序

要明确一个对象，最原始的方式，就是数数，而最原始的数数技术，其实就是符号记录。

【例】：
但，这种符号记录，已经意味着第一层抽象的开始：他可以籍由这个符号记录，而获知今天是否全部的羊都已回笼，或者，获知自己的羊与隔壁老张的羊相比，是多 些，还是少些。因此，这样一种符号记录方法，相比只是给自己的每一只羊一个唯一的名字（命名），要具有更高一级的抽象，也因此，这样一个技术，具有更强的 功能。

随着我们生活领域的扩大，越来越多的事情，需要我们籍由数数来达到最彻底的明确化。

【例】：
其实，不用回到原始社会，我们每个人的日常生活，都是以大量的计数作为基础的，只不过几乎是所有的计数事件，都已经籍由各种公共设施与个人设备，而运用技术手段，代替人在进行，数数，早已构成我们生存的一个基础能力。

【例】：

显然，罗马不是一天建成的，我们的祖先确实有数数不能超过7的时候，这个演进的历程，自在地呈现了我们所行在的道路。

一清二楚--自然数

有人说，只有自然数是上帝造的，其他都是人造的。
其实是因为自然数是我们历史上所获得的第一个清晰的计数技术。
这 门技术，如果用尽量简洁的形式来表述的话，就是所谓的自然数公理化叙述，例如Peano公理。自从20世纪初这种表述法出现之后，一直颇为流行，绝大多数的分析学书籍，都忘不了以此作为开头，其实，怎么叙述，形式并不重要，重要的是，抓住关键的内涵。所以进一步把自然数的概念洗刷得更“干净”的活，留给数学的基础。

我们现在只需要看到对于自然数最朴素而直接的观念：

• 我们可以区分有和无，也就是说，我们认可自己知道0的意思；
• 我们认可自己知道增加1的意思，增加一个对象，或者增加一次行为，或者...+1的涵义默认是清晰的；

上面这两点确保了我们能够辨认什么是自然数，然后，还需要两条刻画自然数作为一个集合的性质，或者说，籍由下面两条性质构造出一个完整的自然数集合：

• +1这个行为不改变自然数的数量性质，即，假设两个自然数在+1后还相等，那么它们必然本来就相等；
• 自然数作为一个集合，构造它的唯一有效办法，就是：
  
• 让0属于该集合；
• 只要x属于该集合，那么x+1就属于该集合。

这样一个方案，就确保了我们能够轻松解决一类最简单的数数问题，剩下的只是进位制和符号的约定了。

辗转相除--分数

很显然，对于一个一个拎不清的对象，我们无法采用前面的自然数方案，最简单，给你一根棍子，你告诉我它有多长？
且慢，这个问题其实言词上很模糊，因为我们之所以要提出这个问题，肯定是在某个场合，这根棍子与另一个肯定存在的长度相比，如何？例如，是否足够用来捅枝头的红枣，就是和红枣距离地面的高度做比较，因此，这里实际上是出现了一个新的行为，比较，自然也就没法单纯运用“+1”的行为来解决“比较“中出现的计数问题了。
注意，我说的是不能”单纯运用“，进行比较，是比”+1“更复杂点的行为，实际上，针对这类问题，我们采取的解决方案，是基于”+1“，再做数量比较：

【例】：
这个做法，就是所谓的辗转相除法，它的结果，就是所谓的有理数，但我倾向于使用分数来称呼它。你看，我们用这个分数的方案，或者说做法，又进一步解决了一类计数问题。

【进阶】：
辗转相除法得以进行，从逻辑上考虑，我们可以抽象出一个公理，作为其前提之一，这就是所谓的阿基米德（Archimedes）公理^【1】：
抽象出这类基础公理，显然目的是让我们每一步都清晰到更底层的直观。

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【1】其实应该称为Eudoxus公理，实际上是Eudoxus指出了这个公理。

大小都逃不掉--实数

可惜，我们任何一种解决方案都有限度，分数的方法很快就遇到了难题，那就是，如果我们要追求一种理想的状况，而不是满足于某种精度下的近似，那么我们就会发现，分数在大量的计数情况下，令人绝望地失去了效用。

经典的【例】：
这样一个现象的发现背景，是我们对于几何有了如下两个初步的知识：

• 面积的定义，特别是对于长方形，面积就是长乘宽。因为面积在直观上，同时与长和宽成正比，正好可以用乘法加以描述。
• 勾股定理，这是一个关于面积的几何现象。

然后，问题就来了。如果长方形边长分别为3和4，对角线恰好为5；如果两边都是1呢？我们当然可以采用辗转相除法来量，量到一定的精度打止，但，古希腊人发现，如果不打算停止于任何一个精度的话，那种分数的量度方式，注定了得无限进行下去。
这个结论的证明很简单，可作为练习。
我就想知道那根对角线有多长，你却回答以”一个必须无限进行下去的过程“，这样一个回答，是难以令人满意的。
为什么我们不满意？这是个值得反省的问题。

先让我们反省下自己的出发点：为什么一个用分数表示的数值，是令我们满意的？两个理由：

1. 数值的表示直接可以拿来作为与任何其他数值进行大小比较的依据；
2. 可以直接把该数值进一步投入任何的运算。

澄清这两个理由之后，我们就可以想，对于无法用分数表达的数值，是否可以采取一种表达方法，只要满足上面这两个要求，就是够用的了呢？
是的，正是基于上述动机，人类创造了实数的概念，从而完美地解决了可以进行大小比较之场合的全部数数问题。

所谓实数，就是总能够在相互之间比较大小的数；再加一个霸道点的说明，全部可以相互比较大小的数，都属于实数。
这个说法过于粗糙朴实，换用更精确的现代术语，所谓实数，就是唯一的有序完备域。

顾名思义，有序完备域，就是“有序”+“完备”+“域”，从三个方面约定出了实数的清晰面目，而“唯一”，则是为了说明任何两个有序完备域都是同构的。下面依次予以说明这些术语的涵义。

有序

能够比较大小，更一般地，能够在两个对象之间确定一个单一的关系，这是我们对于所需的计数系统所约定的第一个条件。
下面用两句话来更精确表述我们意图中的这个条件：

• 任意两个不同的数之间都可以确定此一关系；
• 这种关系具有线性的几何性质，也就是假设a与b之间的这种关系被标记为a<b，那么假设对于任意的三个对象a、b、c，发现有a<b，和 b<c，那么就决定了a<c。相反，如果我们仅此不足以决定a<c，那么这种关系就不是我们这里所考虑的序关系。

【进阶】

序完备

完备就是没有遗漏，任何可以两两间确立上述关系的对象，都必须能够籍由我们所需的这个计数系统加以表述。
例如任意取一个分数，我们都可以让它和正方形对角线长度比较大小，那么这个计数系统就必须能够表述该对角线的长度。
那么我们怎么样来精确地，特别是，具有可操作性地表述这个完备性的涵义呢？
一句话可以有多种说法，同样，完备性可以有多种刻画的方式，而那些不同的刻画方式，是，也应该是相互等价的。

这个刻画的要点在于：

1. 你必须先肯定这样一个计数系统的存在，它无遗漏地包含了全部的可以比较大小的数值；
2. 然后告诉我可以采用何种方式来表述清楚这样一个事实：a是这样一个数，我们总可以知道它比谁大，比谁小。

最常见的说法有：

Dedekind分割方法

对于一个集合X，约定其元素是有序的，那么总可以把它分割为两个部分，或者说两个子集A和B，使得A中任意元素都小于B中任意元素，同时保证X中的任意元素，必须属于A或B中唯一一个集合。
如果我们把这样一种分割的方法，应用到实数的集合上面，而所谓实数的集合，前面已经预定了，必须无遗漏的包含了全部可以比较大小的数值，那么我们可以想象，或者说可以证明：这样一个分割就实际上是给出了一个实数x，使得x既小于B中的任意元素，同时又大于A中的任意元素。
更细致考虑到话，实际上存在三种情况：

1. x属于A；
2. x属于B；
3. x既不属于A，又不属于B。

区间套方法

对于一个闭区间序列{[x_n,y_n]}，约定总有，那么该序列的交集总非空集。

确界方法

对于任意一个实数的子集合，如果有上界，总存在上确界，为一个实数。

Cantor基本序列方法

构造一个分数的无限序列{x_n}，对于任意一个大于0的分数，除掉该无限序列的有限个项之后，剩下任意两项之间的差都小于，那么该序列实际上定义了一个实数。


要证明上面这些说法是相互等价的吗？很琐碎，但也不妨作为大脑练习。参见下面的进阶。

【进阶】

域

解的空间--复数