In diesem Abschnitt wird das Fahrverhalten unter möglichst realitätsnahen Bedingungen untersucht. Insbesondere wird die Frage diskutiert, wie das System Fahrrad – Fahrer auf Störungen, beispielweise Windstösse oder Bodenunebenheiten, reagiert. Dazu sind numerische Simulationen erforderlich.

In den bisherigen Abschnitten wurden nur die auftretenden Kräfte und Drehmomente betrachtet und Gleichgewichtsbedingungen formuliert. Hier wird nun die Dynamik des Systems Fahrrad – Fahrer als Regelsystem untersucht. Dazu ist es nötig die Bewegungsgleichungen zu lösen. Von Interesse ist dabei ausschliesslich das Freihandfahren.

Die Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen 2. Ordnung. Für die drei Unbekannten Lenkerausdrehung σ, Schwerpunktsverkippung θ_s und Rahmenverkippung θ_r sind drei Gleichungen erforderlich. Aus Gründen der Einfachheit werden die Gleichungen hier in der linearisierten Form geschrieben, die nur für kleine Winkel brauchbar ist. In den tatsächlichen Simulationen wurden die allgemeinen Gleichungen verwendet.

In der ersten Gleichung setzen wir die zeitliche Änderung des totalen Drehimpulses um die x-Achse (linke Seite der Gleichung) gleich der Summe der auf die x-Achse wirkenden Drehmomente (rechte Seite der Gleichung):

Dabei sind J_kipp das Trägheitsmoment des Systems Fahrer - Rahmen um die Kippachse x, θ_s der Kippwinkel des Schwerpunkts, v die Geschwindigkeit, J_r das Trägheitsmoment des Rades, r der Radius des Rades und alpha der Fahrwinkel. Der 2. Term auf der linken Seite beschreibt die Kreiseleffekte der beiden Räder bei konstantem Kurvenradius und der dritte Term den Kreiseleffekt des Vorderrades beim Drehen des Lenkers. Auf der rechten Seite der Gleichung ist H die Höhe des Schwerpunkts über Boden, m_s die totale Masse des Systems, g die Erdbeschleunigung und A der horizontale Abstand Hinternabe - Schwerpunkt. Der erste Term rechts beschreibt das Kippmoment der Schwerkraft, der 2. das aufrichtende Moment der Zentrifugalkraft und der 3. die Knickkraft. Die Kreiselterme in der obigen Gleichung sind vernachlässigbar.

Unter Verwendung der bei kleinen Winkeln gültigen Beziehung zwischen dem Fahrwinkel α und dem Lenkwinkel σ (Φ = Steuerrohrwinkel)

wird die analoge Gleichung für die Änderung des Drehimpulses um die Steuerrohrachse (linke Seite der Gleichung) hervorgerufen durch die auf den Lenker wirkenden Drehmomente (rechte Seite):

Dabei sind σ der Lenkwinkel, J_lenk das Trägheitsmoment des Systems Vorderrad, Gabel, Steuerrohr und Lenker, θ_r der Kippwinkel des Rahmens und Δ der Nachlauf. Der 2. Term auf der linken Seite ist der Kreiselterm proportional zur Kippgeschwindigkeit des Rahmens und der dritte die Komponente des Kreiselterms des Vorderrades in der Steuerrohrachse, die bei eine Steuerrohrwinkel kleiner als 90 Grad auftritt. Die Drehmomente rechts sind im Abschnitt 6 beschrieben.

Um die drei Unbekannten zu berechnen, ist eine dritte Gleichung nötig. Diese ergibt sich aus der Beziehung zwischen der Verkippung des Rahmens θ_r und der Verkippung des Schwerpunkts θ_s. Im Gegensatz zu den ersten beiden Gleichungen, folgt die Beziehung nicht aus der Geometrie und den Massen des Fahrrads, sondern wird durch den Fahrer bestimmt. Sie ist die entscheidende Kontrollgrösse beim Freihandfahren.

Figur. 10
Zum Zeitpunkt t = 0 erfährt das Fahrrad einen Stoss mit 10 Grad/sec in Bezug auf den Kippwinkel des Schwerpunkts. Die Regelung ist rein statisch (V = const).

Als erstes Beispiel betrachten wir eine statische Regelung. Das heisst die Beziehung zwischen den beiden Kippwinkeln ist gegeben durch den Faktor V (siehe Kapitel 9, Freihandfahren) und entspricht einem statischen Gleichgewicht. Ohne Störungen würde das System oberhalb v_crit eine stationäre Geradeaus, resp. Kurvenfahrt beschreiben. Von grösserem Interesse ist, wie das System auf Störungen reagiert. Als Beispiel wählen wir die Situation mit stabiler Geradeausfahrt für t < 0 und einem Störimpuls zur Zeit t = 0, der dem Schwerpunkt eine Kippgeschwindigkeit von 10 Grad/sec aufprägt. Das Verhältnis der beiden Kippwinkel bleibt zeitunabhängig und konstant. Um die Tendenz für Oszillationen zu reduzieren, wird der rechten Seite der ersten Differentialgleichung ein phänomenologischer Dämpfungsterm -Γdθ_s/dt angefügt. Im vorliegenden Beispiel wird Γ = 1 Jsec eingesetzt. Das Resultat der numerischen Simulation ist in Figur 10 dargestellt.

Die Parameter für Geometrie und Massen in den Simulationen entsprechen einem typischen System Fahrrad - Fahrer. Wie Figur 10 zeigt, wird der Stoss bei mittleren und hohen Geschwindigkeiten ausgeregelt. Das System geht in einen neuen stationären Zustand, der allerdings verschieden ist vom Ausgangszustand mit Kippwinkel = Null. Bei 12 km/h wird kein stabiler Zustand erreicht. Das System kippt.

Näher an der Realität ist ein Modell mit einer aktiven Regelung durch den Fahrer. Als Modell wird die unten stehende Regelfunktion verwendet.

Der Term in der Klammer ist ein Korrekturterm proportional zur Abweichung vom Sollwert der Verkippung. Genau wie in der obigen Simulation , ist V das Verhältnis der Kippwinkel im stationären Gleichgewicht. θ_soll ist die vom Fahrer angestrebte Verkippung, C eine Verstärkungskonstante des Regelkreises und signum die Vorzeichenfunktion (signum(x) = 1, falls x > 0 und -1, falls x< 0).

Die Regelfunktion sorgt dafür, dass der Rahmenkippwinkel höher ist als der Gleichgewichtswinkel, falls die Verkippung grösser ist als die gewünschte Verkippung. Dadurch wird der Lenker zusätzlich ausgedreht, die dadurch ausgelöste Verstärkung der  Zentrifugalkraft reduziert die Verkippung.

Figur 11
Numerische Simulation der Schwerpunktsverkippung bei einer zum Zeitpunkt t = 0 aufgeprägten Störung von dθ_s/dt = 10 Grad/sec für verschiedene Geschwindigkeiten. Die Regelfunktion ist oben im Text beschrieben . Die Parameter der Simulation sind C = 2 und  Γ = 1 Jsec. Die Anfangsbedingung für t = 0 lautet θ_s = 0 und dθ_s/dt = 10 Grad/sec. Der Sollwert θ_soll beträgt 0 Grad.

Im Gegensatz zu Figur 10 strebt jetzt das System dem Sollwert zu. Bei geringen Geschwindigkeiten findet beim gewählten Wert der Dämpfung ein Überschwingen statt. Die Regelgeschwindigkeit nimmt mit zunehmender Geschwindigkeit ab. Weiter unten im Text wird gezeigt, dass dies eine subtile Folge des dθ/dt Kreiselterms ist.



Der einzige Kreiselterm der in der Dynamik eine Rolle spielt, ist der dθ_r/dt - Term bei hohen Geschwindigkeiten. Der Term ist proportional zur Geschwindigkeit. Er muss mit dem ebenfalls auslenkenden, aber geschwindigkeitsunabhängigen Drehmoment der Normalkraft verglichen werden. Um die Wirkung des dθ_r/dt - Terms und sein Verhältnis zum Drehmoment der Normalkraft zu illustrieren, betrachten wir in Figur 12 den zeitlichen Verlauf der beiden Drehmomente bei einer identischen Störung wie in Figur 11 und mit den selben Regelparametern.

Figur 12
Zeitlicher Verlauf der ausdrehenden Drehmomente nach einer Störung mit dθ_s/dt = 10 Grad/sec mit den Regelparametern C = 2 und  Γ = 1 Jsec bei einer Geschwindigkeit von 40 km/h.

Wie Figur 12 zeigt, dominiert der Kreiselterm bei den gewählten Parametern für etwa zwei Zehntelssekunden und fällt dann rasch ab. Damit verbessert er in der Anfangsphase die Reaktionszeit der Regelung.  Er wirkt sozusagen als Starthilfe. Dies vermindert die Amplitude der maximalen Verkippung nach einer Störung. Nach 1 sec wird der Kreiselterm negativ und verlangsamt damit die Regelungsgeschwindigkeit. Die Rückkehr zum Zustand vor der Störung wird verlangsamt.

Da das Drehmoment der Normalkraft unabhängig von der Geschwindigkeit ist und dasjenige des dθ_r/dt Kreiselterms proportional zur Geschwindigkeit, lässt sich aus Figur 12 leicht ablesen, dass bereits bei 20 km/h die Kreiseleffekte sehr klein werden. Dazu kommt, dass bei geringeren Geschwindigkeiten auch die Verkippungen und damit die Kippgeschwindigkeiten abnehmen.

Figur 13
Schwerpunktsverkippung und Lenkerausdrehung inklusive dθ_r/dt Kreiselterm (rote Linien) und ohne Kreiselterm (blaue Linien) bei v = 40 km/h. Die Störung des Kippwinkels bei t = 0 beträgt dθ_s/dt = 10 Grad/sec, der Sollwert des Kippwinkels 0 Grad. Die Regelparameter sind C = 1 und  Γ = 1 Jsec. Die Zahlen für die Lenkerausdrehung sind mit einem Faktor 5 multipliziert.


Figur 13 zeigt, wie der Lenker durch das Kreiseldrehmoment in der ersten Zehntelssekunde sehr rasch ausgedreht wird (gestrichelte rote Kurve) und dadurch die Geschwindigkeit der Verkippung reduziert. Nach etwa einer Sekunde bewirkt das Kreiseldrehmoment mit inzwischen umgekehrtem Vorzeichen, dass die Rückkehr zum Gleichgewichtszustand deutliche langsamer verläuft.



Absichtliche Lenkmanöver beim Freihandfahren verlaufen deutlich langsamer als die Modell-Störung in Figuren 10 - 13. Kreiseleffekte spielen deshalb für die Lenkung beim Freihandfahren keine Rolle.

Als amüsantes numerisches Experiment kann man auch ein Fahrrad mit den Parametern Steuerrohrwinkel = 90 Grad und Kröpfung = 0 simulieren. Dieses Fahrrad hat Nachlauf = 0 und deshalb keine nachlaufinduzierten Drehmomente auf den Lenker. Die rechte Seite der Differentialgleichung für die Lenkerausdrehung wird Null, die Bewegung des Lenkers ist gegeben durch die Bedingung, dass der totale Drehimpuls erhalten bleibt. Zur Stabilisierung trägt ausschliesslich das Kreiseldrehmoment bei. Die Differentialgleichung für die Verkippung bleibt unverändert. Die Gleichung für die Lenkerausdrehung lautet:

Ein solches System Fahrrad - Fahrer geht bei mittleren und hohen Geschwindigkeiten innert weniger Zehntelsskunden in unkontrollierte Oszillationen über. Bei tieferen Geschwindigkeiten kippt es rasch. Der Wert der Verkippung geht gar nicht in die Gleichung ein, bloss dessen erste zeitliche Ableitung. Dies verunmöglicht eine Regelung. Kreiseleffekte allein können folglich das System nicht stabilisieren.