Archimedes（西元前287～西元前212）生卒於南義大利西西里島。希臘時期成就最大的科學家， 力學的奠基者，系統性地使用「窮盡法」計算面積與體積，是微積分的先驅者。Archimedes 是史上最偉大的數學家之一， 高斯非常崇敬他，認為只有牛頓的數學成就可與他並比。

Archimedes 出身貴族，父親 Phadias 是知名的天文學家。他在年輕時曾在亞力山卓求學，不過大半生都待在他老家西西里島的 Syracuse 城，受國王 Hieron 的贊助從事研究工作。當他在世時，成就便已名滿天下，獲得當代同僚的讚譽。

Archimedes 不是一個純理論家，除了家傳的天文學外， 對許多領域實際應用的問題都有涉獵。他會自製儀器作實驗， 還未成年時，就已發明用水力運轉的行星儀，他也發明了抽水幫浦， 以及許多為了抵抗羅馬人而發明的作戰武器。

Archimedes 是力學的奠基者，將當時零星的力學知識，整合成一個整體並加以應用， 最著名的是他的重心計算、槓桿原理與浮體原理。 據說他曾經使用槓桿原理，用滑輪組吊起 Hieron 國王的大船，而且還說：

只要給我立足之地，我就可以移動地球。

不過他最家喻戶曉的故事，則是他在幫國王鑑定王冠純度時，發明了「浮體原理」。 當時他正為如何在不毀壞王冠的前提下，判斷金銀相對密度而煩惱， 結果據說當他 在浴室沐身思索時，從浸身澡盆時水位上升的事實， 突然驚覺浮力相當於他浸身所排除的水量， 因此找到解決問題的靈感，他實在太興奮了，忘情地赤身裸體跑到街上大喊「Eureka！ Eureka！」（我找到了！我找到了！）。

雖然他的光學著作未流傳下來，但是成就也相當不凡，這可以從他為保衛西西里，抵抗羅馬軍時，所發名的致命武器看出來，當時他使用拋物面聚焦的原理，利用太陽光來焚燒羅馬戰船，而逐退來犯的羅馬軍。

Archimedes 的數學著作很多，除了一本目的不明，討論大數系統命名的《數沙者》外， 其他都是幾何的著作，例如《論球與柱面》、《錐體與球體》、《拋物線面積》、 《論螺線》等。他非常擅於使用「窮盡法」去計算各種幾何物體的體積或面積， 例如他運用窮盡法得到球表面積的算法：

圓球面積等於大圓（面積）的四倍

他也曾用內接與外切多邊形去計算圓的面積，並由此導出：

「窮盡法」的使用為西方數學發展的一項里程碑， 極限觀念在這裡已經實質上產生作用，由於 Archimedes 的天份、 純熟的幾何技巧與嚴謹的思考，他的許多論證現在看起來仍然是十分成熟的工作。 而「窮盡法」要一直到十六世紀之後經過 Fermat 「動態窮盡法」，以及之後牛頓、Leibniz 發明微積分才更發揚光大， 而 Archimedes 在物理與數學論證間的分野，即使連牛頓也可能比不上。

Archimedes 的死亡是一個著名的悲劇，由於西西里與迦太基結盟對抗羅馬， 羅馬軍在西元前212年攻入 Syracuse，雖然羅馬統帥 Marcellus 尊敬 Archimedes，並下達保護令， 他卻在沙上描繪幾何圖形沉思時，被羅馬士兵無意中殺死。 他死後羅馬人為 Archemedes 造墓立碑，作為補償，上面刻著他的定理：

以大圓為底線，球直徑為高的圓柱體體積是球體積的3/2倍，若比較兩者的表面積，其比例不變。

（撰稿：翁秉仁∕台大數學系）

資料來源：數學知識

Cauchy（1789～1857）法國數學家，生卒於巴黎。在分析學與數學物理卓有貢獻，也是微積分嚴格化的第一人。

Cauchy 誕生於法國大革命時期，由於宗教與政治信仰的關係，幼年時曾隨家庭短暫顛沛。他的家庭與 Laplace 與 Lagrange 交好，Lagrange 尤其算是他的數學啟蒙老師。

1805年 Cauchy 進入綜合工藝學院 (Ecole Polytechnique)，1807年畢業後，進入一所工程學院 Ecole des Ponts et Chausse 深造。在投入拿破崙軍隊，從事運河或港口工程等煩冗事務的同時，Cauchy 努力研讀 Laplace 的《天體力學》與 Lagrange 的《函數理論》，1815年之前，Cauchy 想在學術圈謀取教職的心願一直不順遂。但1816年，在他獲得法國科學院的大獎後，兩年內就成為科學院院士，法蘭西學院院士並獲得綜合工藝學院的教職。

Cauchy 在同僚中是一個保守虔誠的「異類」，由於堅持他的宗教與政治信仰，他曾站在天主教耶穌會的立場對抗科學院（只因他認為牛頓不相信人有靈魂）；另一個例子 是，他熱情地支持復辟的波旁王朝，1830年七月革命後，他還跟隨查理十世流亡，失去所有榮銜教職，遊學於杜林 (Turin) 與布拉格。到1838他恢復院士職，卻仍因不願對新政權宣誓，而不能獲得教職。

Cauchy 與數學同僚的關係似乎也十分緊張，經常不願或不能給予其他數學家適當的評價，吃過他虧的知名數學家包括 Poncelet，Galois，Abel 等，1843年兩度競選法蘭西學院院長不成後，他又與 Liouville 交惡。

另外 Cauchy 的教學似乎也很差勁，沒有耐性，在許多學生的回憶中，他教書是模糊，跳躍，沒有關聯，間而閃爍天才的靈光。

雖然 Cauchy 有這些缺點，他在數學上的貢獻不凡，他一生寫了令人咋舌的789篇數學論文。從數學史的觀點，他最重要的成就或許在於，他是打下分析（實變數或複變數）嚴 格基礎的先驅者：例如收斂、極限、連續函數的意義（一說在布拉格受 Bolzano 的影響），無窮級數的收斂條件，複變數函數的定義等。另外他在微分方程、數學物理（彈性理論，光學等）、代數也有很大的貢獻，並因此留給後人許多有威力的 數學工具：Cauchy-Kovalevskaya 定理，Fourier 轉換，矩陣的對角化，calculus of residue 等等。

本文參考資料：(1)大英百科全書； (2) MacTutor 數學史檔案網站：Cauchy； (3) Bell, E.T. 《大數學家》，九章出版社。

資料來源：數學知識

（撰稿：翁秉仁∕台大數學系）

十九世紀的數學家對於數學本質的看法在態度上與前人有了根本的改變。新的重點在於強調數學體系的一般性抽象性質。這種「純」數學所關切的是數學體系的結構 而不是它們具體的內涵。十九世紀的數學家變得對數學的結果之有效性比其真確或實用性更為關切。換句話說，就是把理論興趣置於實用興趣之上。群論概念就是這 種抽象數學結構中最重要的概念。雖然有好些數學家從事這方面的研究和發展，但是法國天才數學家伽羅華（Evariste Galois, 1811～1832）卻是眾所公認的群論概念的主要開拓者。

群論的起源可追溯至中世紀歐洲致力於解次數大於二的代數方程式的數學家們 。 據數學史的記載，巴比倫人已經知道如何解二次方程式，文藝復興時期的數學家卡達諾 (Cardano) 和塔塔格里亞 (Tartaglia) 首次成功地解決了三次和四次方程式。因此人們自然期望能發現五次、六次和更高次代數方程式的解法，但卻遭受重大的困擾。自十九世紀初葉許多數學家，包括伽 羅華，都致力於這問題的研究。當其他的人還在苦心嚐試尋求適當的解法的時候，伽羅華持著新看法，懷疑這種解法是否確實存在。他別闢蹊徑，轉向把問題抽象 化，研究方程式及其解的一般性質。這種探究導致「群」的結構，包括元素（如數字或點），一個運算（如加號），和四種必須滿足的特殊性質。群的概念證實了伽 羅華的懷疑，即五次及更高次的代數方程式的一般代數解法並不存在。

伽羅華於1811年誕生於巴黎近郊一個名為波格拉萊 (Bourg-la-Reine) 的小城鎮。他的雙親和其他親人並沒有顯示不尋常數學能力的跡象。他的父親曾為波鎮的鎮長，是個熱愛自由痛恨暴政的人。母親是個獨立思考者，也非常痛恨專 制。伽羅華在十一歲以前的生活非常平淡，他的母親是唯一的老師。他的不快樂經驗起始於十二歲時進入巴黎正式的學校。在路易斯拉格爾 (Louis-la-Grand) 的學校中充滿監獄般的氣氛，出於學監的專橫，學生們的情緒更形抑壓。學生以拒絕在校內小教堂唱歌表示抗議。學監為了這件事。採取強硬手段，斷然開除了數名 學生。伽羅華深感震驚和憤怒，在心中留下一個無法抹滅的印象。

第二年，他由於對拉丁文和希臘文不感興趣，成績很糟糕而被留級。雖然他對拉丁文和希臘文感到乏味，伽羅華卻對數學有深厚的興趣。他在十五 歲時，就曾很認真仔細地研究過拉格朗吉 (Lagrange)、高斯 (Gauss)、阿貝爾 (Abel) 和柯西 (Cauchy) 等大數學家的論述，變得很熟練那些通常只有數學專家才懂的題材。但是很諷刺地，他的學校功課並沒有顯現他的真才和成就。雖然伽羅華能心中默想就解決困難的 數學問題，但是他的老師卻仍要求他把那些對他而言是簡單得很的題目詳細地寫下來。由於他的恃才傲物，對於能力不如他的同學感到無法忍受而顯得不耐煩，處處 給他人的感覺是不凡和古怪，因此他和他的老師以及同學間似乎很疏遠。

十六歲時，伽羅華想要進入工藝學校 (Ecole Polytechnique) 深造，這是一間幫助很多數學家成名的著名學府。由於伽羅華的入學考試成績並不好，學術界失去一個識真才的機會。他雖感到非常失望，卻並沒有因此而失去信 心。伽羅華十七歲時發表第一篇論文。他把自己關於解方程式的好些創見寫下來送到名重士林的科學院。院士柯西答應伽羅華一定會發表他的論文。但是柯西不但忘 了發表該篇論文，甚至不知把它弄到那裏去了，十八歲的時候，伽羅華再次投考工藝學校，但挺不幸又遭敗績。他超人一等的數學能力，再次使他蒙受不利。在這第 二次考試，有一位口試官一味固執地持著錯誤的概念，伽羅華據理力爭，忍無可忍，拿起黑板擦擲出，板擦命中目標：口試官的臉，從此他與工藝學校絕緣。

十九歲那年，伽羅華遭受另一次無情的打擊。他的父親，當時仍為波鎮鎮長，由於支持鎮民反對地方教士，遭受教會的迫害，因為不堪虐待，憤而 自殺，在葬禮進行中發生了暴動，有一個教士被石頭砸得皮破血流。這一幕情景加深了年輕的伽羅華對教會缺乏正義的怨懟。雖然心中非常沮喪和苦悶，日子卻還是 要過下去。終於他取得了師範學校 (Ecole Normale) 的入學資格，準備教書生涯。伽羅華繼續獨立研究，又有個重大的發現，他把成果呈遞給科學院的秘書長傅立業 (Fourier)。傅氏把他的論文拿回家研究，但是不久卻去世了，那篇論文也跟著失去蹤影。伽羅華評論說：「天才常遭受社會不公平的排擠，平庸的人卻反而處處得利。」他變得開始耽溺於政治活動，與一個激進組織交往密切。在1830年的「七月節」，巴黎爆發了革命。伽羅華在那兩次革命行動中成為一個熱烈的 擁護者和首要份子。他由於在校刊中發表激烈言論，抨擊校長是革命的迫害者，因而受到開除處分。由於對國事是非的不滿和覺醒，伽羅華參加了國民兵。此後他做 了最後一次敲開學術界大門的嘗試，寫了一篇題目是「論方程式可用根式解的條件」的文章送交波瓦松 (Poisson)，卻遭波氏以「無法理解」為由退還給他。

1831年，在一次聚會中，伽羅華提議為國王路易士菲力普 (Louis Philippe) 乾杯，被解釋成威脅國王的生命而被捕下，後獲無罪釋放。在法庭上，他曾大聲指責政治不公平，但為通人情世故的法官勸止。在同一個月內，他因故第二次被捕。 這次他被判有罪，處六個月有期徒刑，後來被假釋出獄。接著，伽羅華首次戀愛，愛上一個愛賣弄風騷的女子。他又是像以往一樣的倒楣，這件事並沒維持多久。過 了不久，他和他的兩個政敵為了這位前位女友的「榮譽」而被迫接受決鬥。這位天才橫溢的青年深知自己會在次日的決鬥中喪生，因此當晚持筆疾書，把他在數學上 的發現記載下來，這份遺書是留給他的朋友齊瓦利爾 (Chevalier)，在遺書的最後一段，伽羅華表示希望把他的論文在《Revue Encyclopedique》上發表。

1832年5月30日伽羅華在手鎗決鬥中被射穿肚皮。他被留在那裡等死，後來有個農夫路經該地，把他送到醫院。二十一歲的他於入院第二天去世。

遺書在伽羅華死的那年刊於九月份的《Revue Encyclopedique》，不過當時並沒有引起人們的注意。雖然遺稿中另二篇也曾預告要在該雜誌發表，可是後來也無下文。一直到十四年後，這些遺稿流到大數學家路易唯爾 (Joseph Liouville) 的手裏，才將之刊行。

其後大約過了四十年，焦丹 (Camille Jordan) 研讀了伽氏的方程式論文，焦氏因而寫出了《交換論》(Traite des substitution, 1870)。

逐漸地，人們發現伽羅華在決鬥前夕所寫的三十二頁紙實在意味深長，頗具價值。它確實讓數學家們忙了一陣子，事至今日，還有人集中心智更進一 步地研究探討伽羅華首創的群論。除了這些專門的發現，伽羅華還帶頭把數學導向抽象觀念的研究。他的理論即抽象化的群概念被應用於有形的實體，例如物理學和化學在分析分子形狀中即採用群論的概念。

伽羅華的那些卓越超群的意念大大地領先與他同時代人們的思考，以致未能為當代數學家所賞識，實為天才數學家的悲哀。

資料來源：數學知識