的第二不完全性定理，我们知道这是做不到的，但希尔伯特原先的思路是，假设我们可以构造（1）中的证明，那么，利用这个证明，我们将能实际地构造系统T相对于有穷主义的系统PRA的保守性的证明，即对PRA的语句j， (2) PRA|¾ ProofT(y, #(j)) ® j。 这样，对PRA的语句j，假设我们有了一个它在T中的证明， T|¾ j， 即有一个自然数m（那个证明的编码）使得ProofT(m, #(j))，根据原子公式ProofT(y, x)表示谓词ProofT(m, n)，我们将能实际地构造一个证明 PRA|¾ ProofPA(m, #(j))。 由此，再利用上面的保守性（2）的证明，我们将可以进一步构造一个证明 PRA|¾ j。 也就是说，假设我们有了一个语句j在T中的证明，我们将可以消去证明中的理想元，即其中的量词及只属于系统T的公理与规则，得到一个j在PRA中的证明。这将是一个可以实际完成的操作。这就是希尔伯特方案的策略。它期望提出一个一般性的消除理想元的方法，将有穷主义系统PRA的一个语句j在一个经典数学系统T中的证明，转化为该语句j在有穷主义系统PRA中的证明。而这可以通过构造T的一致性在PRA中的证明即（1）来达到。 我们已经知道（1）不成立，但仔细考察从（1）如何得出（2）还是有意义的。首先，对PRA任意语句j，我们可以实际地构造一个自然数n使得 PRA|¾ Øj ® ProofT(n, #(Øj)) 。 直观上说，这是因为Øj不含量词，因此，如果它是真的，它可以用原始递归函数与谓词的实际计算验证，而这个计算过程也就是PRA中的证明。然后我们可以构造一个原始递归函数f使得 PRA|¾ ProofT(n, #(Øj))ÙProofT(y, #(j)) ® ProofT(f(n, y), #(0= S0))。 其中f是PRA的语言中表示函数f的函数符号。也就是说，f可以将两个互相矛盾语句的证明结合起来，构造出一个矛盾句0= S0的证明。所以， PRA|¾ Øj Ù ProofT(y, #(j)) ® ProofT(f(n, y), #(0= S0))， 因此 (3) PRA|¾ Ø ProofT(f(n, y), #(0= S0)) ® (ProofT(y, #(j)) ® j)。 这是希尔伯特方案中不受第二不完全性定理影响的正面结果。注意，它是有穷主义数学中的一个有意义的结论。它意味着，虽然我们不能在有穷主义数学内部证明系统T的一致性（1），因此不能一般性地证明保守性（2），但从（1）到（2）的推导是严格地有穷主义的，可以在PRA中进行。这样，假设我们已经在T中证明了PRA的语句j，因此我们有一个自然数m使得ProofT(m, #(j))，由（3），只要我们有任何其它理由相信ØProofT(f(n, m), #(0= S0))，即相信f(n, m)不会是从T中推导出矛盾公式0= S0的证明的编码，在有穷主义数学内部，这个理由也就成为相信j的理由。 另外注意一下，第二不完全性定理也是有穷主义数学中有意义的一个结论。在有穷主义数学中它可以表达称：我们可以构造一个原始递归函数h，并证明 ProofT(m, #(Con(T))) ® ProofT(h(m), #(0=S0))， 其中， Con(T) ºdf "y(ØProofT(y, #(0= S0))) 是T的语言的表达T的一致性的语句。它说的是，任给一个T的语言的公式序列，我们可以原始递归的构造出另一个序列，使得假如前者是T的一致性Con(T)在T中的证明，后者则是矛盾公式在T中的证明。所以，在有穷主义的框架内我们可以有意义地接受第二不完全性定理。
3、自然主义对希尔伯特方案与第二不完全性定理的解释 多数数学家事实上相信集合论ZFC的一致性。那么我们是基于什么样的理由相信这一点的？从自然主义的角度看，我们对集合论ZFC等经典数学理论的一致性的信念是一种归纳的信念，与我们对其它物理定律等具有一般性的科学论断的信念在本质上是一样的。事实上，十九世纪末的那些反对康托尔的集合论的数学家都对集合论的一致性抱有一些怀疑。集合论悖论的发现显然加强了这种怀疑。后来，随着数学家与逻辑学家们开始分析悖论的成因，寻找排除悖论的方法，渐渐地他们开始相信，在公理化的集合论比如ZFC中，悖论可以被排除。又经过一段时间的对公理化的集合论的实践，特别是，在集合的聚合分层（cumulative hierarchy）模型的构想被提出来以后，数学家们才比较肯定地相信公理集合论的一致性。我们对集合的聚合分层模型的想象带有构造性的，或直线向前的、非循环的特征，也就是说，它回避了明显地导致悖论的那种恶性循环。基于对已知的悖论产生的原因的分析，我们相信，这种对集合的想象不会产生悖论。这个信念的建立，是基于数学家们对自己的关于集合的想象活动的反思，包括对关于集合的知觉想象的反思及反思我们对描述集合的语言进行的推理等。它当然不是简单的枚举归纳。它不是简单地说，既然迄今为止还没有发现矛盾，以后也不会发现。它是与大脑关于一些比较复杂的现象的归纳知识一样，是基于大脑发现了现象中的一些有规律的模式，从而推断现象有一些规律性。因此，我们对于经典数学的保守性的信念，以及对于经典数学的应用可以帮助我们推导出科学真理这个信念，是与我们对于其它科学论断的信念一样，在本质上是归纳的。 这样一种对非常复杂的现象的归纳信念当然会让我们觉得不是绝对地可靠的，即我们对它的信念度不是最高的。从这个角度看，希尔伯特方案所要做恰恰就是要提高我们对经典数学的一致性与保守性的信念度。如果我们能够在一个有穷主义系统PRA中证明一个经典数学系统的一致性，因此证明它的保守性，我们也就将对这个经典数学系统的一致性与保守性的信念，归约为我们对有穷主义系统PRA的一致性的信念。后者当然也是归纳的信念，但这里所涉及的现象（即系统PRA中的推理）更简单，因此我们对它的信念度相对来说更高一些。 从这个角度看，哥德尔的第二不完全性定理的意义在于说明，如果一个系统如PA或ZFC是比较复杂的系统，其中包含了一些较复杂的推理模式或公理，那么，对于它的一致性的信念本身也是较复杂的，是对较复杂的现象（即这个系统中的推理）中的规律性的归纳信念。这种信念无法被逻辑地归约为对更简单的现象（即某个更简单的系统中的推理）中的规律性的归纳信念，即无法被逻辑地归约为对一个更简单的系统的一致性的信念。换句话说，一个更复杂的系统中包含了更复杂的想象、推理模式。对这些复杂的想象、推理模式的一致性的信念是对一类更复杂的现象中的规律性的归纳信念，它不能被规约为对一类更简单的现象中的规律性的归纳信念。这是从自然主义的角度对第二不完全性定理的结论的一个解释。这在直观上是一个合理的结论。而希尔伯特方案恰恰是试图用逻辑手段，将我们对经典数学的一致性的信念归约为对有穷主义数学的一致性的信念，进而达到对经典数学的保守性的信念。它违反了这个直观上合理的，对我们的具有不同复杂程度的归纳信念的观察。 由于哥德尔的第二不完全性定理表明了，在系统PRA中证明系统PA的一致性是不可能的，甚至在系统PA中也是不可能的，逻辑学家们尝试了用一些超出系统PA但直观上还是构造性的方法来证明PA的一致性。比如，Gentzen用了到一个无穷序数e0的超穷归纳法证明了PA的一致性。哥德尔则提出过另一种证明PA的一致性的方法，它用到了“任意类型的可计算的泛函”这个概念。应该说，这些一致性证明对于提高我们对PA或其他经典数学系统的一致性的信念度还是有一些作用的。因为，依据我们的分析，悖论产生于某种形式的恶性循环，而这些证明，虽然假设了无穷（如无穷序数）或一些抽象概念与构造（如泛函、泛函上的原始递归构造），但它们似乎都是某种向前的、非循环的构造。我们的直观判断是，它们较不会导致悖论。这当然也是基于我们对这些构造的反思，基于识别出它们的某些规律性特征，然后得出一个归纳信念。只是由于它们的某些特征，即它们的构造性特征，使得我们对它们的一致性的归纳信念程度要高一些。 然而，从今天的数学应用的角度看，这种证明的意义是很有限的。今天科学家们对数学的可应用性包括保守性的信念，当然是来源于长期的数学应用的实践。大量行之有效的应用数学方法已经得到相当充分的实践证明，使得即使今天有人发现了公理化的集合论中还有悖论，它也不会很大地影响到科学家们的数学实践。数学家们会进一步修改它们的数学基础，但科学家们会继续应用他们的已经被充分地证明为有效的应用数学方法。
4、自然主义对希尔伯特方案的修改 由第二不完全性定理，我们不能在有穷主义数学中证明整个经典数学的一致性，从而一揽子地将整个经典数学的一致性归约为有穷主义数学的一致性，并给出一个一般性的消除理想元的方法。但是，这并没有完全否定希尔伯特的基本思想，即经典数学中的理想元只是帮助得出有穷主义数学的结论的工具。 这里我们首先要指出，到目前为止，科学都只是对宏观和微观上有限的事物的描述，即从普朗克尺度到宇宙尺度之间的事物的描述。经典数学中的无穷在应用中都是近似地模拟有限离散的事物。所以我们可以仔细地检验每一类经典数学的实际应用，从中考察，它们对无穷的应用是否只是表面的，是否原则上可消除。如果可以消除，那么那一类经典数学的应用实际上可以被归约为有穷主义数学的应用。这样，我们还是能够在有穷主义的基础上论证，经典数学的实际应用会得出关于有限事物的真理。 这与希尔伯特的证明经典数学的保守性的一揽子计划有区别。希尔伯特的计划不能成功，是因为经典数学中的推理模式在整体上超出了有穷主义的推理模式，因此前者的一致性不能归约为后者的一致性。但由于数学应用的对象是有限的，实际应用的数学虽然在表面上使用了经典数学的概念，有可能在实质上并没有超出有穷主义数学的范围。因此，需要做的不是用有穷主义数学一揽子地证明整个经典数学的一致性，而是检验各类数学应用，证明它们没有实质性地超出有穷主义，即它们可以在原则上被归约为有穷主义数学的应用。这就是在自然主义数学哲学中解释经典数学的可应用性的策略。这种策略不受哥德尔第二不完全性定理的影响，因为我们没有期望在一个更简单的系统中证明一个更复杂的系统的一致性。我们只是检验对那个更复杂的系统的实际应用，说明它们其实并未在本质上超出那个更简单的系统。 更具体地说，我们提出了一种不假设无穷的严格有穷主义数学，而且证明一些应用数学，包括微积分、初等复变函数理论、基本的勒贝格积分理论、基本的希尔伯特空间上的无界算子的谱理论等等，可以在这个严格有穷主义数学的框架中发展起来[4]。这说明，这些传统上显然假设了无穷的应用数学理论中的无穷其实是可以被消除的，经典数学中的这些理论的应用可以被转换为有穷主义数学中相应的理论的应用。目前在严格有穷主义数学的框架下发展的应用数学理论还很有限，因此，要说明更多的无穷数学的可应用性还需要做更多的工作。但我们也有直观上的理由相信这个策略是可行的。这就是因为数学应用中的无穷都仅仅是对有限、离散的物理对象的近似，因此我们直观上认为，在应用中无穷不应该是逻辑上严格地不可或缺的。当然，这种直观上的认识需要严格的数学工作来支持，即需要在严格有穷主义数学的框架下发展更多可应用的数学，以此来说明无穷在数学应用中都是原则上可消除的。
5、自然主义对第一不完全性定理的解释 最后我们要分析一下对第一不完全性定理的一个普通的解释，即“不完全性定理表明数学真理不可被形式系统穷尽”。这种解释有时被用来支持数学实在论，但实际上，这种解释预设了对于数学陈述的一个“真”概念，而且，它隐含地将“真”理解为“对应于抽象数学实在”，因此它其实是预设了数学实在论。这不是自然主义者可接受的解释，自然主义者也不认为它支持了数学实在论。 事实上，这种形式的不完全性定理并不一定要用到句子的“真”属性。考虑系统T的语言L。首先，假设有一个关于语言L的语句属性P，它满足下列两个条件， (4) 对L的每个语句j，要么j是P，要么Øj是P； (5) T的定理都是P。 则可以证明T的定理不能穷尽语言L的具有属性P的语句，即T的定理的集合是半可判定的，但L的具有属性P的语句的集合不是半可判定的。当属性P是实在论意义上的“真”的时候，这是哥德尔的第一不完全性定理的一种熟知的形式。但是，这里的P完全可以被解释为任何一个关于L的语句的属性，只要它满足条件（4）、（5），并不要求它就是“真”，更不要求它是与某个抽象数学世界的对应。 不过，不完全性定理的这种形式意味着，满足条件（4）、（5）的任何关于语句的属性P都不能是可判定的或半可判定的属性。因此，这样的属性不能在有穷主义数学中被定义，不能被形式主义者或自然主义者接受为有真实内容的属性。那么，从自然主义的角度看，当实在论者将“真”作为（4）、（5）中的P而证明哥德尔定理的时候，他们是在做什么？ 在自然主义看来，抽象数学对象并不存在。是我们在想象所谓抽象数学对象。同样地，实在论者的所谓“数学定理对应于抽象数学世界”也只是他们的想象。事实上，实在论者仅仅是遵循关于“真”这个词的一些语言使用规则来使用这个词，也就是来表达他们的关于“对应于抽象数学世界” 的想象。也就是说，谈论语句的“真”属性，也就像谈论那些抽象数学对象，是在想象事物时的言谈。实在论者接受的关于“真”这个词的语言使用规则包括塔斯基的“真”定义规则。比如，对于语言L，这包括了 (6) 对每个语句j，Øj是“真”的，当且仅当j不是“真”的； (7) 对任何语句j，y，j®y是“真”的，当且仅当y是“真”的或者 j不是“真”的； (8) 对每个语句"xj(x)，"xj(x)是“真”的，当且仅当对每个自然数n，j(n)是“真”的。 由此可以推导出，逻辑有效式都是“真”的。对于语言L的一个公理系统T，使用“真”这个词的规则还包括， (9) T的公理都是“真”的。 这些规则可以归约为一个简单的规则，即所谓的“去引号（disquotation）”规则： (10) 对每个语句j，j是“真”的，当且仅当j。 也就是说，我们先有一个公理系统T来表达我们的关于自然数的想象。然后我们扩展这个想象，即不止想象自然数，还想象形式语言L的语句相对于自然数的“真”。（10）是我们作此想象的基本假设。由于我们想象自然数的时候已经接受了经典逻辑与T的公理，从（10）很容易推导出（6）至（9）。 所以，在自然主义者看来，诉诸“真”概念的不完全性定理是在这样的扩展的想象中推导出的一个结论。它并没有对数学实在论提供任何正面支持。所谓“真理不可被形式系统穷尽”表达的是我们的想象活动的一些特征。比如，我们想象一个形式系统的定理是从公理出发进行有限步的推导得到的。因此，假如公理与推导规则的形式都受一些限制，比如，只有有限多个公理模式，有限多个推理规则模式，且每个推理规则模式都只有有限个前提，则所能推导出的定理也受一些限制，比如，定理的全体是半可判定的。这种想象“定理”这个属性的想象模式包含着一种有限性。但我们对形式语言的语句的“真”属性的想象则不受类似的限制。对含量词的语句的“真”属性的递归定义（8）相当于一个无穷推导，即从无穷多个前提j(0)，j(1)，j(2) …等得出结论"xj(x)。所以，“真理不可被形式系统穷尽”表达的是这两种对语句的属性的想象模式之间的一些差别。一种想象在赋予语句属性的时候自愿地受一些限制，而另一种想象则采取了更自由的语言规则来赋予语句一个属性。不完全性定理说的是，我们不能在想象中进一步将这两种模式赋予语句的属性等同起来。这些都不蕴涵实在论意义上的“真”，也不需要实在论意义上的“真”。“真”的意义仅仅在于它的使用规则（6）到（10）。只有当我们试图将我们自己的想象投射到外部，断言我们的想象对应于独立于我们的实在的时候，才能引出真语句不可被证明穷尽这个结论。
参考文献 Benacerraf，P. and H. Putnam (eds.) (1983)：Philosophy of mathematics: Selected readings, Cambridge: Cambridge University Press. Hilbert, D. (1925): ‘On the infinite’, reprinted in Benacerraf and Putnam (1983), pp. 183 – 201. Hilbert, D. (1927): ‘The foundations of mathematics’, reprinted in van Heijenoort (1967), pp. 464 – 479. van Heijenoort, J. (eds.) (1967): From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879 – 1931. Cambridge, MA.: Harvard University Press. |