Einleitung

Seit je waren physikalisch interessierte Menschen fasziniert von der Tatsache, dass ein von Hause aus dermassen instabiles System wie das Fahrrad, sich anscheinend ohne jedes Zutun des Fahrers auf einer stabilen Trajektorie vorwärts bewegen kann. Seit mehr als hundert Jahren befassen sich sowohl führende Physiker und Mathematiker, wie auch Lehrer und Laien mit der Frage, woher die verblüffende Stabilität herrührt. Dabei ist ein weites Spektrum von Erklärungen entstanden.

Die ersten, die realistische mathematische Gleichungen für das Fahrrad aufstellten und die Gleichungen auf das Freihandfahren anwendeten waren Whipple (1), sowie Klein und Sommerfeld (2). In ihrer klassischen Arbeit von 1910 zeigten Klein und Sommerfeld, dass das autonome Fahrrad, in dem der Fahrer bloss eine passive Rolle spielt, nur in einem marginalen Geschwindigkeitsbereich stabil ist. Damit war bereits bewiesen, dass das Modell des autonomen Fahrrads Freihandfahren nicht erklären kann. Erstaunlicherweise wurde dies aber kaum zur Kenntnis genommen. Ein internationaler Stand des Wissens, wie er in der Wissenschaft normal ist, hat sich nie eingebürgert. Auch in jüngster Zeit werden in Lehrbüchern (6) und Einführungsvorlesungen physikalisch absurde Ideen propagiert. Nach Kenntnis des Verfassers existiert bis heute kein konsistentes Modell des Freihandfahrens. Die meisten physikalisch korrekten Modelle befassen sich mit dem autonomen Fahrrad (Fahrer durch ein äquivalentes Gewicht ersetzt) und beschreiben das System mit energieerhaltenden Gleichungssystemen (3). Dies hat jedoch mit den tatsächlichen Verhältnissen beim Freihandfahren wenig zu tun. Hier wird erstmals ein konsistentes Modell des Freihandfahrens vorgestellt.

Zunächst gilt es zu definieren, was erklärt werden soll. Ein Modell des Freihandfahrens muss folgende Bedingungen erfüllen:

• Das System muss stabil sein. Das heisst, nach einer Störung (z. B. einem Windstoss) muss das System wieder in den Sollzustand zurückkehren.
• Das Fahrrad soll innerhalb vernünftiger Grenzen auch beim Freihandfahren steuerbar sein. Das heisst, es müssen auch andere stabile Sollzustände als σ = θ = 0 möglich sein.

Durch diese Formulierung ist bereits impliziert, dass wir es mit einem Problem der Regelungstechnik zu tun haben. Regelungstechnik wurde erstmals von Åström et al. (4) auf die Physik des Fahrrads angewandt, allerdings nicht auf die vollständige Dynamik.

Die Bewegungsgleichung des Schwerpunkts ist die eines auf den Kopf gestellten Pendels. Die senkrechte Lage ist folglich instabil. Durch eine Gegenkopplung in einer geschlossenen Regelschlaufe muss die aufrechte Lage stabilisiert werden. Dies wird in Bild 9 dargestellt.

Bild 9: Freihandfahren als geschlossenes Regelsystem.

Der Input des Systems ist die Rahmenverkippung θ_r(s). Sie erzeugt über die Transferfunktion L(s) eine Lenkerausdrehung σ(s). Diese wiederum bewirkt über die Transferfunktion S(s) eine Schwerpunktsverkippung θ_s(s). Dies ist der Output des Systems. Beim autonomen Fahrrad wird der Output (inklusive Störung) direkt als Input verwendet, das heisst, die Transferfunktion des Fahrers C(s) ist gleich eins. Im allgemeinen Fall kann der Fahrer über die Regelfunktion C(s) den Input beeinflussen.

Wie die Transferfunktionen definiert sind und was die Variable s bedeutet, muss uns im Moment noch nicht kümmern. In einem späteren, mathematischen Teil wird darauf näher eingegangen. Es genügt zu wissen, dass die Transferfunktion einer Regelkette gleich dem Produkt der einzelnen Transferfunktionen in der Regelkette ist

 Das autonome Fahrrad

Die Herleitung der Transferfunktionen L(s) und S(s) aus den Bewegungsgleichungen des Fahrrads ist sehr einfach, bedingt aber Kenntnis der Differentialrechnung und der Laplace Transformation. Da dies nicht zum mathematischen Allgemeinwissen gehört, wird dies auf einen mathematischen Teil später in diesem Kapitel verschoben. Auch ohne höhere Mathematik lassen sich zentrale Aussagen zur Stabilität beim Freihandfahren herleiten.

Mit ein Grund für die verbreitete Konfusion über die Physik des Freihandfahrens ist, dass nicht zwischen den verschiedenen Instabilitäten unterschieden wird. Beim Freihandfahren treten grundsätzlich drei Instabilitäten auf, die sich in Ursache, Bekämpfung und Auswirkung grundsätzlich unterscheiden.

Die erste Instabilität ist die Nachlaufinstabilität. Bei einem Fahrrad mit nicht senkrechter Steuerrohrachse bewirkt der Nachlauf, dass die gerade Lenkerstellung bei aufrechtem Fahrrad (σ = θ = 0) einem Maximum der potentiellen Energie entspricht und folglich instabil ist. Erst oberhalb der Selbstausrichtungsgeschwindigkeit v_crit von zirka 6 - 8 km/h vermag die Zentrifugalkraft den Lenker gerade zu richten und die Nullage zu stabilisieren. Im Stillstand und bei sehr kleiner Geschwindigkeit führt die geringste Verkippung θ resp. Lenkerausdrehung σ zu einem Lenkerausschlag von rund 60⁰. Da der Gegenkopplungsmechanismus beim Freihandfahren auf einem quasilinearen Verhalten von σ(θ) beruht, funktioniert die innere Stabilisierung unterhalb v_crit nicht. Freihandfahren unterhalb v_crit ist unmöglich. Die Nachlaufinstabilität ist beim Freihandfahren nicht von Bedeutung, da bereits knapp oberhalb von v_crit Instabilitäten einsetzen. Sie wird hier nicht weiter betrachtet.

Beim autonomen Fahrrad und Geschwindigkeiten oberhalb 20 km/h wachsen nach  einer Störung Lenkerausdrehung und Schwerpunktsverkippung exponentiell an.

Die zweite Instabilität ist die Kippinstabilität. Sie tritt auf, wenn die Gegenkopplung im Regelkreis zu schwach ist. Die durch θ_r induzierte Lenkerausdrehung genügt dann nicht, um eine Zentrifugalkraft auszulösen, die die Verkippung des Schwerpunkts kompensiert. Ihr Charakteristikum ist das exponentielle Anwachsen des Kippwinkels des Schwerpunkts.

Im mathematischen Teil wird gezeigt, dass die Kippinstabilität dann und nur dann eintritt, wenn L(0)S(0) -1 negativ ist. L(0) ist nichts anderes als die statische Gleichgewichtsbeziehung zwischen θ_r und σ und S(0) die entsprechende Beziehung zwischen σ und θ_s. Dies heisst nichts anderes, als dass das Fahrrad kippt, wenn die statische Gleichgewichtsbeziehung nicht erfüllt ist. Dies mag banal tönen, beinhaltet jedoch die Aussage, dass im Gleichgewichtskriterium gegen Kippen einzig stationäre Ausdrücke vorkommen und keine Ableitungsterme wie z. B. der zur Kippgeschwindigkeit proportionale Kreiselterm.

Die dritte Instabilität ist die Schlängelinstabilität. Sie hat exakt den umgekehrten Grund wie die Kippinstabilität. Bei grosser Gegenkopplung werden am Lenker exponentiell anwachsende rasche Schwingungen um den Nullpunkt induziert. Die mittlere Verkippung nimmt nicht zu. Jedermann der einmal einen elektronischen Schaltkreis mit Gegenkopplung gebastelt hat weiss, dass eine zu grosse Gegenkopplung zu Oszillationen führen kann. Diese treten auf, wenn eine Oszilationsfrequenz existiert, bei der die Gegenkopplung grösser als eins ist und gleichzeitig die Phasenschiebung 180⁰ beträgt. Er weiss aber auch, dass man die Oszillationen durch eine Begrenzung des Frequenzgangs beheben kann. Beim Fahrrad bewirkt dies ein Reibungsterm in der Gleichung für die Lenkerausdrehung. Werden im Lenkersystem plausible Reibungskoeffizienten eingeführt, so beschränkt sich die Schlängelinstabilität auf einen kleinen Geschwindigkeitsbereich zwischen v_crit und etwa 10 km/h. Die Reibung entsteht primär zwischen Pneu und Boden beim Drehen des Lenkers. Beim realen Freihandfahren existiert keine starre Kopplung zwischen Rahmenverkippung und Schwerpunktsverkippung. Dies erzeugt weitere Dämpfungsterme. Damit ist die Schlängelinstabilität im Wesentlichen ein Artefakt des meist verwendeten reibungsfreien Gleichungssystems.

Das Stabilitätskriterium gegen Kippen.

Das autonome Fahrrad kippt genau dann, wenn L(s)S(s)  -1 = 0 mindestens eine positive und reelle Lösung hat. Wie im mathematischen Teil gezeigt wird, führt das Lösen der Gleichung auf das Lösen eines Polynoms vierten Grades. Ein solches Polynom hat mit Sicherheit eine positive reelle Lösung, wenn der konstante Term negativ ist. Der konstante Term ist proportional zu L(0)S(0) - 1.

Die Gleichgewichtsbedingung für σ ist im Kapitel 6 bereits angegeben:

Der Faktor K berücksichtigt die Kreiselkomponente, die infolge des von 90 Grad verschiedenen Steuerrohrwinkels auf die Steuerrohrachse wirkt.

Dabei ist J_r das Trägheitsmoment des Vorderrades, L der Radstand, M die totale Masse, r der Radius des Vorderrades, Δ der Nachlauf, A der horizontale Abstand des Schwerpunktes vom Kontaktpunkt des Hinterrades und Φ der Steuerrohrwinkel. Da Δ negativ ist, ist K grösser als eins.

Analog findet man aus der Gleichgewichtsbedingung für θ_s:(siehe Kapitel 3):

Der 2. Term in der Klammer (H = Höhe des Schwerpunkts über Boden) beschreibt die aufrichtende Wirkung der Präzession der beiden Räder auf den Schwerpunkt. Er ist verschwindend klein und kann weggelassen werden. Durch Kombinieren der beiden Gleichungen erhält man den statischen Gegenkopplungsfaktor des offenen Regelkreises.

Bild 12. Gegenkopplungsfaktor L(0)S(0) des autonomen Fahrrads als Funktion der Geschwindigkeit (km/h). Stabilität gegen Kippen erfordert, dass der  Gegenkopplungsfaktor grösser als eins ist. Dies ist oberhalb 20 km/h nicht mehr der Fall.

Stabilität gegen Kippen fordert, dass L(0)S(0) -1 positiv ist, d.h. L(0)S(0) > 1. Bei einem Fahrrad mit einem (künstlich erzeugten) Nachlauf und senkrechtem Steuerrohr wäre sin(Φ) = 1, K = 1 und v_crit = 0. Folglich wäre der Gegenkopplungsfaktor L(0)S(0) exakt gleich 1, unabhängig von der Geschwindigkeit. Dieses Fahrrad wäre bei jeder Geschwindigkeit in einem indifferenten Gleichgewicht.

Beim realen Fahrrad dominiert bei geringen Geschwindigkeiten der v_crit²/v²  Term im Nenner, der L(0)S(0) vergrössert. Bei hohen Geschwindigkeiten senken K > 1 und sin(Φ) < 1 den Wert unter eins. Die Geschwindigkeit bei der L(0)S(0) gleich eins sind, d. h. die Stabilitätsgrenze gegen Kippen des autonomen Fahrrads ist gegeben durch: 

Eine obere Grenzgeschwindigkeit von 20 km/h haben bereits Klein und Sommerfeld gefunden. Bemerkenswert ist, dass der in K enthaltene Kreiselterm destabilisierend wirkt, d.h. v_kipp reduziert. Dies steht im Gegensatz zu weit verbreiteten Meinungen. Die Kröpfung der Gabel oder allgemeiner der Nabenversatz reduzieren den Nachlauf und damit den Kraftarm für das Drehmoment der am Boden-Kontaktpunkt angreifenden Kräfte. Damit gewinnt das destabilisierende Kreiseldrehmoment an Bedeutung, v_kipp wird reduziert. Die Daten von Fig. 12 beziehen sich auf einen Nabenversatz k von 6 cm.

Es sei nochmals betont, dass im Ausdruck für die Grenzgeschwindigkeit gegen Kippen der zur Verkippungsgeschwindigkeit proportionale Kreiselterm gar nicht vorkommt. Dem muss auch so sein, denn ein Gleichgewichtskriterium kann grundsätzlich keine Ableitungsterme enthalten.  

Das oben angegebene Stabilitätskriterium sagt nicht aus, dass das autonome Fahrrad unterhalb v_kipp stabil ist. Es sagt nur aus, dass es stabil gegen Kippen ist. Die Schlängelinstabilität ist unterhalb 20 km/h eine potentielle Gefahr. Im mathematischen Teil wird gezeigt, dass sie durch einen Reibungsterm plausibler Grösse bis hinunter auf etwa 10 km/h unterdrückt werden kann.

Mathematisches Modell des autonomen Fahrrads

Wir betrachten zunächst immer noch das autonome Fahrrad.

Voraussetzung zum Verständnis dieses Kapitels sind elementare Kenntnisse der Differentialrechnung.

In den folgenden Rechnungen werden nur Kreiselterme berücksichtigt, die einen merklichen Einfluss auf die Ergebniss haben. Mitgeführt werden die Komponente der Vorderradpräzession, die infolge der nicht senkrechten Steuerrohrachse auf den Lenker wirkt, sowie der dθ/dt Term des Vorderrades. Vernachlässigt wird die aufrichtende Wirkung der Präzession beider Räder auf den Schwerpunkt, die bloss im Promillebereich beiträgt.

Dabei ist J das Trägheitsmoment von Fahrer und Fahrrad in Bezug auf die Kippachse, M die totale Masse, H die Höhe des Schwerpunkts über Boden, L der Radstand und A der horizontale Abstand des Schwerpunkts von der Hinternabe (Siehe Figuren 1 und 2). Der erste Term beschreibt die Beschleunigung des Kippwinkels, der zweite das aufrichtende Drehmoment der Zentrifugal- und Knickkkraft, der letzte das Kippmoment der Schwerkraft.

J_s ist das Trägheitsmoment des Steuersystems (Vorderrad, Gabel, Lenker usw.) in Bezug auf die Steuerrohrachse, J_r das Trägheitsmoment des Vorderrades in Bezug auf die Rotationsachse, λ charakterisiert die Reibung beim Drehen des Lenkers und Δ ist der Nachlauf (mit negativem Vorzeichen). Der ersten beiden Terme links beschreiben Änderungen des Drehimpulses, der dritte die Reibung. Der vierte Term beschreibt das auslenkende Drehmoment der Schwerkraft, der letzte Term das rückstellende Drehmoment der Zentrifugalkraft.

Durch eine Laplace Transformation werden die Zeitfunktionen zu Funktionen in einer Bildebene s. Der Vorteil der Laplace Transformation liegt unter anderem darin, dass eine n-te Ableitung durch eine Multiplikation mit sⁿ ersetzt wird. Damit werden aus Differentialgleichungen gewöhnliche Gleichungen, die leicht zu lösen sind. Dafür ist oft die Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich analytisch nicht möglich. Um die Stabilität einer Regelung zu untersuchen, ist glücklicherweise eine Rücktransformation nicht erforderlich. Die Stabilität lässt sich direkt im Bildbereich diskutieren.

Die Laplace Transformierte der Gleichung für den Schwerpunkt wird:

und für die Lenkerausdrehung:

Die Gleichung für die Lenkerausdrehung lässt sich leicht nach σ auflösen. Das Resultat ist

(Zur Wiederholung: Der Nachlauf Δ hat negatives Vorzeichen). Analog findet man:

S(s)L(s) -1 strebt bei s² = (H M g)/J gegen unendlich. Falls L(0)S(0) -1 negativ ist, so muss zwingend eine reelle Lösung zwischen Null und der Unendlichkeitsstelle liegen. Das System ist folglich instabil gegen Kippen. Eine genauere Analyse zeigt, dass L(s)S(s) -1 in diesem Bereich stetig ansteigt. Folglich tritt im entgegengesetzten Fall von L(0)S(0) - 1 > 0 keine positive reelle Lösung auf. Das Stabilitätkriterium gegen Kippen ist deshalb bestätigt.

Heikler ist die Diskussion der Stabilität unterhalb v_kipp. Mit sinkender Geschwindigkeit nimmt L(0)S(0), das heisst die Gegenkopplung, zu. Durch das Verstärken der Gegenkopplung gerät man sozusagen vom Regen in die Traufe. Ist die Gegenkopplung zu gering, so kippt das Fahrrad. Ist sie grösser als eins, so gerät man in Gefahr, dass Gegenkopplungsfaktoren grösser als eins auch für endliche Frequenzen auftreten und dass das System oszilliert.

Dafür, dass dies nicht passiert, ist in erster Linie der Reibungsterm λ verantwortlich. Die Reibung (primär zwischen Vorderpneu und Boden beim Drehen des Lenkers) kann zwar das Auftreten von Oszillationen nach einem Transienten meist nicht verhindern, führt aber dazu, dass sie rasch abklingen. Der dθ/dt Kreiselterm führt dazu, dass im Bereich 17 km/h - 20 km/h die Stossantwort nicht eine gedämpfte Schwingung ist, sondern direkt abklingt.

Bild 12: Lösungen der Gleichung L(s)S(s) -1 = 0 für ein autonomes Fahrrad mit einer Dämpfung λ = 0.5 kgm²sec^-1 entsprechend einer Zeitkonstante 2J_s/λ von 0.5 sec. Die farbigen Balken zeigen das Verhalten nach einer Störung. Rot: Instabil, exponentiell anwachsender Kippwinkel. Grün: Stabil, exponentiell abfallende Störung. Blau:  Stabil, exponentiell abklingende Schwingung.

Unterhalb 17 km/h existieren je 2 konjugiert komplexe Lösungen (rote und grüne Kurven). Der Imaginärteil der grünen Kurve liegt ausserhalb des Bildes. Bei 17 km/h wird die Lösung der roten Kurve reell und spaltet sich in zwei Äste auf. Der eine Ast wird oberhalb 20 km/h positiv, was bedeutet, dass das System instabil wird.

Ohne den dθ/dt Kreiselterm würde sich der blaue Bereich bis zum Einsetzen der Kippinstabilität bei 20 km/h erstrecken. Die Stabilitätsgrenze würde sich nicht ändern.

Klein und Sommerfeld haben in ihrer Arbeit von 1910 Gleichungen ohne Reibung verwendet. Da die Kippinstabilität nicht von der Reibung abhängt, finden sie ebenfalls eine Stabilitätsgrenze von 20 km/h. Ohne Reibung und ohne den dθ/dt Kreiselterm setzen unterhalb 20 km/h oszillatorische Instabilitäten ein. Der Kreiselterm vermag die Instabilitäten in einem engen Geschwindigkeitsintervall unterhalb von 20 km/h zu unterdrücken. Wird Reibung berücksichtigt, so treten oberhalb 10 km/h keine oszillatorischen Instabilitäten auf.

"..... Trotzdem ist diese Wirkung nach dem Vorhergehenden nicht im Stande, das System vollstaendig zu stabilisieren. Es ist eben die Kreiselwirkung die einzige mit d(theta)/dt proportionale Kraft, waehrend die Schwerkraft mit theta selbst proportional ist und dadurch das durch die erstere veranlagte Ausbiegen rascher der seitlichen Neigung folgt als die Schwerewirkung. Die erste Wirkung ist in der That nur um eine Viertelschwingungsdauer gegen die Senkung verschoben, die andere aber um eine halbe Schwingung ..." (Zitat aus der Arbeit von Klein und Sommerfeld).

∞ gegen Null. Folglich besteht das Nyquist Diagramm aus einer geschlossenen Kurve, die bei 1 beginnt und bei 1 endet. Mit Hilfe der Argumenten Methode der Funktionentheorie findet man, dass die Umlaufzahl (Anzahl der Umrundungen des Ursprungs im Uhrzeigersinn) gleich der Summe der Anzahl Pole und Anzahl Nullstellen in der rechten Halbebene beträgt.

In unserem Fall ist die Transferfunktion des Schwerpunkts S(s) instabil. Sie besitzt einen Pol auf der rechten Halbebene bei

.

Freihandfahren ist oberhalb 20 km/h eher einfacher als bei geringen Geschwindigkeiten. Zudem hat das autonome Fahrrad innerhalb seines Stabilitätsbereichs bloss einen einzigen stabilen Arbeitspunkt, nämlich die Geradeausfahrt. Lenken und Kurven fahren ist damit unmöglich. Das autonome Fahrrad ist deshalb ein eher untaugliches Modell zum Verständnis des Freihandfahrens.

Stabilisierung durch den Fahrer.

Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt, ist das autonome Fahrrad bloss im Bereich unterhalb 20 km/h eigenstabil gegen Kippen. Oberhalb 20 km/h tritt eine Kippinstabilität auf. Erfahrungsgemäss wird aber Freihandfahren umso leichter, je schneller man fährt. Zudem können geschickte Fahrer auch beim Freihandfahren Kurven fahren und innerhalb gewisser Grenzen das Fahrrad lenken. Das ist im Widerspruch zum autonomen Fahrrad. Dieses hat als stabilen Bereich einzig das Geradeausfahren.

Für den Fahrer gibt es folglich folgende Probleme zu lösen.

• Vermeiden der Kippinstabilität. Dies erreicht man, indem man die Transferfunktion C(s) des Fahrers so wählt, dass bei jeder Geschwindigkeit das statische Stabilitätskriterium erfüllt ist, d.h. L(0)S(0)C(0) grösser als eins ist.
  
• Den zusätzlichen Freiheitsgrad C(s) ausnutzen, um andere stabile Zustände als Geradeausfahrt zu schaffen.
  

Der erste Punkt ist sehr einfach zu erfüllen. Damit das System stabil gegen Kippen ist, muss L(0)S(0)C(0) grösser als eins sein, das heisst C(0) muss grösser sein als 1/(L(0)S(0). C(0) ist nichts anderes als das Verhältnis zwischen dem Kippwinkel des Rahmens und dem Kippwinkel des Schwerpunkts. Die Stabilitätsbedingung gegen Kippen lautet deshalb

 

Der Fahrer muss eine Rahmenverkippung wählen, die mindestens so gross ist, wie in der obigen Formel angegeben. Je grösser die Rahmenverkippung, das heisst je grösser die Gegenkopplung, desto stabiler ist ist das System gegen Kippen, aber desto grösser ist auch die Gefahr von anwachsenden Oszillationen. Oberhalb von 20 km/h muss der Rahmen stärker gekippt werden als der Schwerpunkt, um eine genügend grosse Gegenkopplung zu erreichen.

Wählt man als Beispiel C(s) = C(0) 10% grösser als das theoretische Minimum, d. h. eine um 10% grössere Rahmenverkippung als in Bild 14 gefordert und eine Dämpfung λ = 0.25 kgm²sec^-1 entsprechend einer Zeitkonstante 2J_s/λ von 1 sec, so erweist sich das System bei Geschwindigkeiten oberhalb 10 km/h als stabil. Bis knapp 30 km/h klingt die Stossantwort als gedämpfte Schwingung ab, oberhalb als exponentieller Abfall.

Bild 15: Eigenwerte für das durch den Fahrer aktiv stabilisierte Fahrrad beim Freihandfahren. Der Fahrer wählt bei jeder Geschwindigkeit eine Rahmenverkippung die 10% höher liegt als für passives Gleichgewicht (rote Kurve in Bild 14) erforderlich. Die Dämpfungskonstante beträgt

Der negative Realteil in Bild 15 entspricht einer Abklingrate der Schwingung und der Imaginärteil der Kreisfrequenz der Schwingung. Bild 15 zeigt, dass unterhalb von knapp 30 km/h zwei je konjugiert komplexe Lösungspaare existieren. Die eine Schwingung (blaue Kurve) weist eine sehr hohe Oszillationsfrequenz auf (bitte beachten, dass für diese Kurve die Skala rechts gilt). Bei etwa 30 km/h spaltet die konjugiert komplexe rote Lösung in zwei reelle Lösungen auf. Oberhalb 30 km/h tritt deshalb in der Stossantwort kein Überschwingen der Schwerpunkt-Verkippung mehr auf. Das System ist im ganzen Geschwindigkeitsbereich stabil. Die hochfrequenten Schwingungen (Imaginärteil der blauen Kurve) sind Artefakte. Der Körper des Fahrers dämpft hochfrequente Schwingungen.

Gelenktes Freihandfahren

Bisher wurde nur der Fall betrachtet, dass eine stabile Geradeaus-Fahrt angestrebt wird. Um dies zu erreichen, muss der Gegenkopplungsfaktor grösser als eins sein. Dies ist unterhalb 20 km/h mehr oder weniger automatisch der Fall, da das autonome Fahrrad dort eigenstabil ist. Oberhalb 20km/h hat der Fahrer durch eine entsprechende Rahmenvekippung dafür zu sorgen.

Viel anspruchsvoller ist das Lenken des Fahrrad beim Freihandfahren. Eine stationäre Kurvenfahrt ist nur möglich, wenn der Gegenkopplungsfaktor exakt gleich eins ist. Ist er grösser als eins, so nimmt der Kurvenradius ab, ist er kleiner als eins, so nimmt der Kurvenradius zu. Diesen Umstand kann man für das aktive Lenken beim Freihandfahren benutzen. Um einen gewünschten Kurvenradius, entsprechend einem Sollwert der Lenkerausdrehung von

σ_soll zu erreichen, wird die Rahmenverkippung so gewählt, dass eine Regelverstärkung gemäss der unten stehenden Formel entsteht:

Dabei ist σ_soll der angestrebte Wert der Lenkerausdrehung, σ der aktuelle Wert und c eine Regelamplitude.  Der Fahrer wird die Rahmenverkippung empirisch wählen und Abweichungen von σ_soll laufend korrigieren. Wie Bild 15 zeigt, ist ein gelenktes Freihandfahren durchaus möglich, stellt aber hohe Ansprüche an die Geschicklichkeit des Fahrers.

Bild 16: Gelenktes Freihandfahren. Ausgehend von der Geradeausfahrt wird ein Sollwert der Lenkerausdrehung von 1 Grad angestrebt. Die Anfangsbedingung ist ϴ = 0 und dϴr/dt = 1 Grad/sec. Die Regelamplitude c beträgt 10. Das angestrebte Gleichgewicht wird innerhalb von Sekunden erreicht.

Realistisches Modell des Freihandfahrens

Oberhalb 20 km/h ist das autonome Fahrrad instabil gegen Kippen. Beim Freihandfahren in diesem Geschwindigkeitsbereich ist deshalb ein aktives Eingreifen des Fahrers in den Regelkreis unerlässlich. Wir betrachten den Fall, dass kontinuierlich Störungen auf die Schwerpunktsverkippung wirken. Der Fahrer versucht dies durch eine korrigierende Rahmenverkippung zu kompensieren, tut dies aber mit einer Zeitverzögerung, gegeben durch seine Reaktionszeit. Ein solches Modell ist viel realistischer als die Annahme eines konstanten Korrekturfaktors. Hier geht es darum zu untersuchen, ob unter realistischen Bedingungen Stabilität immer noch möglich ist. Die zeitabhängige Störung ist gegeben durch

Die Reaktionszeit des Fahrers wird durch eine Memory Funktion M(t) beschrieben. Wir gehen davon aus, dass das System auf eine Störung zunächst starr reagiert. Das heisst, sie wirkt sich identisch auf die Rahmen- und Schwerpunktsverkippung aus. Das für die Stabilität erforderliche Verhältnis C der beiden Winkel wird dadurch gestört. Der Fahrer stellt das korrekte Verhältnis mit einer Verzögerung wieder her. Dies ist in der untenstehenden Gleichung dargestellt. θ_r(t) ist die Rahmenverkippung.

C ist das vom Fahrer angestrebte Verhältnis der Kippwinkel um das Fahrrad wieder aufzurichten. Ist M(t) eine Delta Funktion (unendlich schnelle Reaktion), so wird

Durch die Memory Funktion mit einer charakteristischen Reaktionszeit tau wird die Reaktion auf die Störung verzögert. Für die Memory Funktion wählen wir einen einfachen exponentiellen Ansatz.

Damit ist die Transferfunktion des Fahrers nicht mehr einfach ein konstanter Faktor C, sondern hängt von s ab.

Für grosse s strebt die Funktion gegen 1, für s = 0 beträgt sie C. Diese Transferfunktion ersetzt in den Gleichungen für F(s) den konstanten Faktor C. Wir betrachten als Beispiel den Fall v = 30 km/h und C = 1.3. Verglichen werden im Nyquist Diagramm von Bild 17 das autonome Fahrrad (C = 1, grüne Kurve) und das durch den Fahrer mit einer Reaktionszeit von 0.5 sec (rote Kurve), resp. 4 sec (blaue Kurve) geregelte Fahrrad mit C = 1.3.

Bild 17:    Nyquist Diagramm für ein zeitverzögert geregeltes Fahrrad bei v = 30 km/h (blaue Kurve) mit den Parametern C = 1.3 und λ/2J_s = 0.5 sec^-1. Aufgetragen ist F(iω) für ω von - ∞ bis + ∞ mit dem Realteil in der x-Achse und dem Imaginärteil in der y-Achse. Die grüne Kurve zeigt das Nyquist Diagarmm des autonomen Fahrrads (C = 1). Der Nullpunkt liegt ausserhalb der grünen Kurve, folglich kippt das Fahrrad. Ein Fahrer mit einer Reaktionszeit von 0.5 sec (rote Kurve) kann das Fahrrad stabilisieren. Die rote Kurve umfliesst den Nullpunkt genau einmal im Uhrzeigersinn. Bei der blauen Kurve (tau = 4 sec) liegt der Kreuzungspunkt der Kurven rechts vom Nullpunkt. Der Ursprung wird im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. Das Fahrrad ist instabil (Fig. 18). Die Grenze für die Stabilität befindet sich bei einer Reaktionszeit von knapp oberhalb 1 sec, liegt demnach bequem in der Reichweite eines guten Fahrers

Fig. 17 und 18 geben ein durchaus realistisches Modell für Freihandfahren ab. Man sieht, dass das Fahrrad recht tolerant auf Unvollkommenheiten des Fahrers reagiert. Reaktionszeiten in der Gegend von 1 sec sind problemlos realisierbar. Diese Robustheit zeigt sich auch im zeitlichen Verlauf der Störung (Fig. 18).

Die Rolle des dθ/dt Kreiselterms

Wie in den vorherigen Abschnitten dieses Kapitels gezeigt, geht der Kreiselterm nicht in die Stabilitätsbedingung gegen Kippen ein. Dies bedeutet jedoch nicht, dass der Term keinen Einfluss auf das Regelverhalten hat. Der Kreiselterm übt einen merklichen Einfluss auf die Stossantwort des Systems aus.

Qualitativ ist der Einfluss des Kreiselterms auf die Stossantwort leicht zu verstehen. Im stabilen Zustand reagiert das System auf einen Stoss mit einer Verkippung. Diese steigt an, durchläuft ein Maximum und fällt dann ab, bis der  Sollzustand wieder erreicht ist. In der ansteigenden Phase ist dθ/dt positiv. Das resultierende Kreiseldrehmoment beschleunigt die Lenkerausdrehung. Damit reagiert das System rascher auf eine Störung, was bereits Klein und Sommerfeld bemerkt haben.

Nach dem Überschreiten des Maximums, in der Phase der Rückkehr zum Sollzustand, ist dθ/dt negativ. Das Kreiseldrehmoment wirkt jetzt rückstellend und verzögert die Rückkehr zum Sollzustand. Dies hilft Schwingungen zu unterdrücken. Trotz des langsameren Abklingens des Transienten führt das Kreiseldrehmoment zu einer rascheren Angleichung an den Sollzustand. In numerischen Simulationen (Figur 19) ist dies deutlich zu sehen.

Bild 19 zeigt den Einfluss des Kreiselterms sehr deutlich. Die maximale Amplitude des Transienten wird reduziert und das Überschwingen wird gedämpft. Die Reibungskonstante λ in der Gleichung für die Lenker-Ausdrehung hat die Schlängelinstabilität zum Verschwinden gebracht. Bild 19 zeigt auch, dass für die positive Wirkung des Kreiselterms gar nicht so sehr die stets diskutierte schnellere Ausdrehung des Lenkers bei kurzen Zeiten massgebend ist. Im Gegenteil, der abfallende Teil des Transienten mit negativem dθ_r/dt ist fast wichtiger. Der stark verzögerte Abfall des
Transienten reduziert oder verhindert ein Überschwingen.

Zusammengefasst lässt sich sagen, dass der dθ_r/dt Kreiselterm in das Stabilitätskriterium gegen Kippen gar nicht eingeht und folglich mit der Stabilität gegen Kippen nichts zu tun hat. Je nach Situation kann er, in als reibungsfrei angenommenen Gleichungssystemen, Schlängelinstabilitäten anfachen oder unterdrücken. Dies sind jedoch Artefakte, die beim Einführen einer plausiblen Reibung für die Lenkerdrehung verschwinden.

Der Kreiselterm hat jedoch einen bedeutenden Einfluss auf die Stossantwort des Systems und damit auf das Fahrverhalten. Dies zeigt, dass die Diskussion um die Rolle des Kreiselterm bisher falsch geführt wurde. Fälschlicherweise wurde immer wieder versucht, den Kreiselterm mit der Stabilität zu verbinden. An die Stossantwort hat niemand gedacht.

Literatur

(1)    F. J. W. Whipple. The stability of the motion of a bicycle. Quarterly Journal of Pure and Applied Math., 30, pp. 312–-348 (1899)
(2)    F. Klein und A. Sommerfeld. Über die Theorie des Kreisels, Heft IV.Teubner, Leipzig, 1910. pp. 863 -884 Download

(3)    J. P. Meijnaard, Jim M. Papadopoulos, Andy Ruina and A. L. Schwab, Proc. R. Soc. A 463, 2007 (2084) pp: 1955–1982. Download des Fahrrads

(4)    Karl J. Åström, Richard L. Klein and Anders Lennartsson, IEEE Control Systems Magazine, August 2005, pp. 26 - 47

(5)    J. D. G. Kooijman, J. P. Meijnaard, Jim M. Papadopoulos, Andy Ruina and A. L. Schwab, Science, Vo. 332, pp. 339 - 342 (2011).
        http://www .sciencemag.org/content/332/6027/339
        siehe auch: http://bicycle.tudelft.nl/stablebicycle/ und http://ruina.tam.cornell.edu/research/topics/bicycle_mechanics/

(6)    Pohls Einführung in die Physik, Band 1 Mechanik, Akustik und Wärmelehre, Springer (2009).

Hier wird behauptet, beim Verkippen drehe sich der Lenker rein als Folge des dθ_r/dt Kreiselterms aus. Dies sei der Grund für die Stabilität. Bereits die erste Aussage ist falsch. Eine Verkippung bewirkt über das Kreiseldrehmoment nicht eine Ausdrehung, sondern eine Ausdrehgeschwindigkeit (dθ_r/dt ist proportional zu d²σ/dt²). Rein unter der Wirkung des Kreiselterms würde sich beim Aufrichten die Ausdrehgeschwindigkeit verlangsamen, da das Kreiseldrehmoment jetzt negativ ist. Nach der Rückkehr in den Ruhezustand würde der Lenker zum Stillstand kommen, aber ausgedreht bleiben. Ein Blick auf die Gleichungen und ein kurzes Nachdenken hätten genügt, um die Hypothese zu falsifizieren.