一种自然主义的数学哲学
叶峰*（北京大学哲学系）
摘要：本文是对笔者最近几年提出的一个自然主义数学哲学研究方案的介绍。在简要介绍这个研究的背景之后，本文将首先说明这个研究的哲学基础，即自然主义，然后介绍这个研究方案的基本思想及一些具体的成果，它们涉及到意义、真理与逻辑的自然化，解释数学知识的本性，解释数学的客观性与先天性，及解释数学的可应用性等等。
§1 背景 当代数学哲学的中心问题来源于以下两个表面上互相冲突因而令人困惑的事实[①]：一方面，现代数学似乎在研究一个无穷的、独立于物质世界的抽象数学世界；而另一方面，现代科学将人类描述为这个物质世界中的事物的自然进化的产物，而且人类的知识都来源于由基因决定的有限大脑的内在结构及大脑与环境之间的物质上的相互作用。因此，人类的大脑如何可能认识到那些独立于物质世界的抽象数学世界中的对象，尤其是无穷的抽象数学对象？比如，在物理学中，我们对之能够有比较确定的知识的事物都是有限的，即从微观的普朗克尺度（即10-35米等）到宏观上有限的宇宙尺度范围内的事物。虽然我们用连续的数学模型来描述时空结构，但我们知道那只是对普朗克尺度以上的时空结构的一种近似。在物理学中我们从不曾肯定地认识到无穷。这与我们自身的有限性是相一致的。有限的大脑，借助于有限的仪器，只能探测到相对于大脑与感官的有限范围内的事物。但另一方面，在现代数学中我们似乎非常肯定地断言有无穷的数学对象存在，比如，有无穷多个自然数存在，不可数无穷多的实数存在，乃至于任意大的无穷基数存在。这些无穷的抽象数学对象，如果确实存在的话，一定是独立于物质世界的，因为它们不是我们所认识的物质世界中的有限事物的抽象。注意，这里并没有假设物质世界一定是有限的。要点在于，科学对物质世界是否无穷没有确定的信念，而数学似乎很确定地断言无穷存在。因此数学中所说的无穷对象应该是独立于物质世界的。这样，我们的有限的、物质性的大脑究竟是如何认识到数学中的无穷的？ 当代数学哲学的种种流派对此提出不同的回答。这些流派可大致地分为两类：数学实在论认为确实存在着一个无穷的、客观的、独立于物质世界也独立于我们人类的抽象数学世界，然后他们试图说明我们如何可能认识那个抽象数学世界。比如，二十世纪最伟大的逻辑学家哥德尔（K. Gödel）认为，我们不仅仅是物质性的大脑，而是有某种非物质的心灵，而且心灵有某种直觉能力可以直接地认识那个抽象数学世界中的事物。又比如，哲学家蒯因（W. V. Quine）试图从无穷数学在自然科学中的应用的角度，来说明我们可以认识到无穷的数学对象。实在论面临着一些困难。最根本的难点依旧是，它与现代科学所描绘的人类的有限的物质构成及人类的认知活动仅仅是物质性的大脑与环境之间的物质性的相互作用这一点相矛盾。这使得它无法与现代科学所提示的整体世界观相协调。 与数学实在论相反的是数学反实在论，它认为根本不存在那个所谓的抽象数学世界。比如，二十世纪初最伟大的数学家希尔伯特（D. Hilbert）就曾经认为，无穷没有实在性，数学中涉及无穷的定理不应理解为字面意义上的真理，无穷数学只是从一些假设到一些结论的形式推导，而这种推导由于某些原因可以应用于描述有限的事物，虽然它们的前提可能不是字面意义上真的（比如，断言无穷集合存在的集合论中的无穷公理就可能不能被解释为关于这个宇宙中的事物的字面意义上的真理）。希尔伯特提出了一个所谓希尔伯特方案来证明无穷数学的应用确实可以得出（而且仅仅得出）关于有限事物的真理。但今天一般认为，著名的哥德尔不完全性定理证明了这个方案不可能成功。其他一些反实在论者继续以其它方式为反实在论的数学哲学作辩护。比如，有的反实在论者坚持哲学上的所谓唯名论，认为存在着的只能是时空中的具体事物。数学对象是所谓抽象实体，即它们是非物质的，且不存在于时空之中。唯名论认为，这样的抽象实体不可能存在。一些人进而认为，所谓数学对象是我们虚构出来的，一个数学理论就像一个虚构的故事。他们面临的主要困难是，假设那个抽象数学世界不存在，因此数学定理不是字面意义上的真理，那么数学是什么？我们是否还具有数学知识？数学知识是关于什么的知识？数学还是客观的吗？数学又为什么可以在科学应用中得出真理？ 限于篇幅这里不能详细介绍这些数学哲学流派以及他们各自的问题[②]。本文的目的是介绍由笔者提出的一种数学哲学。它是一种反实在论的数学哲学，但它试图以完全科学的方式解释人类的数学实践活动，而不是从形而上学的思辨出发为唯名论作辩护，或反驳数学实在论。这项研究还在继续中。本文将介绍它的哲学基础，基本思想，以及在一些更具体的问题上的已有的成果。
§2 哲学基础与基本思想 这个数学哲学的基础是自然主义。自然主义是当代哲学中的主要思潮之一。对自然主义有各种不同的界定，但笔者认为，自然主义的中心思想应该是： 所谓人类的心灵就是人类大脑的功能，而大脑是物质世界的一部分，是自然进化的产物。 对数学哲学来说，这意味着人类的数学实践是人类大脑的认知活动，因此，对人类的数学实践的研究应该像认知科学中对人类其它认知活动的研究，或者说，应该是关于大脑作为一个物理系统如何工作的研究。另一方面，这意味着我们不应该将自己想象成在本质上是非物质的、与某个“外部实在”相对立的“心灵”。将自己想象成这样的“心灵”，就很自然地会从“心灵”的角度去思辨，在那个“外部实在”中是仅仅存在着一个物质性的世界，还是也存在着一个抽象的数学世界？在自然主义者看来，没有这样的非物质的“心灵”，而只有物质性的大脑，且大脑是与环境中的物质性的事物处于物质性的相互作用之中。大脑没有任何可以神秘地“把握”所谓的“抽象数学世界”的能力。对所谓“抽象数学世界”的思辨，是来源于一个人站在主观的角度试图将自己大脑中的东西“投射”到外部的结果。作为研究人类数学实践的科学研究者，我们应该站在一个科学的客观观察者的角度去观察人类的大脑，研究大脑作为一个物理系统在数学实践中如何工作。在这样的观察中我们只看到大脑中与大脑之外的具体的、物质性的事物以及它们之间的相互作用。这包括大脑在做一些哲学思辨的时候的活动，即大脑尝试所谓“投射”的活动，但并不存在这种“投射”的结果，即并不存在所谓的独立于大脑及物质世界的抽象数学世界。 特别地，大脑只能观察到宇宙中有限的具体事物，不能观察到无穷。真正存在的只是大脑在“想象无穷”的时候的想象活动。比如，考虑古人所说的“一尺之棰、日取其半、万世不绝”。事实上，由于2120>1036，在现实世界中，“日取其半”不到120日我们就已经达到了普朗克尺度（10-35米），而时空在那个尺度上有可能是离散的，或不是4维的，因此“日取其半”不一定还有意义。只是在我们的想象中我们可以想象“日取其半、万世不绝”。真实存在的仅仅是这个想象活动本身。想象活动是大脑的神经元活动，想象活动不能创造出大脑之外的事物，尤其是不能创造出那个所谓的“无穷”。 许多当代的数学哲学家也公开地宣称自己是自然主义者，也不明确反对这个自然主义的中心思想，但是他们中的许多人似乎没有认真对待这个自然主义的中心思想。比如，在讨论数学哲学问题的时候，他们往往还是从一个超自然的心灵的角度去思辨我们是否必须“承诺”“心灵”之外的“外部实在”中有所谓抽象数学对象。他们中间最典型是就是蒯因。蒯因是二十世纪影响最大的分析哲学家之一，他自认为自然主义者，而且声称人类就是“物质世界的物质性的居民”[③]。但是，在他的数学哲学中他用了“本体论承诺”这个概念。他提出，我们的科学理论“承诺”了抽象数学对象。论文[7]分析了蒯因的“本体论承诺”这个概念，指出只有假设一个非物质的、具有超自然的意向性能力的“心灵”，蒯因的这个概念才可以理解，因此蒯因在这里实际上背离了自然主义的立场。 采纳彻底的自然主义的立场意味着，对人类数学实践的研究是认知心理学研究的延伸，是研究人类的数学认知活动这一类特殊的认知现象。一些人可能会反对将心理学引入数学哲学。他们认为数学、逻辑是精确的科学，而心理学包含太多不确定的、模糊不清的东西。但事实是，假如我们不引入心理学，我们就不得不去假设某种在本质上是非物质的“心灵”，然后去思辨这样的一个“心灵”如何“把握”（或“承诺”）独立于“心灵”的抽象概念或抽象实体等等，那将是更不可靠的、更模糊不清的，而且是完全超出科学的范围的。我们关心的是认识论问题，即人类究竟如何获得数学知识、如何应用数学这个问题。认识论是关于一个“认知主体”如何认识事物的问题。要么这个“主体”是物质世界中的大脑，因此认识论问题就是关于大脑如何工作的问题，是属于认知心理学的；要么这个“主体”是某种在本质上非物质的“心灵”，这就直接否认了自然主义。所以，如果我们要坚持自然主义，要回避假设一个不知为何物的、不是科学的研究对象的“心灵”，那么我们就不得不认真对待认知心理学乃至于脑神经心理学。 另一方面，由于我们感兴趣的只是人类数学实践的哲学与逻辑方面，我们可以尽可能地忽略心理学上的细节。引入心理学仅仅是为了澄清对人类数学实践的研究的哲学基础，即强调自然主义这个背景，是为了拒绝传统的从“心灵”出发的形而上学的思辨。当我们开始讨论关于数学实践的具体的哲学与逻辑问题的时候，我们可以依赖一些简化的关于大脑的认知结构的模型，尽可能地抽象掉心理学上的细节，只要这些简化的模型是合理的，只要这些简化不影响我们的结论的有效性。至于究竟怎样的简化是合理的，怎样的简化会影响我们的结论的有效性，我们只能依靠我们的心理学知识来作判断。重要的是，这是一个科学问题，要以科学的标准来回答。它不是一个传统意义上的哲学问题。这种基于简化的认知模型的对数学实践的分析是可错的，但它是在科学的意义上可错的。自然主义者不认为哲学研究能够提供绝对可靠的知识。事实上，既然大脑的所有知识都来源于由基因决定的大脑的内在结构及大脑与环境之间的相互作用，大脑不会有什么绝对可靠的知识。 更具体地说，这个研究目前采纳了在认知科学与心灵哲学中被许多人接受的心灵的表征理论，它认为，人类认知结构的基本模块是大脑中由神经元实现的所谓内在表征。特别地，有概念、思想这两类内在表征。概念与思想分别在大脑的记忆中与词项和陈述相联结，我们说那些词项或陈述表达那些概念或思想。一类概念与思想可直接表示人类环境中的物质对象及它们的事态。这是所谓语义表示关系。比如，“兔子”这个词在一个大脑中表达一个（由一些神经元实现的）概念，这个概念又表示兔子这一类事物。另一类概念与思想不直接表示任何事物或事态。数学概念与思想属于这后一类。数学概念与思想在大脑的认知活动中有其它的认知功能，它们可以帮助组织、表达、处理其它概念与思想，包括那些可直接表示环境中的事物及它们的事态的概念与思想。比如，“2+3=5”这个陈述在一个大脑中表达一个数学思想，它不直接表示环境中的事物的事态。（它也不表示所谓独立于大脑及整个物质世界的抽象数学对象的事态，因为没有这样的抽象数学世界。）但是，“2+3=5” 在一个大脑中所表达的数学思想可以与“兔子”这个词所表达的概念结合，在大脑中构成一个可直接表示环境中的事物的事态的思想“2只兔子加3只兔子是5只兔子”。因此，数学概念与思想有更灵活抽象的认知功能，而且也能与环境中的事物产生间接的联系。这两类概念与思想之间的区别，就好像在一个电脑软件系统中，包括在一个模拟人类认知过程的人工智能系统中，那些直接表示外部事物及其的特征的数据（如一个人的个人信息），与那些帮助组织、表达、处理这些数据的更抽象的程序之间的区别。后者不直接表示任何外部事物或它们的特征，但它们有更灵活抽象的功能。从自然主义的角度描述人类的数学实践，就在于描述大脑中的数学概念与思想的这些更灵活抽象的认知功能，包括描述它们如何使得数学应用得以成功。 这里我们也看到，从自然主义的角度看，去追问大脑中的那些数学概念与思想是否表示了某个独立于大脑及整个物质世界的抽象数学世界是无意义的。只要我们完整地描述了大脑中的作为神经元结构的数学概念与思想在大脑的数学认知活动中的功能，我们就已经完整地描述了人类的数学认知活动这一类自然现象。再去追问那些神经元结构是否表示了某个独立的抽象数学世界中的事物，这完全是多余的形而上学的思辨，是站在主观的角度试图将自己大脑中的概念、思想“投射”到外部而产生的幻觉，不是客观地、科学地观察大脑如何工作而得到的推论。
§3 起点——意义、真理与逻辑有效性的自然化 前面已经提到，大脑中的数学概念与思想可以通过其它可直接表示环境中的事物的概念与思想，与环境中的事物产生间接的联系。因此，描述大脑中的数学概念与思想的认知功能的第一步，就是要描述大脑中可直接表示环境中的事物的概念、思想与环境中的事物之间的这种语义表示关系。既然大脑中的一个概念本身是由神经元实现的，在自然主义的框架下，一个概念与它所表示的对象之间的这种语义表示关系，在本质上是自然世界中的物质性的事物之间的关系。一些神经元（即一个概念）与它们所表示的对象之间的这种联系，最终是由那些神经元在大脑的认知活动中的作用来实现的，即在大脑的认知活动中那些神经元（如实现“兔子”这个概念的神经元）与环境中的某些事物（如兔子）之间产生了某种特殊的联系。我们需要用科学的语言，即用物理学、生物学等的语言，或者说，用不再预设“语义表示”这个概念的语言，来描述这种特殊的联系。类似地，大脑中的可表示事物的事态的思想与它们所表示的事态之间的表示关系，也是神经元与环境中的事物之间的某种特殊的、但物质性的联系。思想与它们所表示的事态之间的表示关系即一般所说的“真”这个关系，但在自然主义的框架下，“真”不是一些传统哲学所认为的，“心灵”中的非物质性的“观念”与“外部世界”中的事物之间的某种神秘的“符合”关系。相反，“真”作为一个关系，是大脑中的某些神经元与环境中的事物之间的某种自然的、物质性的联系。我们需要做的就是用科学的语言来描述这种联系。这种研究称作“意义与真理的自然化”。 随着真理被自然化，逻辑推理规则的有效性也可被自然化。一个逻辑推理规则是一类具有相同模式的神经元活动过程，它们从一些作为推理的前提的、具有一些结构形式的思想，产生出另一个作为结论的、具有某种结构形式的思想。一个逻辑推理规则是有效的，假如在这一类的神经元活动过程中，只要那些前提和结论都属于可直接表示环境中的事物的思想，而且只要自然化的语义表示关系存在于那些前提与环境中的事物之间，它也一定存在于那个结论与环境中的事物之间。因此，关于一个推理规则的逻辑有效性的论断，是一个关于一类自然现象中的自然规律性的论断，它断言，假如某种自然属性（即自然化的“真”）存在于一类自然过程中的初始状态，那么它一定也存在于那一类自然过程中的终止状态。这类似于断言某一类物理过程中的某种物理量的守恒性。 意义、真理与逻辑有效性的自然化帮助我们清除许多传统哲学中的迷雾，尤其是围绕真理问题的迷雾。它使得对真理、逻辑有效性等的完全自然化的、科学的研究成为可能，使得我们可以抛弃关于真理的传统形而上学的思辨。而且，它也是进一步描述大脑中的数学概念与思想的认知功能及它们与环境中的事物之间的间接联系的基础。换句话说，大脑中的一些可直接表示环境中的事物的概念与思想，是通过这个自然化的语义表示关系与环境中的事物相联系；然后，大脑中的数学概念与思想则通过与这些可直接表示环境中的事物的概念与思想相结合，来与环境中的事物产生间接的联系。同时这也说明了，自然主义不是一些传统哲学家所批评的心理主义。一个大脑会常常使用一些依上面的自然主义的定义为不有效的逻辑推理。所以，有效的逻辑推理不等同于作为心理规律事实上被常常使用的推理。真理与逻辑有效性中还是有规范性，但它是自然化的规范性。 自然化的意义与真理理论是当代分析哲学中的心灵哲学的研究课题之一，已经有一些理论被提出来。它们都还不完备，而且更重要的是，它们似乎有一些实质性的困难[④]。论文[9]、[10]、[11]提出了一个新的理论，它似乎可以回避以前的理论所遇到的那些实质性的问题。这个新理论也还不完备，更多的研究还有待继续。
§4 解释关于人类数学知识的一些哲学疑问 我们对人类数学实践的自然主义研究侧重于哲学与逻辑方面的问题。在哲学方面我们主要关心的是，关于人类数学知识的那些传统的哲学问题如何在自然主义的框架下得到回答。这包括解释数学知识的对象、数学直觉的内容、数学的客观性、先天性等等。 前面已经提到，从自然主义的角度看，在人类数学实践中真正存在着的是大脑中的（作为神经元结构的）数学概念与思想，大脑中的（作为神经元活动的）数学推理活动，以及它们与环境中的事物之间的联系，而没有所谓独立于大脑及整个物质世界的抽象数学世界。因此，人类的数学知识不能是关于某个独立的抽象数学世界的知识。论文[12]首先概述了这项研究所假设的人类大脑的认知结构，并概述了大脑中的数学概念与思想的认知功能。然后，它讨论了如何从这些出发解释人类的数学知识、数学经验、数学直觉等等。特别地，数学知识不是关于一个独立的抽象数学世界中的数学对象的知识。据有某一领域中的数学知识，在于大脑中具有相关的数学概念与思想，具有相关的在大脑中处理这些概念与思想的能力（比如，证明相关的数学定理的能力），具有关于这种处理会导致什么结果的知识（即关于什么定理可以被证明的知识），以及具有关于如何将一个数学思想翻译为可直接表示环境中的事物的思想的能力（比如，将“2+3=5”翻译为“2只兔子加3只兔子是5只兔子”的能力）。同样地，数学直觉不是关于某个独立于大脑的抽象数学世界中的数学对象的直觉，而是关于大脑自身可以如何进行数学想象与推理，以及关于数学想象与数学推理会得出怎样的结果的直觉的认识，即关于大脑自身的活动的直觉的认识。 论文[13]讨论了数学的客观性问题。传统意义上的客观性观念是从一个超自然的、非物质的“心灵”的角度来理解的。观念、感觉材料等是属于“心灵”的，是主观的，而物体或所谓抽象实体等是属于“外部世界”的，是客观的。在这样的观念之下，大脑内部的神经元作为物体也应该是客观的。在自然主义的框架下没有这样的“心灵”，没有“属于心灵的”与“属于外部世界的”之间的区别，只有脑颅骨之内的物质与脑颅骨之外的物质之间的区别。因此，客观性只能被理解为相对于某个大脑的神经元活动的客观性。论文[13]讨论了在自然主义背景下的客观性的几种含义，并说明了在哪些意义下人类的数学知识是客观的。特别地，论文试图说明，承认数学的客观性并不需要假设一个独立于大脑的抽象数学世界。数学的各种意义上的客观性，都可以由大脑之间的（由共同的进化历史决定的）内在结构上的相似性，以及由那些大脑所处的环境之间的相似性得到解释。 类似地，传统的先天性与必然性观念也是相对于一个“心灵”而言的。先天真理是由“心灵”的先天结构或能力可以认识到的、其真理性不依赖于“心灵”的经验的知识；必然的真理是指不论“心灵”之外的“外部世界”是如何都会使之为真的判断，或者指由于“心灵”的内在结构使得“心灵”所能认识到的任何外部世界都必需具有某些特征。在自然主义的框架下，认知主体是受基因控制由一个胚胎细胞发育而成的大脑，而且大脑从发育的开始就不断地处于与环境的相互作用之中。没有相对于一个不变的“心灵”的先天性或必然性。但自然主义的框架下还是可以定义某种意义上的“先天性”与“必然性”，作为我们直观上的这些观念的自然主义解释。特别地，日常所说的“可能性”指的就是可想象性。（因此“必然”即其否定不可想象。）论文[14]从这个角度讨论了分析哲学中流行的克里普克可能性与必然性观念。日常所说的“先天知识”则是指，由于进化的结果，大脑具有一种由基因决定的、可以先天地适应环境的内在认知结构，它使得大脑中产生的一些思想总是（依自然化的语义表示关系）对应于大脑生存的所有可能的环境，而且大脑可以仅仅通过大脑内部的活动，不需要使用感官通道，来得到这些知识。论文[15]讨论了这种自然主义框架下的先天性观念，并试图论证逻辑在这种意义下是先天的，但它提出，算术的先天性问题则要更复杂些，即纯粹算术是先天的，但算术的应用不是先天的。
§5 解释数学的可应用性 我们对人类数学实践的自然主义研究的逻辑方面主要涉及解释数学的可应用性。解释数学的可应用性是对所有数学哲学理论的挑战。数学实在论者声称，数学实在论对数学的可应用性提出了最好、最简单的解释。比如，这是蒯因的主要观点之一。数学实在论对数学的可应用性的解释大致如下：数学定理是关于抽象数学世界的真理，就象科学定律是关于宇宙中的具体事物的真理，因此，科学中由数学定理加上其它科学定律所推导出的关于具体事物的结论，也是关于具体的事物的真理。这里的“解释”，是用数学定理之为真来解释科学结论之为真。反之，如果我们用实验验证了科学结论为真，蒯因认为，这不但可以作为证据支持科学定律的真理性，也可以作为证据支持数学定理的真理性。 这看上去是一个简单而完美的解释，但它实际上是一个幻觉。因为，科学理论所描述的都是宇宙中从普朗克尺度到宇宙尺度之间的有限、离散的事物，用无穷数学表达的科学理论从来都不是字面意义上真的，数学中的无穷与连续从来只是对有限离散的具体事物的近似的模拟，从用无穷数学表达的科学理论中的前提到结论的推导，从来都不是从字面意义上的真前提到真结论的推导。用无穷数学表达的科学理论中的前提最多只能说是在某种意义上“近似地真的”。现代数学在科学中的可应用性的真正难解之谜，其实是在于用无穷数学为何能够帮助推导出关于有限、离散的具体事物的真理。这在本质上是一个逻辑上的谜，是因为无穷、连续的数学模型究竟是如何“近似地模拟”有限、离散的事物，这一点从逻辑上说还不清楚，即在逻辑上我们还不清楚如何严格地刻画这个“近似地真的”，以及为什么无穷数学中的数学推导会保持这个“近似地真的”。实在论者并没有对此做出回答，因此并没有真正解释无穷数学为何可以帮助推导出关于有限、离散的具体事物的真理。仅仅假设无穷数学本身是字面意义上的真理是不够的。注意，这不是否认无穷数学的可应用性。科学家们是在某种直觉的指导下应用无穷数学来近似地、但很有效地模拟宇宙中的有限、离散的事物，这恰恰是他们的聪明才智之所在。只是对逻辑学家来说，这里有一个逻辑上的谜。 一个很自然的猜想是，要从逻辑上严格地解释为什么无穷数学的应用可以帮助推导出关于有限、离散的事物的真理，也许需要证明在数学应用中无穷实际上是可消除的，而且将无穷消除以后，无穷数学的应用会转化为从关于有限、离散的事物的字面意义上的真前提，到关于那些事物的字面意义上的真结论的逻辑推导。这样就解释了为什么无穷“可用”。如果这个猜想成立，那么它意味着，无穷数学的成功应用并不能反过来作为证据支持无穷数学自身的真理性。因为它意味着，虽然用无穷近似地模拟有限带来了理论上的简化，但是，在对宇宙中的有限事物的更精确的描述中无穷将不会出现，即用来解释成功的科学预测的更精确的科学假说中不需要提及无穷，因此，科学预测的成功不能反过来验证无穷的实在性。 书稿[17]正是沿着这种思路，即通过说明无穷在数学应用中是可消除的，来试图提出一种对数学的可应用性的逻辑解释。论文[16]是书稿[17]的一个综述。[17]首先描述了如何将数学的可应用性问题纳入自然主义的框架，即将数学的可应用性问题自然化。考虑一个数学在物理学中的应用。大脑中有一些可直接表示物理对象的事态的思想作为前提，比如一些观察数据。这些前提可依自然化的表示关系对应于环境中的物理对象。大脑中可能还有一些混合了数学概念的思想，作为表达一般的物理定律的前提。然后，大脑中有一个数学推理过程，得出一个数学结论。最后，大脑将这个数学结论翻译变换为一个可直接表示环境中的物理对象的事态的物理结论，如一个可观察的预测。数学的可应用性在于，在恰当的情形下，这个最后的物理结论可以依自然化的表示关系对应于环境中的事物。前面已经提到，这个自然化的表示关系是大脑中的物理对象（即由神经元实现的思想）与大脑外的物理对象之间的物质性的联系。所以，一个关于数学的可应用性的论断，在本质上是在断言，大脑中的一类神经元活动过程与大脑之外的事物之间有某种有规律的联系。这在本质上是一个普通的科学论断。这就是数学的可应用性的自然化。 然后我们可以对大脑中的数学应用过程进行抽象，作一个简化的模型。我们假设大脑中的那些概念与思想就是某个形式化的数学-物理公理系统中的词项与语句。我们忽略自然化的语义表示关系中的细节，将其模拟为数理逻辑中的形式语言与一个语义模型之间的满足关系，即相对于这个语义模型的“真”。这个语义模型由那些有限、离散的具体物理对象构成，因此这个数学应用过程中的那些涉及无穷数学的中间步骤不能在这个语义模型中得到解释，即它们不是相对于这个语义模型为“真”的。这样，数学的可应用性问题就在于，为什么那些中间步骤能够使得最后的物理结论是相对于这个有限、离散的语义模型为“真”的（虽然那些中间步骤不是相对于这个语义模型为“真”的）。这就使得可应用性问题成为一个逻辑问题。 我们解决这个逻辑问题的策略，如前所述，是试图论证那些中间步骤中所涉及的数学上的无穷其实在原则上是可消除的。书稿[17]提出了一种不假设无穷的严格有穷主义数学，而且证明一些应用数学，包括微积分、初等复变函数理论、基本的勒贝格积分理论、基本的希尔伯特空间上的无界算子的谱理论等等，可以在这个严格有穷主义数学的框架中发展起来。这说明，这些传统上显然假设了无穷的应用数学理论中的无穷其实是可以被消除的。消除了无穷以后，数学应用过程就成为从关于有限、离散的物理对象的真前提到关于那些对象的真结论的纯粹逻辑上的推导。因此，这个应用过程为何能够保持相对于有限、离散的物理对象的“真”，就在逻辑上很清楚了。书稿[17]中在严格有穷主义数学的框架下发展的应用数学理论还很有限，因此，要说明更多的无穷数学的可应用性还需要做更多的工作。但我们也有直观上的理由相信这个策略是可行的。这就是因为数学应用中的无穷都仅仅是对有限、离散的物理对象的近似，因此我们直观上认为，在应用中无穷不应该是逻辑上严格地不可或缺的。当然，这种直观上的认识需要严格的数学工作来支持，即需要在严格有穷主义数学的框架下发展更多可应用的数学，以此来说明无穷在数学应用中都是原则上可消除的。 以上介绍了这个自然主义的数学哲学研究方案的目前的主要成果。更进一步的研究还在进行中。
参考文献
[1] P. Benacerraf and H. Putnam (eds.): Philosophy of mathematics: Selected readings, Cambridge: Cambridge University Press, 1983. [2] S. Shapiro (ed.): The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford University Press, Oxford， 2005。 [3] 叶峰：“数学真理是什么？”，《科学文化评论》2005年第4期，17-45页。 [4] 叶峰：“‘不可或缺性论证’与反实在论数学哲学”， 载于《哲学研究》2006年第8期。 [5] 叶峰：《二十世纪数学哲学——一个自然主义者的评述》，书稿（未完成），见http://www.phil.pku.edu.cn/cllc/people/fengye/index.html。 [6] W. V. Quine: From Stimulus to Science. Cambridge: Harvard University Press, 1995. [7] 叶峰： ‘Naturalism and abstract entities’, 见http://www.phil.pku.edu.cn/cllc/people/fengye/index.html. [8] 叶峰：“当前表征内容理论的难点与一个解决方案”， 《外国哲学》第19辑，商务印书馆，2008。 [9] 叶峰：‘A Structural Theory of Content Naturalization’, 见http://www.phil.pku.edu.cn/cllc/people/fengye/index.html。 [10] 叶峰： ‘On Some Puzzles about Concepts’, to appear, 同上。 [11] 叶峰：‘Truth and Serving the Biological Purpose’, 同上。 [12] 叶峰：‘On What Really Exist in Mathematics’, 同上。 [13] 叶峰：‘Naturalism and Objectivity in Mathematics’, 同上。 [14] 叶峰：“克里普克模态性的一个自然主义解释”， 载于《哲学研究》2008年第1期。 [15] 叶峰： ‘Naturalism and the Apriority of Logic and Arithmetic’, 见http://www.phil.pku.edu.cn/cllc/people/fengye/index.html。 [16] 叶峰：‘The Applicability of Mathematics as a Scientific and a Logical Problem’, 同上。 [17] 叶峰：Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications, 书稿，同上。 |